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上海市历年高考题08数学[1]


1. 已知集合 A ? x x ? ?1 或 2 ? x ? 3 ? ,B ? x ? 2 ? x ? 4 , 则 A? B ?

?

2008

?

?

.

3n ? 1 ? 2.计算: lim n ?1 n ?? 3 ? 2n
3.函数 f ( x) ?

.

? x2 ? x ? 6 的定义域是 x ?1

.

4.方程 2cos ? x ?

? ?

??

? ? 1 在区间 ( 0, ? ) 内的解是 4?

.

5.已知数列 ? an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 . 若 a1、a2、a5 成等比数列,则 an ? . 6.化简: cos ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?3 ? ?6 ?

.

7. 已知 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上的一点, 双曲线的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 . 设 a2 9

F1、F2 分 别 为 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 . 若 PF2 ? 3 , 则

PF1 ?

.

8.已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图 如右图所示,则该凸多面体的体积 V ? 9.已知无穷数列 ? an ? 前 n 项和 S n ? . .

1 an ? 1 ,则数列 ? an ? 的各项和为 3

10.古代“五行”学说认为: “物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土 克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,设事件 A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻” ,则事件 A 出现的概率是 (结果用数值表示).

11. 已知 a1 , a2 , ?, an ;b1 , b2 , ?, bn( n 是正整数) , 令 L1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,L2 ? b2 ? b3

?? ? bn , ? , Ln ? bn . 某人用右图分析得到恒等式: a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? a1L1 ? c2 L2 ? c3 L3 ?? ?ck Lk

y

?? ? cn Ln ,则 ck ?
12.已知 A(1, 2),

(2 ? k ? n) .
a3 a1 a2 b3
......

an-1

an

B(3, 4) ,直线 l1 : x ? 0, l2 : y ? 0
o

b1 b2

bn-1 bn

x

2008

和 l3 : x ? 3 y ?1 ? 0 . 设 Pi 是 li ( i ? 1, 2, 3) 上与 A、

B 两点距离平方和最小的点,则△ PP 1 2P 3 的面积是
13 .已知向量 a ? ( 2, ? 3), b ? ( 3, ? ),若 a // b ,则 ? 等于 ( ) (A)

. [答 ]

?

?

?

?

2 . 3

(B) ?2 .

(C) ?

9 . 2

(D) ?

2 . 3
[答] ( )

14. 已知椭圆 (A) 4 .

x2 y2 ? ?1, 长轴在 y 轴上. 若焦距为 4 , 则 m 等于 10 ? m m ? 2
(B) 5 . (C) 7 . (D) 8 .

15.已知函数 f ( x)、g ( x) 定义在 R 上, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x)、g ( x) 均为奇函 数” 是 “ h( x) 为偶函数” 的 (A)充分不必要条件. (C)充要条件. 16. 已知 z ? C , 且 z ?2 ?2 i? 1 , i (A) 2 . 17. 已知 cos ? ? ? (B) 3 . (B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. 为虚数单位, 则 z ? 2 ? 2i 的最小值是 [答] ( (C) 4 . (D) 5 . ) [答] ( )

2 cos ? 2 ?? ? ? 的值. , ? ? ? , ? ? ,求 sin 2? sin ? 3 ? 2 ?
在平面直角坐标系 xOy 中, A、B 分别为直线 x ? y ? 2 与 x、 y 轴

18. (本题满分 12 分)

的交点,C 为 AB 的中点. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 过点 C , 求焦点 F 到直线 AB 的距 离. 19. (本题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) ? log 2 2 ? 1 .

?

?

(1)求证:函数 f ( x ) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增; (2)记 f
?1

( x) 为函数 f ( x) 的反函数. 若关于 x 的方程 f ?1 ( x) ? m ? f ( x) 在 [1, 2] 上有

解,求 m 的取值范围.

