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2015年高一数学精品优秀教案:1.3《一次、反比例、二次函数的图象与性质》(新人教A版必修一)


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一、一元一次函数: y ? kx ? b(k ? 0) ——直线 1、图象(两点) : 1、某公司今年一月份推出新产品 A,其成本价为 492 元 / 件,经试销调查,销售量与 销售价的关系如下: 销售价 x (元 / 件) 650 销售量 y(件) 350 662 333 720 281 800 200

销售量与销售价可近似看作一次函数 (通常取表中相距较远的两组数据所得一次函数较 为精确) 。销售价定为多少时,一月份利润最大?并求最大利润和此时的销售量。

2、性质: (1)定义域 x ? R ;值域 y ? R 。 (2)奇偶性: f ( x) ? kx ? b 为奇函数 ? b ? 0 。 (3)单调性:当 k > 0 时, f ( x) 在 R 上为增函数;当 k < 0 时, f ( x) 在 R 上为减函 数。 2、一次函数 f ( x) 满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? 2 x ? 7 ,求 f ( x) 的表达式。

3、当 x ? [1,3] 时,关于 x 的不等式 2t ? 1 ? ?3 x ? 1 恒成立,求实数 t 的取值范围。

知识提炼: t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最大值; t ? f ( x) 恒成立 ? t ? f ( x) 的最 小值。 4、函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在 [– 1 , 1] 上存在 x 0,使 f ( x 0 ) ? 0( x 0 ? ?1) ,求实 数 a 的取值范围。

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二、反比例函数: y ? 1、图象:

k (k ? 0) ——双曲线 x

2、性质:定义域 {x | x ? R且x ? 0} ;值域 { y | y ? R且y ? 0} 。 奇偶性:奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 。 单调性:k > 0 时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为减函数; k < 0 时, f ( x) 在 (??,0), (0,??) 为增函数。 3、题组训练: 1、 (2001 年北京春季高考)设函数 f ( x) ? 并证明 f ( x) 在其单调区间的单调性。

x?a (a ? b ? 0) ,求 f ( x) 的单调区间, x?b

2、 (2002 全国高考)已知函数 f ( x) ?

x2 ,那么 1? x2


1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 3 4

3、函数 f ( x) ?

1 1 (m ? 0), x1 , x 2 ? R ,当 x1 + x2 = 1 时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? . 2 4 ?m
x

(1)求 m 的值; (2)求 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) 的值。

1 8

1 4

7 8

1

x3 ? x 5、 (2003 上海春季高考)已知函数 f ( x) ? 5

?

1 3

1

x3 ? x , g ( x) ? 5

?

1 3



(1)证明: f ( x) 是奇函数,并求 f ( x) 的单调区间; ( 2 )分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值,由此概括出涉及函数

f ( x) 和 g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明。

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三、一元二次函数: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ——抛物线
2

1、解析式:y = ax + bx + c(一般式)= a (x – h) + k(顶点式)= a (x – x1) (x – x2)(两根式) 顶点: (h, k ) ? (?

2

2

b 4ac ? b 2 , ) ; x1 , x 2 为方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根。 2a 4a

1、已知二次函数 f ( x) 的顶点坐标为(– 1 , 3) ,且 f (1) ? 0 ,求 f ( x) 的解析式。

2、图象: (1)草图——顶点、对称轴、与 x 轴的交点等。 2、若函数 f ( x) ? x ? bx 满足 f (0) ? f (2) ,则 f ( ), f (1), f (3) 的大小关系是 (
2

1 2



(A) f ( ) ? f (1) ? f (3) (C) f (1) ? f ( ) ? f (3)
2

1 2

(B) f ( ) ? f (3) ? f (1) (D) f (1) ? f (3) ? f ( ) 。 ② 在 (??, 0) 上函数单调递减; ④ f (0) 是函数 f ( x) 的最小值。

1 2

1 2

1 2

3、对于函数 f ( x) ? ( x ? 1) ,下列性质正确的是 ① 对于任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f (2 ? x) ; ③ 在 (0, ??) 上函数单调递增; (2)基本情况(六种)——对△及 a 进行讨论 3、性质: (1)定义域: x ? R 。 (2)形状——抛物线:① 开口方向 ② 顶点坐标

③ 对称轴

(3)值域(最大值、最小值)——配方: y ? a ( x ?

b 2 4ac ? b 2 , ) ? 2a 4a 4ac ? b 2 。 4a

当 a > 0 时, ymin ?

4ac ? b 2 ; 4a
2

当 a < 0 时, ymax ?

