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第五讲 幂函数、指数函数、对数函数

第五讲 函数与方程 1.幂函数 【例 1】 手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出 其对应的图像,其中 A(2,2), B(3,2 ? 2) ,如图所示.在作曲线段 AB 时, 该学生想把函数 y ? x 2 , x ? [0,1] 的图像作适当变换,得到该段函数的曲
1

y
B

2

A

O

2 3 x

3] 上对应的函数解析式________. 线.请写出曲线段 AB 在 x ? [2,
2 解: y ? x , x ? [0,1] 单调递增,图象的两端点为(0,0),(1,1), 1

变换后的端点(0,0)变为(2,2),(1,1)变为 (3, 2 ? 2 ) ,则需纵向拉伸和向上平移,

3] 时,对应的解析式为: y ? a( x ? 2) 2 ? 2 , 所以,设 x ? [2,
2 将 (3, 2 ? 2 ) 代入,得: 2 ? 2 ? a(3 ? 2) ,解得: a ? 2
2 ?y ? ( 2 x ? 2) ?2 1

1

1

【变式】 手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出 其对应的图像,其中 A(2, 2) ,如图所示.在作曲线段 AB 时,该学生想把 函数 y ? x 2 , x ? [0, 2] 的图像作适当变换,得到该段函数的曲线.请写出
1

y
B

2

A

O

2 3 x

3] 上对应的函数解析式________. 曲线段 AB 在 x ? [2,
y? ( 2 x ? 2) ? 2
【例 2】幂函数 y ? x? ,当 ? 取不同的正数时,在区间 [0,1] 上
B y
1 2

它们的图象是一簇美丽的曲线 (如图) , 称这簇曲线为 “幂族曲线” , 设点 A(1, 0),B(0,1) ,连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两条幂族 曲线 y ? x 和 y ? x 三等分,即有 BM ? MN ? NA ,
? ?

y=xα M N y=xβ

那么 ?? ? _____________ 。

1 2 2 1 解:由已知得 M ( , ), N ( , ) ,因为 M、N 分别在 y ? x? 和 3 3 3 3
? ?
?

O

A

x

2 ?2? 1 2 1 ?1? y ? x 的图象上,所以 ? ? ? , ? ? ? ,即? ? log 1 , ? ? log 2 3 ?3? 3 3 3 ? 3? 3 3
??? ? log 1
3

2 1 ? log 2 ? 1 3 3 3

1

【例 3】若 f ( x) ? x ? x
2

2 3

?

1 2

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是
? 1 2

.

【解析】 f ( x) ? 0 ? x 3 ? x

,结合幂函数图像,如下图,可得 x 的取值范围是 (0,1)

【例 4】若函数 f ? x ? ? x 2 ? x 3 ? 4 的零点 m ? ? a, a ? 1? , a 为整数,则所以满足条件 a 的值 为 。

2

【解】 1 或 ? 2

2.指数函数的图象与性质 【例 1】若函数 f ( x ) ? ?
x ? ?2 , x ? 0 则函数 y ? f ? f ( x )? 的值域是__________。 ?x ? 2 , x ? 0 ? ?

解:? f ( x ) ? ( ?1, 0) ? (0,1) ,设 t ? f ( x ) ,则 f ( t ) ? ? ?1, ?

? ?

1? ?1 ? ? ? , 1? 2? ? ?2 ?

1? ?1 ? ? 即 f ? f ( x )? ? ? ?1, ? ? ? ? ,1? 2? ?2 ? ?

? 2 3 ?? x ? x ? 5, 0 ? x ? 1 【例 2】已知函数 f ( x ) 为偶函数,且 f ( x ) ? f ( x ? 4) ,又 f ( x ) ? ? , 2 ?2 x ? 2? x ,1 ? x ? 2 ?

