2015年高一数学精品优秀教案：1.3《一次、反比例、二次函数的图象与性质》(新人教A版必修一)

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一、一元一次函数： y ? kx ? b(k ? 0) ——直线 1、图象（两点） ： 1、某公司今年一月份推出新产品 A，其成本价为 492 元 / 件，经试销调查，销售量与 销售价的关系如下： 销售价 x （元 / 件） 650 销售量 y（件） 350 662 333 720 281 800 200

销售量与销售价可近似看作一次函数 （通常取表中相距较远的两组数据所得一次函数较 为精确） 。销售价定为多少时，一月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量。

2、性质： （1）定义域 x ? R ；值域 y ? R 。 （2）奇偶性： f ( x) ? kx ? b 为奇函数 ? b ? 0 。 （3）单调性：当 k > 0 时， f ( x) 在 R 上为增函数；当 k < 0 时， f ( x) 在 R 上为减函 数。 2、一次函数 f ( x) 满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? 2 x ? 7 ，求 f ( x) 的表达式。

3、当 x ? [1,3] 时，关于 x 的不等式 2t ? 1 ? ?3 x ? 1 恒成立，求实数 t 的取值范围。

知识提炼： t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最大值； t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最 小值。 4、函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在 [– 1 , 1] 上存在 x 0，使 f ( x 0 ) ? 0( x 0 ? ?1) ，求实 数 a 的取值范围。

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二、反比例函数： y ? 1、图象：

k (k ? 0) ——双曲线 x

2、性质：定义域 {x | x ? R且x ? 0} ；值域 { y | y ? R且y ? 0} 。 奇偶性：奇函数： f (? x) ? ? f ( x) 。 单调性：k > 0 时， f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为减函数； k < 0 时， f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为增函数。 3、题组训练： 1、 （2001 年北京春季高考）设函数 f ( x) ? 并证明 f ( x) 在其单调区间的单调性。

x?a (a ? b ? 0) ，求 f ( x) 的单调区间， x?b

2、 （2002 全国高考）已知函数 f ( x) ?

x2 ，那么 1? x2
。

1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 3 4

3、函数 f ( x) ?

1 1 (m ? 0), x1 , x 2 ? R ，当 x1 + x2 = 1 时， f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? . 2 4 ?m
x

（1）求 m 的值； （2）求 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) 的值。

1 8

1 4

7 8

1

x3 ? x 5、 （2003 上海春季高考）已知函数 f ( x) ? 5

?

1 3

1

x3 ? x , g ( x) ? 5

?

1 3

。

（1）证明： f ( x) 是奇函数，并求 f ( x) 的单调区间； （ 2 ）分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值，由此概括出涉及函数

f ( x) 和 g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式，并加以证明。

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三、一元二次函数： f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ——抛物线
2

1、解析式：y = ax + bx + c（一般式）= a (x – h) + k（顶点式）= a (x – x1) (x – x2)（两根式） 顶点： (h, k ) ? (?

2

2

b 4ac ? b 2 , ) ； x1 , x 2 为方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根。 2a 4a

1、已知二次函数 f ( x) 的顶点坐标为（– 1 , 3） ，且 f (1) ? 0 ，求 f ( x) 的解析式。

2、图象： （1）草图——顶点、对称轴、与 x 轴的交点等。 2、若函数 f ( x) ? x ? bx 满足 f (0) ? f (2) ，则 f ( ), f (1), f (3) 的大小关系是 （
2

1 2

）

（A） f ( ) ? f (1) ? f (3) （C） f (1) ? f ( ) ? f (3)
2

1 2

（B） f ( ) ? f (3) ? f (1) （D） f (1) ? f (3) ? f ( ) 。 ② 在 (??, 0) 上函数单调递减； ④ f (0) 是函数 f ( x) 的最小值。

1 2

1 2

1 2

3、对于函数 f ( x) ? ( x ? 1) ，下列性质正确的是 ① 对于任意 x ? R ，都有 f ( x) ? f (2 ? x) ； ③ 在 (0, ??) 上函数单调递增； （2）基本情况（六种）——对△及 a 进行讨论 3、性质： （1）定义域： x ? R 。 （2）形状——抛物线：① 开口方向 ② 顶点坐标

③ 对称轴

（3）值域（最大值、最小值）——配方： y ? a ( x ?

b 2 4ac ? b 2 ， ) ? 2a 4a 4ac ? b 2 。 4a

当 a > 0 时， ymin ?

4ac ? b 2 ； 4a
2

当 a < 0 时， ymax ?

