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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.3空间向量与空间角》课时提升作业(含答案解析)


课时提升作业 (二十七)
空间向量与空间角

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 是( A.30° ) B.45° C.60° D.90° ,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所成角

【 解 析 】 选 A. 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 P(0,0,1),C(1, ,0), =(1, ,-1),平面 ABCD 的一个

法向量为 n=(0,0,1), 所以 cos< ,n>= =- ,所以< ,n>=120°,

所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30°. 2.(2014·重庆高二检测)设 ABCD,ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA⊥平面 ABCD, 则异面直线 AC 与 BF 所成的角等于( A.45° B.30° ) D.60°

C.90°

【解析】选 D.以 B 为原点,BA 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,BE 所在直线 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1), 所以 =(-1,1,0), , =(1,0,1).

所以 cos< 所以< ,

>=- .

>=120°.

所以 AC 与 BF 所成的角为 60°. 3.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角,点 E,F 分别是 AD,BC 的中点,O 是 正方形中心,则折起后,∠EOF 的大小为( A. B. = ( · |, =- . + + C. ), · = ( + + · D. ), + · )=- | |2. )

【解析】选 C. 所以 又| · |=| = (

|= | , >=

所以 cos<

所以∠EOF= . 4.在直角坐标系中,已知 A(2,3),B(-2,-3),沿 x 轴把直角坐标系折成平面角为θ 的二面角 A-Ox-B,使∠AOB=90°,则 cosθ 为( A.B. C. D.)

【解析】选 C.过 A,B 分别作 x 轴垂线,垂足分别为 A′,B′.则 AA′=3,BB′=3, A′B′=4,OA=OB= 所以 AB= 由 得| = + + |2+| ,折后∠AOB=90°, = , |2+| |2+2| |· | |· cos(π-θ).所以 26=9+16+9+2 .

|2=|

〓3〓3〓cos(π-θ),所以 cosθ= .

5.(2014·天津高二检测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 C1C 的中点,则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为( A.B. C.) D.

【解析】选 B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2, 则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1). 所以 =(-2,-2,0), =(0,0,2),

=(-2,0,1). 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z). 因为 n⊥ 所以 ,n⊥ , 所以

令 y=1,则 n=(-1,1,0). 所以 cos<n, >= = ,

设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为θ, 则 sinθ=|cos<n , >|= .

6.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形,且 AF= AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 C.如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0), F(a,0,0), =(a,a,0), =(0,2a,2a ), =(a,-a,0),

=(0,0,2a), 设平面 AGC 的法向量为 n1=(x1,y1,1), 由 ? ? ? n1=(1,-1,1).

sinθ=

=

= .

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·唐山高二检测)平面α 的一个法向量为(1,0,-1),平面β 的一个法向量 为(0,-1,1),则平面α 与平面β 所成二面角的大小为 .

【解析】设 u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面α与平面β所成二面角为θ, 则 cosθ=〒|cos<u,v>|=〒| 所以θ= 或 . 答案: 或 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1D1,A1C1 的中点,则异面直线 AE 与 CF 所成 角的余弦值为 . |=〒 .

【解析】 设正方体棱长为 2,分别取 DA,DC,DD1 所在直 线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),C(0,2,0), E(1,0,2),F(1,1,2), 则 =(-1,0,2), =(1,-1,2), 所以| · |= ,| |= .

=-1+0+4=3.

又 =

· cos<

=| ,

||

|cos<

, ,

> >= ,

>,所以 cos< .

所以所求角的余弦值为 答案:

【变式训练】已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E 是 BC 的中点. 则直线 A′C 与 DE 所成角的余弦值为 .

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则 A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0), E = 所以 cos< , , =(a,a,-a), , >= = . .

即直线 A′C 与 DE 所成角的余弦值为 答案:

9.(2014·福州高二检测)在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦 值为 .

【解析】以 A 为原点,AB,AC ,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系,由 AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), D E ,F , ,

所以

=(0,0,2),

=

,

=

, 设 平 面 DEF 的 法 向 量

n=(x,y,z). 则由 得

取 z=1,则 n=(2,0,1), 设 PA 与平面 DEF 所成角为θ, 则 sinθ= 答案: 【变式训练】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值 是 . = .

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为 1,

则 B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),

=(-1,0,1),

=(-1,0,-1),

=(-1,-1,0),

设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1,x,y),设平面 A1BD 与 BC1 所成的角为θ, n⊥ ,n⊥ , =0,n· 解得 ,n>= =- ,所以 sinθ= , =0,

所以 n· 所以

所以 n=(1,-1,-1),则 cos< 所以 cosθ= 答案: = .