?1? 函数 g( x ) ? ? ? ? a ,若 F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) 恰好有 4 个零点,则 a 的取值范围是_____. ?2?
【答案】 2 ? a ?

| x|

19 8

【解析】:由题意可知, f ( x ) 是周期为 4 的偶函数,所以 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ? 4) 因此,对称轴为 x ? ?2 ,因为 f ( x ), g( x ) 都是偶函数,所以 F ( x ) 也是偶函数, 要使 F ( x ) 恰有 4 个零点,只需 y ? f ( x ), y ? g( x ) 在 y 轴的右侧有两个交点即可, 作出二者的图象可知,必有 ?

? g(1) ? f (1) 19 ,解得: 2 ? a ? 8 ? g(3) ? f (3)

2

y
5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

x

?1? ?1? 【例 2】已知实数 a,b 满足等式 ? ? ? ? ? , 下列五个关系式:① 0 ? b ? a ;② a ? b ? 0 ; ? 2? ? 3?
③ 0 ? a ? b ;④ b ? a ? 0 ;⑤ a ? b 。其中不可能成立的有( A、1 个;B、2 个;C、3 个;D、4 个。 )

a

b

?1? ?1? ? 1? ?1? 解: 如图, 令 y1 ? ? ? , y2 ? ? ? ,由? ? ? ? ? 得 : a ? b ? 0或0 ? b ? a或a ? b ? 0, 故选B ? 2? ? 3? ? 2? ? 3?
y

x

x

a

b

1

a

b

O b a

x

【例 3】已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 , a ? b ? c, 且f (a ) ? f (c ) ? f (b) ,则下列结论中,一定成立 的是( )

A.a ? 0, b ? 0; C ? 0; B.a ? 0, b ? 0, c ? 0; C .2?a ? 2c ; D.2a ? 2c ? 2
解:作出函数 y ? f ( x ) ? 2 x ? 1 的图象,因为 a ? b ? c, 且f (a ) ? f (c ) ? f (b) 结合图象知, f (a ) ? 1, a ? 0; 0 ? f (c ) ? 1, 0 ? c ? 1;

?0 ? 2a ? 1,1 ? 2c ? 2,? f (a ) ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a , f (c) ? 2c ? 1 ? 2c ? 1 ,

3

? f (a ) ? f (c),?1 ? 2a ? 2c ? 1,?2a ? 2c ? 2, 选D 。
y

1

O
-1

1

x

【例 4】设函数 f ( x) ? a x ? b x ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0. (1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, 且a=b? ,则

(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____。
(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

.(写出所有正确

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0.

1] 解: (1) (0,
a c ln 2 由题知c ? a, c ? a ? b ? 2a,令f ( x) ? 2a x ? c x ? c x [2( ) x ? 1] ? 0 ? ( ) x ? 2 ? x ? c c a ln a c c ln 2 ln 2 ln 2 ? ? 2.又 ? ln ? ln 2 ? 0 ? ? ? 0,? x ? ? (0, 1] 。 c a a ln 2 ln c ln a a

1] 所以 f(x)的零点集合为 (0,
(2)①②③

解:

a b a b a b a b a?b?c f ( x) ? c x [( ) x ? ( ) x ? 1],? ? 1, ? 1,? ?x ? (?? ,1), ( ) x ? ( ) x ? 1 ? ( )1 ? ( )1 ? 1 ? ?0 c c c c c c c c c
所以①正确。

令x ? 1, a ? b ? 1, c ? 2, 则a x ? 1, b x ? 1, c x ? 2不能构成三角形的三条 边长. 所以②正确。

4

若三角形为钝角三角形,则令a 2 ? b2 -c 2 ? 0; f (1) ? a ? b ? c ? 0, f (2) ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 0

? x ? (1,2),使f ( x) ? 0 。所以③正确。
【例 4】设函数的集合 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? ,

? ?

1 2

1 2

? ?

平面上点的集合 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? , 则在同一直角坐标系中,P 中函

? ?

1 2

1 2

? ?

