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2015年全国真题专题十一-排列组合、二项式定理 - 副本


专题
A .4

排列组合、二项式定理
n
2

1.【2015 高考陕西,理 4】二项式 ( x ? 1) ( n ? N ? ) 的展开式中 x 的系数为 15,则 n ? ( B.5 C.6 D.7



【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“ n ? ? ? ”,否则很 容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理,即二项式 ? a ? b ? 的展开式的通项是
n
k n?k k ?k ?1 ? Cn a b .

2.【2015 高考新课标 1,理 10】 ( x

2

? x ? y )5 的展开式中, x5 y 2 的系数为(

)

【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档题,求多项展开式式某 一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如何得到该项,再利用排列组知识求解. 3.【2015 高考四川,理 6】用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数共 有( ) (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个

(A)144 个

【名师点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,万位与 个位是两个特殊位置,应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015 高考湖北,理 3】已知 (1 ? x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为(
A. 2
12


B. 2
11

C. 2

10

D. 2

9

【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数,各二项式系数和: 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等

0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ,

0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? ?C n ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ?C n ? ? ? ? ? 2 n ?1 .

5、【2015 高考广东,理 12】某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班 共写了 条毕业留言.(用数字作答)

【名师点睛】本题主要考查排列问题,属于中档题,解答此题关键在于认清 40 人两两彼此给对方仅写一条毕 业留言是个排列问题.

1 ? ? 3 8 6.【2015 高考重庆,理 12】 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数是________(用数字作答). 2 x ? ?
【名师点晴】 ( a ? b) 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念,前者只是指 Cn ,它仅是与二
n
k

5

项式的幂的指数 n 及项数有关的组合数,而与 a,b 的值无关;而后者是指该项除字母外的部分,即各项的系 数不仅与各项的二项式系数有关,而且也与 a,b 的系数有关.在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这 个区别. 7.【2015 高考广东,理 9】在 ( x ? 1) 的展开式中, x 的系数为
4

.

【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力,属于容易题,解答此题关键在于熟记二项展开式的通
r n?r r 项即展开式的第 r ? 1 项为: Tr ?1 ? Cn a b n ? N *且n ? 2, r ? N .

?

?

8.【2015 高考四川,理 11】在 (2 x ? 1) 的展开式中,含 x 2 的项的系数是
5

(用数字作答).

【名师点睛】涉及二项式定理的题,一般利用其通项公式求解.

1 ? ? 2 9.【2015 高考天津,理 12】在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为 4 x ? ?

6

.

【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项,求出当

r ? 2 时的系数,即可求得结果,体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.
10.【2015 高考安徽,理 11】 ( x ?
3

1 7 ) 的展开式中 x 5 的系数是 x

.(用数字填写答案)

【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解,其中通项是核心,运算是保证;比较复杂的问题要回到最本 质的计数原理去解决,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及幂的运算出现错误,或者不能从最本 质的计数原理出发解决问题,盲目套用公式都是考试中常犯的错误. 11.【2015 高考福建,理 11】 ? x ? 2 ?
5

的展开式中, x 的系数等于
3

2

.(用数字作答) .(用数字作答)

12.【2015 高考北京,理 9】在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x 的系数为
5

【名师点睛】本题考查二项式定理,利用通项公式求出指定项的系数,本题属于基础题,要求正确使用通项公 式Tr ?1 ?

C nr a n ? r b r ,准确计算指定项的系数.
4

13.【2015 高考新课标 2,理 15】 ( a ? x)(1 ? x ) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则

a ? __________.
【名师点睛】本题考查二项式定理,准确写出二项展开式,能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和,从而列 方程求参数值,属于中档题.
3 a ? ? 2 【2015 高考湖南,理 6】已知 ? x ? 的展开式中含 的项的系数为 30,则 a ? ( x ? x? ?

5



A.

3

B. ?

3

C.6

D-6
n

【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于容易题,只要掌握 ( a ? b) 的二项展开式的通项第
r n?r r a b ,即可建立关于 a 的方程,从而求解. r ? 1 项为 Tr ?1 ? Cn

1 ? ? 2 【2015 高考上海,理 11】在 ? 1 ? x ? 2015 ? 的展开式中, x 项的系数为 x ? ?
【考点定位】二项展开式

10

(结果用数值表示).

