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数列2.3等差数列前n项和(第2课时)教案新人教A版必修5

2.3 等差数列的前 n 项和(第 2 课时) 一、教学目标: 1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些性质,并会用它们解决 一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究。 2、通过等差数列前 n 项和的公式应用,体会数学的逻辑性 3、通过有关内容在实际生活中的应用,引导学生要善于观察生活 二、教学重点难点: 教学重点:等差数列前 n 项和公式的性质. 教学难点:等差数列前 n 项和公式的性质及函数与方程的思路. 三. 教法、学法 本课采用“探究——发现”教学模式. 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导. 学生的学法突出探究、发现与交流. 五.教学过程 教学过程设计为六个教学环节: (如下图) 六、教学过程: 教学环节 教学内容 一、温故知新,提出问题 1.如果已知数列{an}的前 n 项和 Sn 的公 式,如何求它的通项公式?如果一个数 列的 前 n 项和的公式是 Sn=an +bn+ 2 师生活动 设计意图 复习旧知 识,引入新 知 由 复 习 引 入, 通过数学知 识的内部发现 问题。 学生回答,引导温故知新。 c(a,b,c 为常数),那么这个数列一定 是等差数列吗?这就是本节我们探究 的主要问题. 二、知识探究: 探究点 1. 已知数列{an}的前 n 项 1 和 Sn 求 an 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 教师引导, 学生观察, 分析, 比较,并推导出等差数列的中 项性质。 Sn=n2+ n,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是,它 归纳抽象 形成概念 的首项与公差分别是什么? 解 -1 1 2 根据 Sn=a1+a2+?+an-1+an 与 Sn 培养学生分 析,抽象能力、 感受等差数列 的中项性质发 现和推导过程。 =a1+a2+?+an-1(n>1), 1 2 可知,当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n + n 2 1 1 -[(n-1) + (n-1)]=2n- ① 2 2 2 1 3 2 当 n=1 时,a1=S1=1 + ×1= ,也满 2 2 足①式.∴数列{an}的通项公式为 an= 1 3 2n - . 由此可见:数列 {an} 是以 为首 2 2 项,公差为 2 的等差数列. 探究点二 等差数列前 n 项和的最值 思考 1 将等差数列前 n 项和 反思与感悟:(1)已知前 n 项 和 Sn 求通项 an,先由 n=1 时, a1=S1 求得 a1,再由 n≥2 时, n?n-1? Sn=na1+ d 变形为 Sn 关于 n an=Sn-Sn-1 求 an,最后验证 a1 2 的函数后,该函数是怎样的函数?为什 比较分析, 深化认识 是否符合 an,若符合则统一用 一个解析式表示. (2)等差数列的前 n 项和 Sn 一 n?n-1? d 么? 答 由于 Sn=na1+ d= 2 2 定是关于 n 的且没有常数项的 d n2+(a1- )n,所以当 d≠0 时,Sn 为关 2 二次( d ? 0 )或一次函数 ( d ? 0 ). 于 n 的二次函数,且常数项为 0. 思考 2 类比二次 函数的最值情况,等 差数列的 Sn 何时有最大值?何时有最小 值? 答 由二次函数的性质可以得出:当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有 最大值;且 n 取最接近 对称轴的正整数 时,Sn 取到最值.另外,数列作为特殊 的函数 ,则有(1)若 a1>0,d<0,则数列 2 的前面若干项为正项(或 0),所以将这 些项相加即得{Sn}的最大值. (2)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项 为负项(或 0),所以将这些项相加即得 {Sn}的最小值; 特别地,若 a1>0,d>0,则 S1 是{Sn}的 最小值;若 a1<0,d<0,则 S1 是{Sn}的最 大值. 2 4 例 2 已知等差数列 5,4 ,3 ,?的前 7 7 培养学生善于 联想, 体会知识 间的内在联系, 从而加深对等 差数列及其性 质的理解。 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的 值. 解 2 4 由题意知,等差数列 5,4 ,3 ,? 7 7 反思与感悟:在 等差数列中, 求 Sn 的最大(小)值,其思路是: 找出某一项,使这项及它前面 的项皆取正 ( 负 )值或零,而它 后面的各项皆取负 ( 正 )值,则 从第 1 项起到该项的各项的和 为最大(小).由于 Sn 为关于 n 的二次函数,也可借助二次函 数的图象或性质求解. 5 n?n-1? 的公差为- ,所以 Sn=5n+ 7 2 5 5 15 2 1 125 (- )=- (n- ) + . 7 14 2 56 15 于是,当 n 取与 最接近的整数即 7 或 2 8 时,Sn 取最大值. 另 解 : an = a1 + (n - 1)d = 5 + (n - 5 40 5 40 ? 5? 1)× ?- ? =- n + .an =- n + 7 7 7 7 ? 7? ≤0,解得 n≥8,即 a8=0,a9<0. 所以和是从第 9 项开始减小,而第 8 项 为 0,所以前 7 项或前 8 项和最大. 四、性质应用、讲练结合 1 2 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n + 2 引导学生共同分析解决问题, 熟悉并强化公式的理解和应 用。 n+1,求 an. 解 当 n=1 时,a1=S1= 5 ; 2 1 2 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+ n+1-[(n 3 1 1 2 -1) + (n-1)+1]=2n- . 2 2 1 当 n = 1 时 代 入 an = 2n - 得 a1 = 2 3 5 ≠ . 2 2 ∴an= ? 5 ( n ? 1) 2 . 1 2 n ? ( n ? 2) 2 并能灵活应用性质并体会方程 与函数的思想方法。 2 在等差数列{an}中

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