数 f ( x ) 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a=

1 1 ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案选 B, 2 2

3.对数函数的图象与性质

【例2】 .函数f ( x) ? a x ? x 2 (a ? 1)有三个不同的零点, 则实数a的取值范围是 ________ .
【解】 .令f ( x ) ? a x ? x 2 ? 0,即a x ? x 2 , 两边取对数, 再分离参数得 故可化归为g( x ) ? 2 ln | x | ? ln a . x

2 2 ln | x | 与y ? ln a的交点问题, 根据图像,易得1 ? a ? e e . x

【例 1】(2015 高考北京,理 7)如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式

f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集是(


y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. ? x | ?1 ? x ≤ 0? C. ? x | ?1 ? x ≤ 1?

B. ? x | ?1 ≤ x ≤ 1? D. ? x | ?1 ? x ≤ 2?

5

【答案】C 【解析】如图所示,把函数 y ? log 2 x 的图象向左平移 一个单位得到 y ? log2 ? x ? 1? 的图象 x ? 1 时两图象相 交,不等式的解为 ?1 ? x ? 1 , 用集合表示解集选 C

0 ? x ?1 ?0, ? 【例 2】定义“正对数” : ln x ? ? ,现有四个命题: ?ln x , x ? 1
①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln? (a b ) ? b ln? a ; ②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln? (ab) ? ln? a ? ln? b
??a? ? ? ③若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? ? ? ln a ? ln b ?b?

④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln? (a ? b) ? ln? a ? ln? b ? ln 2 其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)
解:①③④ 对于①:当 a ? 1, b ? 0 时, a ? 1 , ln
b

?

(ab ) ? ln ab ? b ln a, b ln ? a ? b ln a ,

所以 ln

?

(ab ) ? b ln ? a 成立。
b

当 0 ? a ? 1, b ? 0 时, 0 ? a ? 1 ,此时 ln 当 a ? 1, b ? 0 时, a ? 1 ,此时 ln
b

?

(ab ) ? 0, b ln ? a ? 0 ,即 ln ? (ab ) ? b ln ? a 成立。

?

(ab ) ? 0, b ln ? a ? 0 ,即 ln ? (ab ) ? b ln ? a 成立。

综上 ln

?

(ab ) ? b ln ? a 恒成立。
1 ? ? ? 时, ln (ab) ? ln1 ? 0,ln a ? ln e ? 1,ln b ? 0 , e

对于②:当 a ? e, b ? 所以 ln
?

(ab) ? ln ? a ? ln ? b 不成立。

?a ? b ?a ? b ?a ? b a ? ? ? 对于③: 当0 ? ? 1时, 有 ?0 ? a ? 1或 ?a ? 1 或 ?0 ? a ? 1 b ?0 ? b ? 1 ?b ? 1 ?b ? 1 ? ? ?
经验证: ln ?
?

?a? ? ? ? ? ln a ? ln b 成立。 ?b?
6

?a ? b ?a ? b ?a ? b a ? ? ? 当 ? 1时, 有 ?0 ? a ? 1或 ?a ? 1 或 ?0 ? b ? 1 b ?0 ? b ? 1 ? b ? 1 ? a ? 1 ? ? ?
经验证: ln ?
?

?a? ? ln ? a ? ln ? b 成立。 ? ?b?

a ?a? 当 ? 1时,ln ? ? ? ? ln ? a ? ln ? b成立 ,故③正确; b ?b?
对于④:分四种情况进行讨论: 当 a ? 1, b ? 1 时,不妨令 a ? b, 有2ab ? 2a ? a ? b, 此时, ln? (a ? b) ? ln? a ? ln? b ? ln 2成立 。 同理, 当a ? 1, 0 ? b ? 1或0 ? a ? 1, b ? 1或0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1时,

ln? (a ? b) ? ln? a ? ln? b ? ln 2成立 ,故④正确。
所以正确的命题为①③④。

4、函数的图象 【例 1】 (2013 江西理 10)如图, 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线,l1 , l2 之

? 的长为 间 l // l1 , l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于E,D两点,设弧 FG
x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致


解: D ; 当 x 逐渐增大时, y 也逐渐增大,故 y 随 x 的增大而增大,故排除 B 项。下面定性分析:
7

当x?

?
2

时,弧长所对的圆心角为 ?FOG ?