2008

20. (本题满分 14 分) 某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如图所示). 凳面为三角形的尼龙布,凳脚为三根 细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素, 设计小凳应满足: ① 凳子高度为 30cm , ② 三根细钢管相交处的节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线垂直于凳面和地面. (1)若凳面是边长为 20cm 的正三角形,三只凳脚与地 面所成的角均为 45 , 确定节点 O 分细钢管上下两段的比 值(精确到 0.01 ) ; (2) 若凳面是顶角为 120 的等腰三角形, 腰长为 24cm , 节点 O 分细钢管上下两段之比为 2 : 3 . 确定三根细钢管 的长度(精确到 0.1 cm ). 21. (本题满分 16 分)
?
?

A B O

C

A2 ? 2, a2 ? , ?, An (n, an ), ?, ??????? ? ? 简记为 ? An ? . 若由 bn ? An An?1 ? j 构成的数列 ? bn ? 满足 bn?1 ? bn , n ? 1, 2,? ,其中 j 为
方向与 y 轴正方向相同的单位向量,则称 ? An ? 为 T 点列. (1) 判断 A1 ? 1, 1? , 列,并说明理由; (2)若 ? An ? 为 T 点列,且点 A2 在点 A Ak ?2 , k、A k ?1、 1 的右上方. 任取其中连续三点 A 判断△ Ak Ak ?1 Ak ? 2 的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形) ,并予以证明; (3)若 ? An ? 为 T 点列,正整数 1 ? m ? n ? p ? q 满足 m ? q ? n ? p ,求证:

在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A 1 ? 1, a1 ? ,

1? ? A2 ? 2, ? , 2? ?

1? ? A3 ? 3, ? , ?, 3? ?

? 1 An ? n, ? n

? ? , ? ,是否为 T 点 ?

????? ? ? ?????? ? An Aq ? j > Am Ap ? j .

22. (本题满分 18 分) 已知 z 是实系数方程 x ? 2bx ? c ? 0 的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为
2

Pz ( Re z , Im z ) .
2 2 (1)若 ( b, c ) 在直线 2 x ? y ? 0 上,求证: Pz 在圆 C1 : ( x ?1) ? y ? 1 上;

2008

(2)给定圆 C : ( x ? m)2 ? y 2 ? r 2 ( m、r ? R , r ? 0 ) ,则存在唯一的线段 s 满足:① 若 Pz 在圆 C 上,则 ( b, c ) 在线段 s 上;② 若 ( b, c ) 是线段 s 上一点(非端点) ,则 Pz 在 圆 C 上. 写出线段 s 的表达式,并说明理由; (3)由(2)知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系的研究,填写 表一(表中 s1 是(1)中圆 C1 的对应线段). (3)表一 线段 s 与线段 s1 的关系

m、r 的取值或表达式

s 所在直线平行于 s1 所在
直线

s 所在直线平分线段 s1
线段 s 与线段 s1 长度相等

参考答案及评分标准 1.

?x

x ? 4?.

2.

1 . 3

3. [ ? 2, 1) ? (1, 3] .

4. x ?

7? . 12

5. an ? 2n ? 1.

6. cos ? .

7. 5.

8. 1 ?

2 . 6
3 . 2

9. ?1 .

10.

1 . 12

11. ak ? ak ?1 .

12.

二. (第 13 至 16 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分. 题 号 代 号 三. (第 17 至 22 题) 17. [解] 原式 ? 分 13 C 14 D 15 A 16 B

2 2sin ? cos ?

?

cos ? sin ?

…… 2

2008

?


1 ? cos 2 ? sin ? ? . sin ? cos ? cos ?

…… 5

又 cos ? ? ?

2 7 2 ?? ? , , ? ? ? , ? ? ,? sin ? ? 1 ? ? 9 3 3 ? 2 ?

…… 9 分

?


2 cos ? 14 . ? ?? sin 2? sin ? 2

…… 12

18. [解] 由已知可得 A( 2, 0), 分 解得抛物线方程为 y 2 ? x . 于是焦点 F ? 分

B( 0, 2), C (1, 1) ,

…… 3

…… 6 分 …… 9

?1 ? , 0 ?. ? 4 ?