4、已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4a 的最小值为 3,求 a 的值。

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引申:已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 4a 的最大值为 3,求 a 的值。
2

拓展:一元二次函数在给定区间的最大(小)值: 5、函数 y ? x ? 4 x ? 6, x ? [1,4] 的最小值为
2

,最大值为 ,最大值为

。 。

练习:函数 y ? x ? 3 x ? 2, x ? [?1,1] 的最小值为
2

一般结论: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), x ? [m, n]
2

(Ⅰ)配方,求对称轴 x ? x 0 ; (Ⅱ)判断 x ? x 0 是否属于给定区间[m , n]: ①若 x 0 ? [m, n] ,则 y min ? f ( x 0 ) ,再求 f (m), f (n) ,较大者为最大值; ② 若 x 0 ? [m, n] ,则求 f (m), f (n) ,较大者为最大值,较小者为最小值。 6、求函数 f ( x) ? ?

3 ( x ? 1) 2 ? 3 在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。 4

练习 1(2006 年福建高考)求函数 f ( x) ? ? x ? 8 x 在区间[t , t + 1]上的最大值。
2

2、设函数 f ( x) ? 4 x ? 4ax ? (a ? 2a ? 2) 在[0,2]上的最大值为 3,求 a 的值。
2 2

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(4)奇偶性:y = ax + bx + c 为偶函数的充要条件是 b = 0。 (5)单调性:a > 0 时, f ( x) 在 (??,?

2

b b ] 上为减函数,在 [? ,??) 上为增函数; 2a 2a b b a < 0 时, f ( x) 在 (??,? ] 上为增函数,在 [? ,??) 上为减函数。 2a 2a
2

7、已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范 围是 。

例 8、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? [?5,5] ,
2

(1)当 a = – 1 时,求 f ( x) 的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 f ( x) 在[– 5 , 5]上是单调函数。

四、方程

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1、一元一次方程: ax ? b ? 0 ? x ? ?

b b (与 x 轴的交点: (? ,0) ) a a

2、二元一次方程组——解法:代入法、加减法(消参) 。 3、一元二次方程: ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(1) ? ? b 2 ? 4ac :△> 0 时,方程有两个不等实数根;△= 0 时,方程有两个相等 实数根;△< 0 时,方程没有实数根。

b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a (2)根与系数的关系: ? c ?x ? x ? 1 2 ? a ?
设二次函数满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) , 且方程 f ( x) ? 0 的两个实根平方和为 10,f ( x) 的图象过点(0,3) ,求 f ( x) 。

(3)一元二次方程根的分布情况: (参见衔接教材 P41)

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? 0 , x1 , x2 为方程的两个根, x0 ? ?
① 两个正根:

b 为函数的对称轴。 2a

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
② 两个负根:

x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, ? ? 0 ? af (0) ? 0, ? ? 0, x0 ? 0 。
③ 一个正根,一个负根: x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? af (0) ? 0 题组训练: 1、若一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。
2

2、若一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有两个负根,求 k 的取值范围。

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3、已知关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 满足下列条件,分别求实数 a 的取值范围。 (1)方程两根都是正数; (2)方程两根都是负数; (3)方程有一个正根、一个负根。

④ 两根都比 k 大: x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 ⑤ 两根都比 k 小: x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0, ? ? 0, x0 ? k 。 ⑥ 一个根比 k 大,一个根比 k 小: x1 ? k , x2 ? k ? af (k ) ? 0 。 4、m 为何值时,关于 x 的方程 x ? 2mx ? (m ? 12) ? 0 两根均大于 2?
2

5、当 m 取何值时,关于 x 的方程 (m ? 1) x ? (3m ? 2) x ? 2m ? 1 ? 0 有一个根大于 1,
2

另一个根小于 1?

⑦ 在区间 [k1 , k2 ] 上仅有一根: k1 ? x1 ? k2 ? f (k1 ) f (k2 ) ? 0 。 ⑧ 在区间 [k1 , k2 ] 上有两根:

k1 ? x1 , x2 ? k2 ? ? ? 0, af (k1 ) ? 0, af (k2 ) ? 0, k1 ? x0 ? k2 。

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6、实数 a 在什么范围内,关于 x 的方程 3 x 2 ? 5 x ? a ? 0 的一个根大于 – 2 且小于 0, 另一个根大于 1 且小于 3?

7、已知关于 x 的方程 x ? (m ? 3) x ? m ? 0 至少有一个正数根,求 m 的取值范围。
2

8、设关于 x 的方程 x 2 ? x ? m ? 0 的一个根小于 0,另一个根大于 2,求实数 m 的取值 范围。

9、当 m 取什么实数时,关于 x 的方程 x ? 4 | x | ?5 ? m 有四个不相等的实数根?
2

10、已知函数 y ? x ? b, y ?| x ? 4 x ? 3 | ,试借助函数图象及其变换的知识,解答下列
2

问题: (1)当 b 取何值时,两曲线有一个公共点?两曲线有三个公共点? (2)当 b 取何值时,两曲线有两个公共点? (3)当 b 取何值时,两曲线有四个公共点?

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