?
2



可求得 l 向上移动的距离为 1 ? 1? cos

?
4

? 1?

2 , 2

2 2 ? 2 3 ? 6 ,又易知 BC ? 1 ? 2 3 , 故此时 BE ? sin 60? 3 sin 60? 3 1?
故 y ? BE ? BC ? CD ? 2BE ? BC ? 2 ?

2 3 ? 6 2 3 6 3 ?2 6 , ? ? 3 3 3

2 3 ?2 3 6 3?2 6 4 3 ? 3 ? 因为 ,所以函数 f ( x ) 的图像是凹凸型,故选 D。 3 2 3
【例 2】10.如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点, 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下面部 分的体积为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x) 的图像大致为

解:A (定性法)当 0 ? x ? 度越来越快;当

1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递减的速 2

1 ? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知,V ? x ? 单调递减,且递减的速 2

度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A.

8

5、函数与方程
2 x ? ?( 2 x ? x )e , x ? 0, 【例3】 .(1)已知函数f ( x ) ? ? 2 g( x ) ? f ( x ) ? 2k , 若函数g( x )恰有 ? ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

两个不同的零点, 则实数k的取值范围是 _________ . (选2)已知函数f ( x ) ? e x ? 1, g( x ) ? ? x 2 ? 4 x ? 3, 若f (a ) ? g(b), 则b的取值范围是 _________ .
【解】 .(1)若函数g ( x )恰有两个不同的零点, 等价于函数y ? f ( x )与y ? ?2k 有两个不同的交点. 当x ? 0时,f '( x ) ? ( 2 ? x 2 )e x . 令f '( x ) ? 0得x ? ? 2 , 当x ? ( ??, ? 2 )时, f '( x ) ? 0, f ( x )为减函数, 当x ? ( ? 2 , 0)时, f '( x ) ? 0, f ( x )为增函数, 故x ? ? 2是函数的一个极小值点,极小值为( ?2 2 ? 2)e ? 2 . 当x ? ??时, f ( x ) ? 0, 所以3 ? ?2k ? 7或 ? 2k ? ( ?2 2 ? 2)e ? 2 或k ? 0, ? 7 3 ? ? 1? 2 ? 综上,k的取值范围是( ? , ? ) U ?0, ; 2 ? 2 2 ? e ? ? ? ( 2)由题可知f ( x ) ? e x ? 1 ? ?1, g( x ) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1, 若有f (a ) ? g (b ), 则g (b ) ? ( ?1,1], 即 ? b 2 ? 4b ? 3 ? ?1, 解得b ? ( 2 ? 2 , 2 ? 2 ).

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2, ? 【例6】 .已知函数f ( x ) ? ? 1 2 ,若存在实数a , b, c , d 满足f (a ) ? f (b) x ? 5 x ? 12 , x ? 2 , ? ?2 ? f (c ) ? f (d ), 其中d ? c ? b ? a ? 0, 则abcd的取值范围是 _________ .
【解】 .由题意知 ? 4 log 2 a ? 4 log 2 b ? 1 2 1 c ? 5c ? 12 ? d 2 ? 5d ? 12, 因此 log 2 a ? log 2 b ? 0, 2 2 1 1 ab ? 1, 令 x 2 ? 5 x ? 12 ? 0得c ? 4, d ? 6, cd ? 24.令 x 2 ? 5 x ? 12 ? 4得c ? 2, d ? 8, cd ? 16. 2 2 ? abcd ? (16, 24).

【选例7】 .已知函数f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c有两个极值点x1 , x2 , 若f ( x1 ) ? x1 ? x2 , 则关于x的 方程3( f ( x ))2 ? 2af ( x ) ? b ? 0的不同实数根个数为 _____ .
【解】 . f '( x ) ? 3 x 2 ? 2ax ? b, 则x1 , x2是3 x 2 ? 2ax ? b ? 0的两根; 3t 2 ? 2at ? b ? 0必有两根t1 ? x1 , t 2 ? x2 ,即f ( x ) ? x1 ,f ( x ) ? x2 . 因为f ( x1 ) ? x1 ? x2 , 作y ? x1 ,y ? x2与f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c的图像, f ( x1 )是极大值,所以两直线与函数图像交点共三个, 所以方程的根的个数为3.