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014 ·临沂高二检测 ) 四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 ,PD ⊥底面 ABCD,AD=PD=2,CD=4,E,F 分别为 CD,PB 的中点. (1)求证:EF⊥平面 PAB. (2)求直线 AE 与平面 PAB 所成的角. 【解析】(1)建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz,

则 E(0,-2,0),F(1,-2,1),P(0,0,2), A(2,0,0),B(2,-4,0), 所以 =(1,0,1), =(0,-4,0), =(2,0,-2),

所以 · 所以

·

=(1,0,1)·(0 ,-4,0)=0,

=(1,0,1)·(2,0,-2)=0, ⊥ , ⊥ ,

所以 EF⊥AB,EF⊥PA, 因为 AB? 平面 PAB, PA? 平面 PAB,AB∩PA=A, 所以 EF⊥平面 PAB. (2) 因为 =(1,0,1)是平面 PAB 的一个法向量,设直线 AE 与平面 PAB 所成的角为θ, =(-2,-2,0),所以 sinθ= = = ,

所以直线 AE 与平面 PAB 所成的角是 30°. 【变式训练】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 AA1,AB 的中点,求 EF 和平面 ACC1A1 夹角的大小. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体 棱 长 为 2, 则 由 E,F 分 别 是 AA1,AB 的 中 点 , 得 E(2,0,1),F(2,1,0).过 F 作 FG⊥AC 于 G,则由正方体 性质知 FG⊥平面 ACC1A1.连接 EG,则 为所求. 又因为 F 是 AB 的中点, 所以 AG= AC, 所以 G cos< , >= . = = . , =(0,1,-1), 与 的夹角即

所以<

,

>= ,

即 EF 与平面 ACC1A1 的夹角为 . 【一题多解】建系同上, =(0,1,-1),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0), =(0,0,-2), =(-2,2,0).

设平面 ACC1A1 的法向量为 n=(x,y,z), 则 即

令 x=1,则 y=1,所以 n=(1,1,0), cos<n, 所以<n, >= = = .

>= ,则 EF 与平面 ACC1A1 的夹角为 .

11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 D1C1,B1C1 的中点,求平面 EFC 与底面 ABCD 所成二面角的正切值. 【解析】以 D 为原点,{ , , }为单位正交基

底建立空间直角坐标系如图,则 C(0,1,0), E ,F .

设平面 CEF 的法向量为 n=(x,y,z), 则 因为 所以 = , = ,

所以

令 z=1,则 n=(-2,2,1). 显然平面 ABCD 的法向量 e=(0,0,1),则 cos<n,e>= = . .

设二面角为α,则 cosα= ,所以 tanα=2

【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点 由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来 表达,故可直接求出,而二面角的范围是[0,π ],有时比较难判断二面角是锐角 还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断 ,故这是求二面角的难 点.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面α 的方向向量和法向量,若 cos<m,n>=- , 则 l 与α 所成的角θ 为( A.30° B.45° ) C.135° D.150°

【解析】选 B.因为 cos<m,n>=- , 所以 sinθ=|cos<m,n>|= . 又因为直线与平面所成角θ满足 0°≤θ≤90°, 所以θ=45°. 2.(2014· 长春高二检测)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3,则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( A.0 B. ) C.D.

【解析】选 A.建立如图坐标系, 则 D1(0,0,3),B(2,2,0), A(2,0,0),C(0,2,0), 所以 =(-2,-2,3),

=(-2,2,0). 所以 cos< = 所以< =0. , >=90°, , >

所求角的余弦值为 0. 【变式训练】如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的 中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 .

【解析】不妨设棱长为 2,则 cos< , >=

=

-

,

=

+

,

=0,故异面直线 AB1 和 BM 所成角为 90°.

答案:90° 3.(2014·哈尔滨高二检测)在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面内的投影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是( A.30° B.45° C.60° D.75° )

【解析】选 A.如图,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz.

设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0), B(0,a,0),C(-a,0,0), P 则 = , =(2a,0,0), , =(a,a,0),设平面 PAC 的一个法向

量为 n,可取 n=(0,1,1), 则 cos< ,n>= = = ,所以< ,n>=60°,所以直线 BC 与平面 PAC

的夹角为 90 °-60°=30°. 4.(2014·南宁高二检测)如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,PA=AD=AC,点 F 为 PC 的中点,则二面角 C-BF-D 的正切值为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 D.如图所示,连接 BD,AC∩BD=O,连接 OF.以 O 为原点,OB,OC,OF 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系 Oxyz.设 PA=AD=AC=1,则 BD= 所以 B C ,D = , = ,F . 且 为面 BOF 的一个法向量, ,可求得平面 BCF 的一个法向量 , .

结合图形可知, 由 =

n= 所以 cos<n, 所以 tan<n,

. >= >= ,sin<n, . >= ,

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角 A-BD-C 的正弦值为 【解析】取 BC 中点 O,连接 AO,DO,建立如图所示的坐标系: 设 BC=1,则 A B 所以 = 由于 = = , ,D , = . , . .

为平面 BCD 的一个法向量,

设平面 ABD 的法向量 n=(x,y,z), 则 取 x=1,则 y=所以 n=(1,所以 cos<n, sin<n, 答案: 6.(2014·湛江高二检测)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= C1B 所成的角的大小为 . BB1,则 AB1 与 >= 所以 ,z=1, ,1), >= , .

