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环球雅思中小学-北京版(第01期)14届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题03


环球雅思中小学

一.基础题组
1.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】若 实数 m 的值为( A. ? ) B. ?

? (x
0

1

2

? mx)dx ? 0 ,则

1 3

2 3

C. ? 1

D. ? 2

2.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】 ? (2 x ? 1)dx ? ___________. 0

1

2 3.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】若 a ? ? x dx , 0

2

b ? ? x 3 dx , c ? ? sin xdx ,则 a, b, c 从小到大的顺序为
0 0

2

2

.

4.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】曲线 f ( x) ? x ? 切线方程是______,在 x=x0 处的切线与直线 y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为

1 1 在 x ? 处的 x 2


1

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5.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】如图,已知点 A(11,0) ,直 线 x ? t ( ?1 ? t ? 11) 与函数 y ? x ? 1 的图象交于点 P ,与 x 轴交于点 H ,记 ?APH 的面积为 f (t ) . (I)求函数 f (t ) 的解析式; (II)求函数 f (t ) 的最大值.

2

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6.【北京市西城区 2013 年高三二模试卷(理科) 】已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 3

a?R .
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

3

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(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值.

(1 ?

2a 2a ,1 ? ). 8 分 2 2
① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [2,3]

上的最小值是 f (2) ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

………………10 分

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 ,3) 上

4

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单调递增,

考点:1.求导数,函数单调性性;2.分类讨论. 7.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考(二)数学试题(理科) 】设

1 1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3 1 10 【答案】 (I) a ? ? ; (II) . 9 3
【解析】 试题分析: (1) f ( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ?
' 2 2

1 2

1 ? 2a 4

……………………………2 分

2 ? f ( x ) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间 3

5

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二.能力题组
1.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知函数 f ? x ? ? 为正实数, e ? 2.718? . (I)若 x ?

ex ,其中 a 1 ? ax 2

1 是 y ? f ? x ? 的一个极值点,求 a 的值; 2

(II)求 f ? x ? 的单调区间. 【答案】 (Ⅰ) a ? 【解析】

4 ; (Ⅱ)详见解析. 3

6

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此时 f ?? x ? 与 f ? x ? 的变化情况如下表:
2 ? ? ? ?, a ? a ? a ? a ?

x
f ?? x ?

? ? ? ?

a? a ?a a
2

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a ? , ? a a ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a ? ? ,?? ? ? ? a ? ?

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ?x ?

所以当 a ? 1 时, f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? ?,

? ? ?

a ? a2 ? a a

? ? ? a ? a2 ? a ? ,? ,?? ? ; f ? x ? 的单 ? ? ? a ? ? ?

7

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2.【北京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】已知函数

f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III)若 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a.
① 若 a ? 1,即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, e] 上单调递增,

8

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3.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知函数

1 f ( x) ? 2 ln x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2
(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x ) 的单调性. 【答案】 (Ⅰ)? f ( x) max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 1, f ( x) min ? f (1) ? ? 【解析】

1 ; (Ⅱ)详见解析 4

9

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4.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】已知函数 f ( x) ? (m ? 0) , g () x ?e x(
2 ax

mx ?1 x2 ? 1

a) ?R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) ; (Ⅱ) (??, ? ln 2]

10

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【解析】

显然不满足 g ( x)max ? 1,故 a ? 0 不成立. ②当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ?

……………8 分

2 . a

11

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综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2] . 考点:1.函数的最值;2.函数的单调性与导数;3.分类讨论

……………13 分

5.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】已知函数 f ?x ? ? x ln x , (1)求函数 f ?x ? 的极值点; (2)若直线 l 过点 ?0,?1? ,并且与曲线 y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程; (3)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? a?x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 g ?x ? 在 ?1, e? 上的最小值(其中 e 为 自然对数的底数). 【答案】 (1)x ?