9

? ?0, 【例 1】 (2015 高考江苏,13)已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? ? 2 ? ? x ? 4 ? 2,
则方程 f ( x ) ? g( x ) ? 1 实根的个数为 【答案】4

0 ? x ?1 x ?1



【解析】由题意得:求函数 y ? f ( x) 与 y ? 1 ? g ( x) 交点个数以及函数 y ? f ( x) 与
? 1, 0 ? x ? 1 ? y ? ?1 ? g ( x) 交点个数之和,因为 y ? 1 ? g ( x) ? ? 7 ? x 2 , x ? 2 ,所以函数 y ? f ( x) 与 ? x 2 ? 1,1 ? x ? 2 ? ? ?1, 0 ? x ? 1 ? y ? 1 ? g ( x) 有两个交点,又 y ? ?1 ? g ( x) ? ? 5 ? x 2 , x ? 2 ,所以函数 y ? f ( x) 与 ? x 2 ? 3,1 ? x ? 2 ?

y ? ?1 ? g ( x) 有两个交点,因此共有 4 个交点

【例 2】 20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像 的一个对称中心为 (

?
4

, 0) , 将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵

坐标不变) ,在将所得图像向右平移 (1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (

? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像. 2

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若 6 4

存在,请确定 x0 的个数; 若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点. 本小题主要考查同角三角函数的基本关系. 三角恒等变换. 三角函数的图像与性质. 函数. 函 数的导数.函数的零点.不等式等基础知识,考查运算求解能力.抽象概括能力,考查函数 与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想.化归与转化思想,满分 14 分. 解: (Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

,所以 f ( x) ? cos 2 x
10

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图 象,再将 y ? cos x 的图象向右平移 (Ⅱ)当 x ? (

? 个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x 2

? ?

1 1 2 , ) 时, ? sin x ? , 0 ? cos 2 x ? 6 4 2 2 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x

? ? , ) 内是否有解 6 4 ? ? 设 G( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2cos 2 x , x ? ( , ) 6 4
问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 则 G?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内单调递增 6 4 6 4 1 ? 2 ? 0 , G( ) ? ?0 4 4 2

? ?

又 G( ) ? ?

?

6

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

? ? , ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

, ) 满足题意 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x ) ? 0 的 解,所以方程 F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ? 现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? k? (k ? Z ) sin x

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 2 2 sin x

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

11

( 0, ) 2 h '( x ) ? h( x ) ?

x

?

?
2 0 1

? 3? 3? 3? ( , ? ) (? , ) ( , 2? ) 2 2 2 2 ? ? 0 ? ? ? ?1 ?

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交 点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时, 直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个交点, 从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点, 由周期性, 2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342 综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点 解法二:依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? ?2 sin x ? a sin x ? 1, x ? ? 0, 2?
2

?

设 t ? sin x, p(t ) ? ?2t ? at ? 1? ?1 ? t ? 1? ,
2

且 p(0) ? 1 ? 0, p( ?1) ? ?a ? 1, p(1) ? a ? 1 当 a ? 1 时 , p( t ) 有一个零点 t1 ? ( ?1, 0) ( 另一个零点 t 2 ? 1 舍去 ), F ( x ) 在 ? 0, 2? 上有两 个零点 x1 , x2 , 且x1 , x2 ? (? , 2? ) 当 a ? ?1 时, p( t ) 有一个零点 t1 ? (0,1) (另一个零点 t 2 ? ?1 舍去), F ( x ) 在 ? 0, 2? 上有两 个零点 x1 , x2 , 且x1 , x2 ? (0, ? )
12

?

?