【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系,再用向量法求异面直线 所成的角. 【解析】取 AC 的中点 D,建立如图坐标系,设 AB=a, 则B A 所以 = 所以 cos< , >= = ,C1 ,B1 , . =0. , .

所以 AB1 与 C1B 所成的角为 90°. 答案:90° 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,
学+科+网 Z+X+X+K] 源:

CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明 AB⊥A1C. (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【解题指南】(1)取 AB 的中点,利用线面垂直证明线线垂直. (2)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角或建立空间

直角坐标系求解. 【解析】(1)取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B.

因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O, 所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C, 故 AB⊥A1C. (2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB, 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB,所以 OC⊥平面 AA1B1B,故 OA,OC,OA1 两两相互 垂直. 以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,

建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz, 则有 A(1,0,0),A1(0, 则 =(1,0, = ), ,0), ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0).

=(-1,

=(0,-

,

).

设平面 BB1C1C 的法向量为 n=(x,y,z),

则有 可取 n=( 故 cos<n,

即 ,1,-1). >= =. .

所以直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

【变式训练】(2013·辽宁高考)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是 圆上的点.

(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC. (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C-PB-A 的余弦值. 【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定 理解决问题;借助前面的垂直关系 ,建立空间直角坐标系 ,利用向量法求二面角 的余弦值. 【解析】(1)由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC; 由 PA 垂直于圆所在的平面,得 PA⊥平面 ABC; 由 BC? 平面 ABC,得 PA⊥BC; 又 PA∩AC=A,PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

又因为 BC? 平面 PBC, 据面面垂直判定定理,平面 PAC⊥平面 PBC. (2)过点 C 作 CM∥AP,由(1)知 CM⊥平面 ABC. 如图所示,以点 C 为坐标原点,分别以直线 CB,CA,CM 为 x,y,z 轴,建立空间直角 坐标系.

在直角三角形 ABC 中,AB=2,AC=1,所以 BC= 又 PA=1,所以 A(0,1,0),B( 故 =( ,0,0),

,

,0,0),P(0,1,1).

=(0,1,1).

设平面 PBC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则 ?

? 不妨令 y1=1,则 z1=-1.故 n1=(0,1,-1). 设平面 PAB 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 由 同理可得 n2=(1, ,0).

于是 cos<n1,n2>=

=

= .

结合图形和题意,二面角 C-PB-A 的余弦值为 . 8.(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点. (1)求证:C1M∥平面 A1ADD1. (2)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= 的余弦值. ,求平面 C1D1 M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)

【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行. (2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解. 【解析】(1)连接 AD1, 因为 ABCD-A1B1C1D1 为四棱柱, 所以 CD∥C1D1,CD=C1D1, 又因为 M 为 AB 的中点,AB=2CD=2,所以 AM=1, 所以 CD∥AM,CD=AM, 所以 AM∥C1D1,AM=C1D1, 所以四边形 AMC1D1 为平行四边形, 所以 AD1∥MC1,

又因为 C1M?平面 A1ADD1,AD1? 平面 A1ADD1, 所以 C1M∥平面 A1ADD1. (2)方法一:因为 AB∥A1B1,A1B1∥C1D1, 所以平面 D1C1M 与 ABC1D1 共面, 作 CN⊥AB,连接 D1N, 则∠D1NC 即为所求二面角的平面角. 在 ABCD 中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°, 所以 CN= , 在 Rt△D1CN 中,CD1= 所以 D1N= cos∠D1NC= , = . ,CN= ,

方法二:作 CP⊥AB 于 P 点, 以 C 为原点,CD 为 x 轴,CP 为 y 轴,CD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, 所以 C1(-1,0, 所以 ),D1(0,0, = ),M , ,

=(1,0,0),

设平面 C1D1M 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 所以 所以 n1=(0,2,1), 显然平面 ABCD 的法向量为 n2=(0,0,1), 所以 cos<n1, n2>= 显然二面角为锐角, 所以平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角的余弦值为 . = = .

【变式训练】 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D 是 BC 的 中点.

(1)求证:A1B∥平面 ADC1. (2)求二面角 C1-AD-C 的余弦值. (3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使 AE 与 DC1 成 60°角?若存在,确定 E 点位置; 若不存在,说明理由. 【解析】(1)连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. 又 D 为 BC 的中点,所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD, 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. (2)由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱 ,且∠ABC=90°,得 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BC,BA,BB1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系 Bxyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0), 所以 =(1,-2,0), =(2,-2,1).

设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),

则有

所以

取 y=1,得 n=(2,1,-2). 易知平面 ADC 的 一个法向量为 v=(0,0,1). 所以 cos<n,v>= =- .

因为二面角 C1-AD-C 是锐二面角, 所以二面角 C1-AD-C 的余弦值为 . (3)假设存在满足条件的点 E. 因为点 E 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1), B1(0,0,1),故可设 E(0,λ,1),其中 0≤λ≤2. 所以 =(0,λ-2,1), =(1,0,1).

因为 AE 与 DC1 成 60°角, 所以|cos< 即 , >|= = , = .

解得λ=1 或λ=3(舍去). 所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角.


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