【名师点睛】(1)求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简通项公式后,令字母的指数符合 要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数 r+1,代回通项公式即可.(2)对于 三项式问题一般先变形化为二项式再解决.

【2015 高考上海,理 8】在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都 有,则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示).

【名师点睛】涉及排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序 无关.“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除, 再从剩下的元素中去选取.通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

2017 年高考真题分类汇编(理数):专题 9 排列组合二项式定理(解析版)
一、单选题(共 3 题;共 6 分)
1、(2017?新课标Ⅲ)(x+y)(2x﹣y)5 的展开式中的 x3y3 系数为 ( A、﹣80 B、﹣40 C、40 D、80 )

2、(2017?新课标Ⅰ卷)(1+ )(1+x)6 展开式中 x2 的系数为( ) A、15 B、20 C、30 D、35 3、(2017?新课标Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安 排方式共有( ) A、12 种 B、18 种 C、24 种 D、36 种

二、填空题(共 4 题;共 5 分)
4、(2017?山东)已知(1+3x)n 的展开式中含有 x2 的系数是 54,则 n=________. 5、(2017· 天津)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位 数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答) 6、(2017?浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求 服务队中至少有 1 名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)

7 、 ( 2017? 浙 江 ) 已 知 多 项 式 ( x+1 ) ( x+2 ) =x +a1x +a2x +a3x +a4x+a5 a5=________.

3

2

5

4

3

2

, 则 a4=________ ,

1.5 名男生和 2 名女生站成一列,男生甲必须站在正中间,2 名女生必须站在甲前面,不同的站法共有 种(用数字作答)。 2.8 人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有 2 人相邻,但这 3 人不同时相邻的排法有______种. 3.现有 6 张同排连座号的电影票, 分给 3 名老师与 3 名学生, 要求师生相间而坐, 则不同的分法 数为________. 4.在 200 件产品中有 3 件是次品,现在从中任意抽取 5 件,其中至少有 2 件次品的抽法有 种。

5.现从某校 5 名学生干部中选出 4 人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营,要 求每个夏令营活动至少有选出的一人参加,且每人只参加一个夏令营活动,则不同的参加方案的种数 是___________.(写出具体数字) 6.将 A、B、C、D、E、排成一排,其中按 A、B、C 顺序(即 A 在 B 前,C 在 B 后)的排列总数 为 。 7.如果从一排 10 盏灯中关掉 3 盏灯,那么关掉的是互不相邻的 3 盏灯的方法有 8.(1)如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻 地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着 色方法共有 种。(以数字作答)
3 2 1 4


5

(2)同室 4 人各写了一张贺年卡先集中起来,然后每人从中取回一张别人送出的贺卡,这 4 张贺年卡不

同的分配方式有__________种。 九.和、整除、倍数、约数问题 9.(1) 由 2、3、4、5 组成无重复数字的四位数,求:①这些数的数字之和;②这些数的和。 (2)由 0、2、5、7、9 这 5 个数字可组成多少个无重复数字且能被 3 整除的四位数? 10.(1)在 1、2、3、4 、…、50 这 50 个自然数中,每次取出 2 个(无论先后),使他们的积是 13 的 倍数,这样的取法有多少种? (2)① 420 共有多少个正约数?② 14175 共有多少个正约数? 十.分配、分组问题: 11.六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,问各有多少种分法? ① 甲一本、乙二本、丙三本;有 种分法。 ② 一人一本、一人二本、一人三本;有 种分法。 ③ 甲一本、乙一本、丙四本;有 种分法。 ④ 一人一本、一人一本、一人四本;有 种分法。 12.一般地,现有 6 n 本不同的书, ①分给甲、乙、丙三人,甲得 n 本、乙得 2 n 本、丙得 3n 本,则有 种分法。 ②分给三人,一人得 n 本、一人得 2 n 本、另一人得 3n 本,则有 种分法。 ③分给三人,甲、乙各得 n 本、丙得 4 n 本,则有 种分法。 ④分给三人,其中二人各得 n 本,另一人得 4 n 本,则有 种分法。 2 n 3 n ⑤分成三堆,一堆 n 本、一堆 本、一堆 本,则有 种分法。 ⑥分成三堆,有二堆各 n 本,还有一堆 4 n 本,则有 种分法。


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