当 ?1 ? a ? 1 时 , p( t ) 有 一 个 零 点 t1 ? ( ?1, 0) , 另 一 个 零 点 t 2 ? (0,1) , F ( x ) 在

(0, ? )和(? , 2? ) 上分别有有两个零点;
由正弦函数的周期性可知,当 a ? ?1 时,函数 F ( x ) 在 (0, n? ) 内总有偶数个零点,从而不 存在正整数 n 满足题意; 当 a ? 1 时,函数 p( t ) 有一个零点 t1 ? ( ?1, 0) ,另一个零点 t 2 ? 1 ; 当 a ? ?1 时,函数 p( t ) 有一个零点 t1 ? ?1 ,另一个零点 t 2 ? (0,1) ; 从而当 a ? 1 或 a ? ?1 时,函数 F ( x ) 在 ? 0, 2? 上有 3 个零点。

?

2013 ? 3 ? 671 ,依题意得 n ? 671? 2 ? 1342 ,
综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点。

? 3 ? 4 ? 8 x ? 2 ,1 ? x ? 2 ? 【例】定义函数 f ( x ) ? ? ,则函数 g( x ) ? xf ( x ) ? 6 在区间 ?1, 8? 内所 1 x ? ? ? f ? ?, x ? 2 ? ?2 ? 2 ?
有零点的和为_________________. 【解】当 2 ? x ? 4 时, 1 ?

x 1 ? x? 1? x 3? ? 2 ,所以, f ( x ) ? f ? ? ? ?4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 | x ? 3 |; 2 2 ? 2? 2? 2 2?

当 4 ? x ? 8 时, 2 ?

? x 1 ? x? 1? x 1 ? 4 ,所以, f ( x ) ? f ? ? ? ?2 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? | x ? 6 |; 2 2 ? 2? 2? 2 2 ?

6 3 的图象如图,易知,两函数的交点的横坐标分别为 , 3, 6 x 2 3 21 所以, 函数 g( x ) ? xf ( x ) ? 6 在区间 ?1, 8? 内所有零点的和为 ? 3 ? 6 ? 2 2
画出函数 y ? f ( x )与y ?
y

4

2 1

O

1

2

3

4

6

8

x

事实上,函数 f ( x ) 图象即是将其在 [1, 2] 上的图象上的每一个点的横坐标伸长为原来的 2 倍,

13

纵坐标缩小为原来的

1 即可得. 2

2、设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ 【解】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

a2 ?7 , x

a2 ? 7 ? a ?1 x

8 . 7

3、函数 f ( x) ? loga x ? a( x ? 1)2 ? 8 在区间 ? 0,1? 内无零点,则实数 a 的范围是 【解】 ?1, 2? 5、函数 f ? x ? ? 1 ? x ? x ? 1? ,若函数 g ? x ? ? x2 ? ax 是偶函数, 则 f ?a? ? 【解】1。 6 、 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ?

?| lg x | , x ? 0 ,
2 ?? x ? 2 x , x ? 0 ,

若 关 于 x 的 函 数

y ? 2 f 2 ( x) ? 2bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是____________
【解】设 f ( x ) ? t ,要使满足题设,则必须 f ( x ) ? t 有 4 个解,且方程 2t ? 2bt ? 1 ? 0 有两
2

个不相等的实根, 结合图象,要使 f ( x ) ? t 有 4 个解,则 t ? (0,1) 所以问题转化为:在 (0,1) 上, 方程 2t ? 2bt ? 1 ? 0 有两个不相等的实根,
2

14

所以,解得 ? ?

? 3 ? , ? 2? ? 2 ?
2

8、若函数 f ( x) ? 2x 【解】 (- ? , 0]

?ax?1?3a

是定义域为 R 的偶函数,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是

9、已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ___________
a

【解】 10 10 、设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当

?1? x ? ?? 2,0? 时, f ( x) ? ? ? ? 1.若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? ?2?
恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是 【解】 。

x

?

3

4 ,2

?

11.已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数.
x 设 f ( x) ? 2 ?

1 ,若 g ( x) 的最小值为 6,求常数 ? 的值. 2x

【解】:(2)? g ( x) ? ? 2 x ?

? ?