? 点 F 到直线 AB 的距离为
分 19. [证明](1)任取 x1 ? x2 ,则

1 ?0?2 7 2 4 ? . 8 2

…… 12

2 x1 ? 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2 ? 2 ? 1? ? log 2 ? 2 ? 1? ? log 2 x2 , 2 ?1
x1 x2

? x1 ? x2 , ? 0 ? 2x1 ? 1 ? 2x2 ? 1 ,
2 x1 ? 1 2 x1 ? 1 ? 0 ? x2 ? 1, log 2 x2 ? 0, 2 ?1 2 ?1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增.
分 [解](2)?

…… 6

f ?1 ( x) ? log 2 ? 2 x ? 1? ( x ? 0) ,

…… 9

2008

分 [解法一]

?m ? f ?1 ( x) ? f ( x)

? log 2 ? 2 x ? 1? ? log 2 ? 2 x ? 1?
? log 2 2x ?1 2 ? ? ? log 2 ?1 ? x ? , x 2 ?1 ? 2 ?1 ?
2 2 2 1 2 3 ? x ? , ? ? 1? x ? , 5 2 ?1 3 3 2 ?1 5
…… 14 …… 11 分

当 1 ? x ? 2 时,

? ?1? ? 3? ? ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? . ? 3? ?5? ? ?

x x [解法二] 解方程 log 2 2 ? 1 ? m ? log 2 2 ? 1 ,得

?

?

?

?

? 2m ? 1 ? x ? log 2 ? , m ? ? 1? 2 ?

…… 11 分

? 2m ? 1 ? ? 1 ? x ? 2, ? 1 ? log 2 ? ? 2, m ? ? 1? 2 ?
解得 log 2 ? ? ? m ? log 2 ? ? .

?1? ? 3?

? 3? ?5?

? ?1? ? 3? ? ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? . ? 3? ?5? ? ?
分 20. [解](1)设△ ABC 的重心为 H ,连结 OH . 由题意可得, BH ?
A H B O C

…… 14

20 3 . 3

设细钢管上下两段之比为 ? . 已知凳子高度为 30 . 则 OH ?

30? . 1? ?

…… 3

B/ C/ A/

2008



? 节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线与地面垂直,且凳面与地面平行.
? ?OBH 就是 OB 与平面 ABC 所成的角,亦即
?OBH ? 45? .

? BH ? OH , ?
解得, ? ? 分

30? 20 3 , ? 1? ? 3
…… 6

2 3 ? 0.63 . 9?2 3

即节点 O 分细钢管上下两段的比值约为 0.63 . (2)设 ?B ? 120? , ? AB ? BC ? 24 , AC ? 24 3 . 设△ ABC 的重心为 H ,则 BH ? 8,

AH ? 8 7 ,

…… 10 分

由节点 O 分细钢管上下两段之比为 2 : 3 ,可知 OH ? 12 . 设过点 A、B、C 的细钢管分别为 AA?、BB?、CC ? , 则 AA? ? CC ? ?

5 5 OA ? OH 2 ? AH 2 ? 10 37 ? 60.8 , 2 2

5 5 BB? ? OB ? OH 2 ? BH 2 ? 10 13 ? 36.1 , 2 2
、 C 三 点 的 三 根 细 钢 管 长 度 分 别 为 60.8cm , 36.1cm 和 ? 对 应 于 A、 B

60.8cm .
分 21. [解](1) an ?

…… 14

1 1 1 ?1 ? ? , ? bn ? ,显然有 bn?1 ? bn , n n ? 1 n n(n ? 1)
…… 3

?


? An ? 是 T 点列.
??????? ???????? ? Ak ?1 Ak ?2 ? ?1, ak ?2 ? ak ?1 ? ,

(2)在△ Ak Ak ?1 Ak ? 2 中, Ak ?1 Ak ? ? ?1, ak ? ak ?1 ? ,

??????? ???????? ? Ak ?1 Ak ? Ak ?1 Ak ?2 ? ?1 ? ? ak ?2 ? ak ?1 ?? ak ? ak ?1 ? .