4、已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4a 的最小值为 3，求 a 的值。

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引申：已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 4a 的最大值为 3，求 a 的值。
2

拓展：一元二次函数在给定区间的最大（小）值： 5、函数 y ? x ? 4 x ? 6, x ? [1,4] 的最小值为
2

，最大值为 ，最大值为

。 。

练习：函数 y ? x ? 3 x ? 2, x ? [?1,1] 的最小值为
2

一般结论： f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), x ? [m, n]
2

（Ⅰ）配方，求对称轴 x ? x 0 ； （Ⅱ）判断 x ? x 0 是否属于给定区间[m , n]： ①若 x 0 ? [m, n] ，则 y min ? f ( x 0 ) ，再求 f (m), f (n) ，较大者为最大值； ② 若 x 0 ? [m, n] ，则求 f (m), f (n) ，较大者为最大值，较小者为最小值。 6、求函数 f ( x) ? ?

3 ( x ? 1) 2 ? 3 在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。 4

练习 1（2006 年福建高考）求函数 f ( x) ? ? x ? 8 x 在区间[t , t + 1]上的最大值。
2

2、设函数 f ( x) ? 4 x ? 4ax ? (a ? 2a ? 2) 在[0，2]上的最大值为 3，求 a 的值。
2 2

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（4）奇偶性：y = ax + bx + c 为偶函数的充要条件是 b = 0。 （5）单调性：a > 0 时， f ( x) 在 (??,?

2

b b ] 上为减函数，在 [? ,??) 上为增函数； 2a 2a b b a < 0 时， f ( x) 在 (??,? ] 上为增函数，在 [? ,??) 上为减函数。 2a 2a
2

7、已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数，则实数 a 的取值范 围是 。

例 8、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? [?5,5] ，
2

（1）当 a = – 1 时，求 f ( x) 的最值； （2）求实数 a 的取值范围，使 f ( x) 在[– 5 , 5]上是单调函数。

四、方程

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1、一元一次方程： ax ? b ? 0 ? x ? ?

b b （与 x 轴的交点： (? ,0) ） a a

2、二元一次方程组——解法：代入法、加减法（消参） 。 3、一元二次方程： ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

（1） ? ? b 2 ? 4ac ：△> 0 时，方程有两个不等实数根；△= 0 时，方程有两个相等 实数根；△< 0 时，方程没有实数根。

b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a （2）根与系数的关系： ? c ?x ? x ? 1 2 ? a ?
设二次函数满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ， 且方程 f ( x) ? 0 的两个实根平方和为 10，f ( x) 的图象过点（0，3） ，求 f ( x) 。

（3）一元二次方程根的分布情况： （参见衔接教材 P41）

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? 0 ， x1 , x2 为方程的两个根， x0 ? ?
① 两个正根：

b 为函数的对称轴。 2a

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
② 两个负根：

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
③ 一个正根，一个负根： x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? af (0) ? 0 题组训练： 1、若一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根，求 m 的取值范围。
2

2、若一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有两个负根，求 k 的取值范围。

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3、已知关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 满足下列条件，分别求实数 a 的取值范围。 （1）方程两根都是正数； （2）方程两根都是负数； （3）方程有一个正根、一个负根。

④ 两根都比 k 大： x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 ⑤ 两根都比 k 小： x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 ⑥ 一个根比 k 大，一个根比 k 小： x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0 。 4、m 为何值时，关于 x 的方程 x ? 2mx ? (m ? 12) ? 0 两根均大于 2？
2

5、当 m 取何值时，关于 x 的方程 (m ? 1) x ? (3m ? 2) x ? 2m ? 1 ? 0 有一个根大于 1，
2

另一个根小于 1？

⑦ 在区间 [k1 , k2 ] 上仅有一根： k1 ? x1 ? k2 ? f (k1 ) f (k2 ) ? 0 。 ⑧ 在区间 [k1 , k2 ] 上有两根：

k1 ? x1 , x2 ? k2 ? ? ? 0, af (k1 ) ? 0, af (k2 ) ? 0, k1 ? x0 ? k2 。

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6、实数 a 在什么范围内，关于 x 的方程 3 x 2 ? 5 x ? a ? 0 的一个根大于 – 2 且小于 0， 另一个根大于 1 且小于 3？

7、已知关于 x 的方程 x ? (m ? 3) x ? m ? 0 至少有一个正数根，求 m 的取值范围。
2

8、设关于 x 的方程 x 2 ? x ? m ? 0 的一个根小于 0，另一个根大于 2，求实数 m 的取值 范围。

9、当 m 取什么实数时，关于 x 的方程 x ? 4 | x | ?5 ? m 有四个不相等的实数根？
2

10、已知函数 y ? x ? b, y ?| x ? 4 x ? 3 | ，试借助函数图象及其变换的知识，解答下列
2

问题： （1）当 b 取何值时，两曲线有一个公共点？两曲线有三个公共点？ （2）当 b 取何值时，两曲线有两个公共点？ （3）当 b 取何值时，两曲线有四个公共点？

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