1 ? ? x ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? x ?? ? ? ? 2 x ? x ? ? ? 2? ? 2 x ? ? x ? , x ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?2 ?
1 1 ? 2? ? ? ? 2 ? 6 解得 2? ? 2 ? 3 ? 2 2

g ( x) ? 2? ? ? 2 x ? ?
2

2? ? ? 2

1

x 2

?

? 2? ?

所以 ? ? log 2 2 ? 3

?

?
a , ( x ? 0), a 为实数. x

12、已知函数 f ( x) ? x ?

(1)当 a ? ?1 时,判断函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并加以证明; (2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的最小值. 【解】 (1)由条件: f ( x) ? x ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增. x

15

任取 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2
1 ?0 x1 x2

? x2 ? x1 ? 1,? x1 ? x2 ? 0,1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

? 结论成立

(2)当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值不存在; 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的最小值为 0; 当 a ? 0 时, y ? f ( x) ? x ?

a ? 2 a ,当且仅当 x ? a 时, x

y ? f ( x) 的最小值为 2 a ;

13、已知函数 f ( x) ?

1? 1? 1? 1? ? x ? ? , g ( x) ? ? x ? ? . 2? x? 2? x?

(1)求函数 h( x) ? f ? x ? ? 2g ? x ? 的零点; ( 2 )若直线 l : ax ? by ? c ? 0 a, b, c为常数 与 f ( x ) 的图像交于不同的两点 A、B ,与

?

?

g ( x) 的图像交于不同的两点 C、D ,求证: AC ? BD ;
(3)求函数 F ( x) ? ? ? f ? x ?? ? 【解】 (1)由题 h( x) ?
2n

?? ? g ? x ?? ?

2n

? n ? N ? 的最小值.
*

3x 1 3 3 ,函数 h( x) 的零点为 x ? ? ? ?0? x ?? 2 2x 3 3

(2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ? 2a ? b ? y ? 2?x? x? ? ? ? ?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 同理由 ? 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x3 ? x4 ? ? 2a ? b ? y ? 2?x? x? ? ? ?

16

则 AB 中点与 CD 中点重合,即 AC ? BD

1 (3)由题 F ( x) ? 2 n 2
?
?

2n 2n ?? 1? 1? ? ? ?? x ? ? ? ? x ? ? ? x? x? ? ? ?? ? ?

1 1 2n?2 3 2 n ?6 2 n ?3 6 ? 2 n 2 n ?1 2 ? 2 n 2C2 ? 2C2 ? ? ? 2C2 ? 2C2 ? nx nx n x n x 2n ? 2
1 3 2 n ?6 2 n ?3 2 n ?1 ?C1 x2n ?2 ? x2?2n ? ? C2 ? x6?2n ? ? ? ? C2 x6?2 n ? x2 n ?6 ? ? C2 x2 ?2 n ? x2 n ?2 ?? ? ? n ?x n n 2n ? 2n ? ? 2

?

1 1 3 2 n ?3 2 n ?1 2C2 ? 2C2 n ? 2C2 n ? ? ? 2C2 n n ? 2n ? 2

? 1 ,当且仅当 x ? ?1 时,等号成立
所以函数 F ( x) 的最小值为 1

14、已知函数 f ( x) ? 2x ? k ? 2? x (k ? R) . (1)若函数 f ( x ) 为奇函数,求 k 的值; (2)若函数 f ( x ) 在 ? ??,2? 上为减函数,求 k 的取值范围. 【解】 (1) f ( x) ? f (? x) ? (k ? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对一切的 x ? R 成, 所以 k ? ?1 (2)若 k ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ? ??,2? 单调递增(舍)
x 当 k ? 0 时,令 t ? 2 ? ? 0,4? ,

则函数 g (t ) ? t ? 所以 k ? 4 , 即 k ? 16

k 在 ? 0, 4? 上单调递减 t

15 、设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,值域为 A ,如果存在函数 x ? g ? t ? ,使得函数

y? f ? ? g ?t ?? ? 的值域仍是 A ,那么称 x ? g ? t ? 是函数 y ? f ? x ? 的一个等值域变换.
(1) 判断下列函数 x ? g ? t ? 是不是函数 y ? f ? x ? 的一个等值域变换?说明你的理由; ① f ? x ? ? log2 x, x ? 0 , x ? g ? t ? ? t ? , t ? 0 ; ② f ? x ? ? x ? x ? 1, x ? R , x ? g ?t ? ? 2 , t ? R .
2 t