…… 5 分

2008

? 点 A2 在点 A1 的右上方,? b1 ? a2 ? a1 ? 0 ,

? ?

? An ? 为 T 点列,? bn ? b1 ? 0 , ??????? ???????? ? ? ak ?2 ? ak ?1 ?? ak ? ak ?1 ? ? ?bk ?1bk ? 0 ,则 Ak ?1 Ak ? Ak ?1 Ak ?2 ? 0 .
…… 8 分

? ?Ak Ak ?1 Ak ?2 为钝角,? △ Ak Ak ?1 Ak ?2 为钝角三角形.
(3)[证明] ? 1 ? m ? n ? p ? q,

m?q ? n? p,


? q? p ? n?m ? 0.

aq ? ap ? aq ? aq?1 ? aq?1 ? aq?2 ? ?? ap?1 ? ap ? bq?1 ? bq?2 ? ? ? bp ? (q ? p)bp .
同理 an ? am ? bn?1 ? bn? 2 ? ? ? bm ? (n ? m)bn?1 . 分 由于 ? An ? 为 T 点列,于是 bp ? bn?1 , 由①、②、③、④可推得 aq ? ap ? an ? am , ④ …… 15 分 ② ③ …… 12

? aq ? an ? ap ? am , ????? ? ? ?????? ? 即 An Aq ? j > Am Ap ? j .
2 22. [证明](1)由题意可得 2b ? c ? 0 ,解方程 x ? 2bx ? 2b ? 0 ,得

…… 16 分

z ? ?b ? ?2b ? b2 i ,
? 点 Pz ? b,

…… 2 分

?

?2b ? b2 或 Pz ? b, ? ?2b ? b2 ,

?

?

?

将点 Pz 代入圆 C1 的方程,等号成立,

? Pz 在圆 C1 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上.
分 (2)[解法一] 当 ? ? 0 ,即 b ? c 时,解得 z ? ?b ? c ? b2 i ,
2

…… 4

? 点 Pz ? b,

?

c ? b2 或 Pz ? b, ? c ? b2 ,
2 2

? ?

?

2 2 2 由题意可得 (?b ? m) ? c ? b ? r ,整理后得 c ? ?2mb ? r ? m ,

…… 6 分

? ? ? 4 ? b 2 ? c ? ? 0 , (b ? m)2 ? c ? b2 ? r 2 ,

? b ? ( ? m ? r, ? m ? r ) .

2008

? 线段 s 为: c ? ?2mb ? r 2 ? m2 , b ?[ ? m ? r, ? m ? r ] .
若 ( b, c ) 是线段 s 上一点(非端点) ,则实系数方程为

x2 ? 2bx ? 2mb ? r 2 ? m2 ? 0, b ? ( ? m ? r, ? m ? r ) .
此时 ? ? 0 ,且点 Pz ? b,

?

r 2 ? (b ? m)2 、 Pz ? b, ? r 2 ? (b ? m)2 在圆 C 上.
…… 10 分

? ?

?

[解法二] 设 z ? x ? yi 是原方程的虚根,则 ( x ? yi)2 ? 2b( x ? yi) ? c ? 0 , 解得 ?

? x ? ?b, 2 2 ? y ? x ? 2bx ? c,
2 2 2

① ②

2

由题意可得, ( x ? m) ? y ? r . 解①、②、③ 得 c ? ?2mb ? r ? m .
2

…… 6

分 以下同解法一. [解](3)表一 线段 s 与线段 s1 的关系

m、r 的取值或表达式
m ? 1, r ? 1

得分 12 分 15 分 18 分

s 所在直线平行于 s1 所在直线 s 所在直线平分线段 s1
线段 s 与线段 s1 长度相等

r 2 ? (m ?1)2 ? 1 , m ? 1

?1 ? 4m ? r
2

2

?5


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