1 是函数的极小值点, 极大值点不存在; (2)x ? y ? 1 ? 0 ; (3) 当 a ? 1 时,g ? x ? e
a ?1

的最小值为 0; 当 1 ? a ? 2 时,g ? x ? 的最小值为 a ? e

; 当 a ? 2 时,g ? x ? 的最小值为 a ? e ? ae .

12

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【解析】

6.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知函数

f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ln x(a ? 0) .
(I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调区间;

13

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(III)若 f ( x) ? 0 在区间 [1,e] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

(III)由(II)可知 f ( x) 在区间 [1,e] 上只可能有极小值点, 所以 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最大值在区间的端点处取到,-------------------------12 分 即有 f (1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 0 且 f (e) ? e2 ? 2(a ? 1)e ? 2a ? 0 ,

14

环球雅思中小学

解得 a ?

e 2 ? 2e . 2e ? 2

---------------------14 分

考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值. 7.【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? a)e a ( a ? 0 ). (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? ?5 时, f ( x ) 取得极值. ① 若 m ? ?5 ,求函数 f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上的最小值; ② 求证:对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 .
x

(Ⅱ)①当 x ? ?5 时, f ( x ) 取得极值, 所以 f '(?5) ? 解得 a ? 2 (经检验 a ? 2 符合题意)

x 1 ( ?5)( ?5 ?1 ? 2 a) e a ? 0 a

……………4 分

f '( x) ?
x

1 x ? x ? 5? e x 2
(??, ?5)
+ ↗

?5
0

(?5, 0)


0
0

(0, ??)
+ ↗

f ?( x ) f ( x)

15

环球雅思中小学

②令 f '( x) ? 0 得 x ? 0,

x ? ?5 (舍)

因为 f (?2) ? 0, f (0) ? ?2, f (1) ? 0 所以 f max ( x) ? 0,

fmin ( x) ? ?2

……………11 分

所以,对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f max ( x) ? f min ( x) ? 2 ……………13 分 考点:1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值.

三.拔高题组
1.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】已知函数 f ( x ) ? e x ,点 A( a,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x 轴交于点 M , N ,记 ?AMN 的面积为 S (t ) . (I)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间;

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(II)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围.

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令 (a ? 2)e2 ? e 所以 a ? 3

1 2

,解得

a?

2 ?2 , e
…………………10 分

当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 令 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 综上所述, ln 2 ? 2 ? a …………………12 分 …………………13 分

考点:1、应用导数研究函数的单调性与最值;2、分类与整合数学思想. 2.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】已知函数 f ? x ? ? ln x ? (a ? 0) . ⑴ 求 f ? x ? 的单调区间; ⑵ 如果 P ? x0 ,y0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 上的任意一点,若以 P ? x0 ,y0 ? 为切点的切线的斜率

a x

1 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; 2 x 3 ? 2 ? bx ? a ? 1 ? 的实根情况. ⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x ? ? 2x 2

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(Ⅱ )由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足

考点:1、应用导数研究函数的单调性与最值;2、分类与整合数学思想. 3.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知函数

f ? x ? ? 2ae x ? 1, g ? x ? ? ln x ? ln a ? 1 ? ln 2 ,其中 a 为大于零的常数, e ? 2.718? ,函数 y ? f ? x ?

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环球雅思中小学

的图像与坐标轴交点处的切线为 l1 ,函数 y ? g ? x ? 的图像与直线 y ? 1 交点处的切线为 l 2 ,且 l1 // l 2 . (I)若在闭区间 ?1,5? 上存在 x 使不等式 x ? m ?

x f ? x ? ? x 成立,求实数 m 的取值范围;

(II)对于函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 公共定义域内的任意实数 x 0 ,我们把 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 的值称为 两函数在 x 0 处的偏差.求证:函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.

20

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? e x ? ln x ? f ( x) ? g( x) ? e x ? ln x ? 2
故函数 y ? f ( x ) 和 y ? g( x ) 在其公共定义域的所有偏差都大于 2............13 分 考点:函数图象的切线方程、参数分离法、函数不等式

22


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