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2013-2014版高中数学(人教A版)必修四配套Word版活页训练 第一章 三角函数1.6

基础达标 1.设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 周,点 P 旋转过的弧 致是( ). 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大

解析



θ d θ 所对的圆心角为 θ,由 OA=1,知 l=θ,sin2=2,所以 d=2sin2

l l =2sin2,即 d=f(l)=2sin2(0≤l≤2π). 答案 C

1 2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置图,经过2周期后,乙点 的位置将如同( ).

A.甲 C.丁 解析

B.丙 D.戊 1 因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过2周期,绳波正好从乙

点传到丁点.又在绳波的传播过程中,绳上各点只是上下振动,即纵坐标在 1 变,横坐标不变,所以经过2周期,乙点位置将移至它关于 x 轴的对称点处,

即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同. 答案 C

3.(2012· 巢湖市质量检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某 t 商场的人流量满足函数 F(t)=50+4sin2(t≥0), 则在下列哪个时间段内人流量 是增加的( A.[0,5] C.[10,15] 解析 ). B.[5,10] D.[15,20]

π t π 由 2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,知函数 F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+ 2 2 2

π],k∈Z.当 k=1 时,t∈[3π,5π],而[10,15]?[3π,5π],故选 C. 答案 C

4.已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(秒 )的变化规律可以用函数 I=5 2 π? ? sin?100πt-2? 表示,t∈[0,+∞),则这种交流电电流在 0.5 秒内往复运行 ? ? ________次. 解析 答案 2π 1 周期 T=100π=50(秒),从而频率为每秒 50 次,0.5 秒往复运行 25 次. 25

5.(2012· 盐城高一检测)某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均 匀地绕点 O 旋转.当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A、B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=________,其中 t∈[0,60]. d π πt 2 经过 t s 秒针转了30t rad.由图知 sin60=5,所以 d=

解析

πt 10sin60. 答案 πt 10sin60

6.某城市一年中 12 个月的平均气温 y 与月份 x 的关系可近似地用函数 y=a+ ?π ? Acos?6?x-6??(x=1,2,3, 12)来表示, …, 已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃, ? ? 12 月份的月平均气温最低为 18 ℃,则 10 月份的平均气温为________℃. 解析 据题意得 28=a+A,18=a-A,解得 a=23,A=5,所以 y=23+

2π ?π ? ?π ? 5cos?6?x-6??,令 x=10,得 y=23+5cos?6?10-6??=23+5cos 3 =20.5. ? ? ? ? 答案 20.5

7 . 在 波 士 顿 , 估 计 某 一 天 的 白 昼 时 间 的 小 时 数 D(t) 的 表 达 式 是 D(t) = ? 2π ? 3sin?365?t-79??+12,其中 t 表示某天的序号,t=0 表示 1 月 1 日,以此类 ? ? 推. (1)问哪一天白昼最长?哪一天最短? (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过 10.5 小时? 解 (1)白昼时间最长的一天,即 D(t)取得最大值的一天,此时 t=170 对应的

是 6 月 20 日(闰年除外),类似地,t=353 时,D(t)取得最小值,即 12 月 20 日白昼最短. ? 2π ? (2)D(t)>10.5,即 3sin?365?t-79??+12>10.5, ? ? 1 ? 2π ? ∴sin?365?t-79??>-2,t∈[0,365], ? ? ∴49<t<292,292-49=243. 所以约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时. 能力提升 8.已知 A1,A2,…An 为凸多边形的内角,且 lgsin A1+lgsin A2+……+lgsin An =0,则这个多边形是( A.正六边形 C.矩形 解析 ). B.梯形 D.含锐角菱形

由题意,得 sin A1· 2· sin An=1, sinA …·

∴sin A1=sin A2=…=sin An=1,∴A1=A2=…=An=90° . 根据多边形的内角和得 n×90° =(n-2)×180° ,解得 n=4. 答案 C

9.(2012· 菏泽高一检测)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基 π 础上,按月呈 f(x)=Asin (ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<2)的模型波动(x 为月份), 已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确 定 f(x)的解析式为________.

解析

T 由题可知 2=7-3=4,

2π π ∴T=8,∴ω= T =4.

?5+9=B, ? 2 又? 9-5 ? 2 =A, ?

?A=2, ∴? ?B=7.

?π ? 即 f(x)=2sin ?4x+φ?+7(*) ? ? ?3π ? 又过点(3,9),代入(*)式得 sin ? 4 +φ?=1. ? ? 3π π π π 由 4 +φ=2,且|φ|<2,得 φ=-4, ?π π? 即 f(x)=2sin ?4x-4?+7(1≤x≤12,x∈N*). ? ? 答案 ?π π? f(x)=2sin ?4x-4?+7(1≤x≤12,x∈N*) ? ?

10.已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记 作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据. t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

(1)根据以上数据,求函数 y=f(t)的函数表达式; (2)依据规定, 当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放, 请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进 行运动? 解 (1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),由

图知,可设 f(t)=Acos ωt+b,并且周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= T =12=6, 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1.

1 π ∴y=2cos6t+1. (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π ∴2cos6t+1>1. π ∴cos6t>0. π π π ∴2kπ-2<6t<2kπ+2, 即 12k-3<t<12k+3(k∈Z).① ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时的时间可供冲浪者 运动,即上午 9:00 至下午 3:00.


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