1 t

17

(2) 设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D , 值域为 A , 函数 g ? t ? 的定义域为 D1 , 值域为 A1 , 那么“ D ? A1 ”是否为“ x ? g ? t ? 是 y ? f ? x ? 的一个等值域变换”的一个必要 条件?请说明理由; ( 3 ) 设 f ? x ? ? log2 x 的 定 义 域 为 x ? ? 2,8? , 已 知 x ? g ? t ? ?

mt 2 ? 3t ? n 是 t2 ?1

? 的定义域为 R , 且函数 y ? f ? 求实数 m、n y ? f ? x ? 的一个等值域变换, ? g ?t ??
的值. 【解】 (1)①不是
1? 3 3 ? ?3 ? ② f ? x ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ? ,即 f ? x ? 的值域为 ? , ?? ? , 2? 4 4 ? ?4 ? ? t 1? 3 3 ?3 ? 当 t ?R 时, f ? ? g ? t ?? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 4 ,即 y ? f ? ? g ? t ?? ? 的值域仍为 ? 4 , ?? ? ,所以 ? ? ? ?
2 2

x ? g ? t ? 是 f ? x ? 的一个等值域变换.

(2)不必要性的反例:
f ? x ? ? x2 , D ? R, B ? ?0, ?? ? g ?t ? ? 2t ?1, D1 ? R, B1 ? ? ?1, ???
t 此时 B1 ? D ,但 f ? ? g ? t ?? ? ? ? 2 ? 1? 的值域仍为 B ? ?0, ?? ? , 2

即 g ? t ? ? 2t ? 1? x ? R ? 是 f ? x ? ? x2 ? x ? R ? 的一个等值域变换.(反例不唯一) (3) f ? x ? ? log2 x 定义域为 ? 2,8? ,因为 x ? g ? t ? 是 f ? x ? 的一个等值域变换,且函数 f ? ? g ? t ?? ? 的定义域为 R ,所以 x ? g ? t ? ?
2? mt 2 ? 3t ? n , t ? R 的值域为 ? 2,8? , t 2 ?1

mt 2 ? 3t ? n ? 8 ? 2 ? t 2 ? 1? ? mt 2 ? 3t ? n ? 8?t 2 ? 1? , t 2 ?1

?2 ? m ? 8 ?m ? 5 ? ? 2 ? 所以,恒有 ??1 ? 9 ? 4 ? m ? 2 ?? n ? 2 ? ? 0 ,解得 ? . ?n ? 5 ? 3 3 ? ? ?? 2 ? 9 ? 4 ? m ? 8 ?? n ? 8 ? ? 0 ? 2

?

3 3

例、函数 f ?x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中 b ? 0

?

(1)若 f ?x ? 是奇函数,求 b 的值; (2)在(1)的条件下,判别函数 y ? f ?x ? 的图像是否存在两点 A,B,使得直线 AB 平行
18

于 x 轴,说明理由; 解: (1)? b ? 0,? 4 x 2 ? b ? 所以函数 f ?x ? ? lg

4 x 2 恒成立,

? 4x

2

? b ? 2 x 的定义域是 R,关于原点对称

?

f ?x ? 是奇函数, f ?0? ? 0

f ?0? ? lg b ? 0 ? b ? 1
(2)假设存在 A, B 两点,使得 AB 平行 x 轴, k AB ? 0
2 2 ? lg? ? 4 x1 ? 1 ? 2 x1 ? ? ? lg? ? 4 x2 ? 1 ? 2 x2 ? ? ? ? ? ?

4 x12 ? 1 ? 4 x2 2 ? 1 ? 2 x2 ? 2 x1 ,两边平方化简得到: 4x12 ? 4x2 2 ? 1 ? 0
得到矛盾,? y ? f ?x? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行

19


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