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曲线积分和曲面积分


第十章 曲线积分与曲面积分

一.教学基本要求:

1.了解两类曲线积分的概念及它们的性质会计算两类曲线积分 2.掌握格林(Green)公式会用平面曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分 3.了解两类曲面积分的概念会计算两类曲面积分知道高斯(Gauss)公式 4.能用曲线积分和曲面积分计算一些几何量和一些简单的物理量

二.重点: 对坐标的曲线积分的概念及其计算方法.格林公式及曲线积分与路径无关

的条件对坐标的曲面积分的概念及其计算方法、高斯公式

三.应该明确的几个问题:

问题 l 为什么可以说曲线积分是定积分的推广? 答 这可以从两个方面来理解一是它们的物理解释,二是概念的数学结构.

从物理上,

表示密度为 f(x)的直线段杆的质量,

表示密度为 f(x,y)

的曲线段杆的质量;两者定义的数学结构相同.因此可以说,对弧长的曲线积分是定积分的推广.

另一方面

在物理上可以解释为在外力 f(x)的作用下,质点沿直线段由 a 移动到 b 时,

外力 f(x)对质点所作的功. 而 作用下,质点

可以解释为在外力 F=P(x,y)i+Q(x,y)dy

沿曲线弧

,由 A 移动到 B 时,外力 F 对质点所作的功.因此可以认为,对坐标的曲线积分

也是定积分的推广。 对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分概念的数学结构也与定积分概念的数学结构相同,

都可以划分为“分割,近似、求和,取极限”三个步骤.因此可以说,曲线积分是定积分的推广.

问题 2 计算曲线积分的基本途径是什么?应该注意什么条件? 答 计算曲线积分的基本途径是转化为定积分计算.

对弧长的曲线积分

转换为定积分的条件为:f(x,y)在曲线弧

上连续.

曲线弧 AB 的方程 x=x(t),y=y(t),a≤t≤β 有连续导数,当 t=α 与 t=β 对应 AB 的两个端

点,且 x′2+y′2)≠0,则

需注意,此处定积分的下限 a 一定要小于上限 β!

对坐标的曲线积分

+Q(x,y)dy 转换为定积分的条件为:P(x,y),

Q(x,y)为曲线弧

上的连续函数,且

弧的参数方程为 x=x(t),y=y(t),

当 t 单调地由 α 变到 β 时,点 M(x,y)由 A 沿曲线弧变动到 B;x(t),y(t)有连续导数,则

需注意定积分的下限 α 对应于曲线弧

的起点 A;定积分的上限 β 对应于曲线弧

的终点 B.

问题 3 使用格林公式应该注意什么条件? 答 格林公式提供一类曲线积分的计算法,即沿封闭曲线的曲线积分可以转化为二重积分计算. 使用格林公式应该注意两个条件: (1) P(x,y)与 Q(x.y)在有界闭区域 D 内具有一阶连续偏导数; (2) 曲线积分是沿区域 D 的封闭边界曲线 L 的正向如果所求曲线积分是沿区域 D 的封闭边界曲

线 L 的负向,利用格林公式时,应在二重积分前加一个负号。

问题 4 若曲线积分与路径无关.怎样选择新的积分路径可以使得运算既简单又正确?

答 若

与路径无关,则可以选择折线段

.其中



分别

为平行于两个坐标轴的直线段这样可以简化运算在平行于 x 轴的直线段上有 dy=0.在

平行于 y 轴的直线段上有 dx=0.但是,必须注意,在选定的折线路



路径围

成的封闭区域 D,应满足下列两个条件: (1)D 为单连通域; (2)P,Q 在 D 内有一阶连续偏导数.

问题 5 为什么可以说曲面积分是定积分的推广? 答 这个问题也可以从两个方面来理解一是它们的物理解释,二是概念的数学结构.

从物理上解释

表示密度为 f(x)的直线段杆[a.b]的质量.对面积的曲面积分

可以解释为密度为 f(x,y,z)的曲面薄板三的质量.而且两种积分定义

的数学结构相同,都可以分为“分割,近似、求和,取极限”三个步骤,因此可以认为,

对面积的曲面积分是定积分的推广. 对坐标的曲面积分定义的数学结构也与定积分定义的数学结构相同,也可以认为是定积分的推广.

仿第九章问题 1,若取 Ω 为平面曲线 C,P:(z,y),则

表示曲线积分



若 Ω 为空间曲线 C,P=(x,y,z),则

表示曲线积分



若 Ω 为曲面∑,P=(x,y,z),则

口表示曲面积分.



从这个意义上看曲线积分与曲面积分为定积分的推广就较为自然了.

问题 6 计算曲面积分的基本途径是什么?应该注意什么条件? 答 计算曲面积分的基本途径是转化为二重积分计算.

对面积的曲面积分

,若曲面∑的方程是单值函数 z=z(x,y),∑在 xOy 面上的

投影区域为 Dxy· z=z(x,y)在 Dxy 上有一阶连续偏导数.且 f(x,y,z)在∑上连续。则有

dx dy. 如果曲面∑的方程可以表示为单值函数 x=x(y,z)或 y=y(z,x),也有上述类似的结论.

对坐标的曲面积分

,通常按

三部分计算,仅以

为例:

若曲面∑为有向曲面,它的方程为单值函数 z=z(x,y)且∑在 xOy 面上的投影区域为 Dxy.

函数 z=z(x,y)在 D 掣上有一阶连续偏导数;R(x,y,z)在∑上连续,则有

其中当∑取上侧时,右端二重积分前取正号;当∑取下侧时,上式右端二重积分前取负号

问题 7 使用高斯公式时应该注意什么条件? 答 使用高斯公式可以求解封闭曲面积分,避免对投影区域的讨论,从而简化运算,

但是应该注意,在 Ω 内 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)应具有一阶连续偏导数,

曲面积分沿∑的外侧.

四.思考题

思考题 l 下列运算是否正确?为什么?



,其中 C 是从 A(-1,0)沿 y=x2 一 1 到 B(2,3)的弧段.

解 由于 P=

,Q=



,

因此所给曲线积分与积分路径无关.如果利用平行于坐标轴的平行折线段代替 ,如图 10.1 所示.

解法 1 取积分路径为折线段路径



则原式=

=

+

解法 2 取积分路径为折线段路径



则原式=

=

.

解法 3 取积分路径为折线段路径



则原式=

=

分析这里先指出上述三种运算中,解法 1 与解法 2 是错误的,解法 3 是正确的. 对于解法 1,只需注意所给积分路径 C 与 构成封闭曲线,它所围成的区

域包含原点.而 P,Q 在原点处不存在连续偏导数,不符合曲线积分与路径无

关的条件,这是解法 1 错误的原因. 对于解法 2,由于所取的积分路径 上含原点,而 P,Q 在原点没有定义.

因而解法 2 也不符合曲线积分转化为定积分的条件,这是解法 2 错误的原因. 解法 1 与解法 2 中出现的问题应该引起我们的注意;运算中必须注意满足运算条件. 对于解法 3,看起来似乎复杂,但是实际上这种运算不仅正确,而且简便解法

3 之所以正确,是因为所给积分曲线 C 与折线

构成封闭曲线,在它们所

围成的区域 Ω 里 P,Q 具有连续的偏导数,且区域 Ω 为单连通域在此区域 Ω 内,

所给曲线积分与积分路径无关.

思考题 2 检查下列运算是否正确?



ds,其中 C 为 y2=4 x 上自 A(1,2)至 B(0,0)的弧段.

解 因 而

ds=

而 y2=4 x,因此

.注意在 A 点处 y=2;在 B 点处 y=0,因

分析 上述运算不正确 对于弧长的曲线积分转化为定积分时,一定要保证定积分的下限小于定积分的上限

这是因为对于弧长的曲线积分与路径的方向无关,它总要满足 ds>0.即

思考题 3 检查下列运算是否正确?

求 解 由于 于

,其中 A(-1,0),B(1,1),

为 x2+y2=1 在第三象限的弧段。

为圆弧段,引入参数方程 x=cosθ,y=sinθ。由于 A(-1,0)对应于 θ=π;B(0,1)对应

θ=

,因此

分析 上述运算不正确。 其错误的原因在于对于坐标的曲线积分转换为定积分时,积分曲线弧 的起点 A

所对应的参数值一定为定积分的下限.因此本例正确做法应为

思考题 4 检查下例运算是否正确?

求 内侧.

,其中 Σ 为 x2+y2=1,z= x2+y2 与 z=0 所围成的封闭曲面

解 由于 Σ 为封闭曲面内侧.注意 P=z2x,Q= x2y,R= y2z.由高斯定理有

分析 上述运算不正确. 其错误的原因在于高斯公式中曲面积分是沿封闭曲面 Σ 的外侧,而题目中给出

的积分是沿曲面∑的内侧因此,正确的做法为

注利用高斯公式计算曲面积分时必须注意 P,Q,R 的含义. 如果不注意此点,

在本例中取 P=y2z,Q=z2x,R=x2y,则必定导致错误!

思考题 5 检查下列运算是否正确?



x3dydz+y3dzdx+z3dxdy,其中∑为 x2+y2+z2=a2 的外侧.

解 由于所给曲面∑为封闭曲面,P= x3,Q= y3,R=z3

因此

由高斯公式有原式=

(x2+y2+z2)dxdydz.

由于∑的方程为 x2+y2+z2=a2,进而可知

分析 上述运算中利用高斯公式的运算正确但是在(*)处的运算不正确,需要指出三重积分

dz dy dz 中点(x,y,z)在 Ω 内变动!不是在 Ω 的边界曲面上

变动!上述运算中利用 x2+y2+z2=a2 仅在∑上正确,在 Ω 内是不正确的,这是

读者应该牢记的.初学者在学完曲面积分之后常易犯此类错误. 正确的运算为:


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