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上海市2011十校联考 数学 部分重点中学高三第一次联考(文)参考答案附


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座位号________________

上海市十 学年第一学期高三联 上海市十校 2010 学年第一学期高三联考试卷 文科数学
命题 填空题( 一. 填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1.已知集合 A = {x x ≥ 0, x ∈ R} ,集合 B = {x x ≤ a} ,且 A U B = R ,则实数 a 的取值范围 为 2.若 cos θ = 上海市莘庄中学

准考证号_________________

3 , tan θ < 0 ,则 sin θ = 5
m

3.若集合 A = {m | C5 = 5, m ∈ Z }, B = {x | 4.已知函数 f ( x ) = ?

x ≥ 1} ,其中 C5m 为组合数,则 A I B = x?2

?2 x + 1, x < 1, ? 若 f ( f (0)) = 4a ,则实数 a = 2 ? x + ax, x ≥ 1, ?

5.已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x < 0 时, f ( x ) = x 2 + a ? cos π x ,若 f (1) = 2 ,则实数 a = 6.若函数 f ( x ) = ( x + a )(bx ? a ) (常数 a, b ∈ R )是偶函数,且它的值域为 [ ?4, +∞ ) ,则该 函数的解析式为 7.从 4 名世博志愿者和 3 名小白菜中选出 4 人参加座谈会, 若这 4 人中必须既有志愿者又有 小白菜,不同的选法共有 8.设 an 是 (1 + x ) n 的展开式中 x 项的系数( n = 2, 3, 4, L ) ,则极限 lim(
2

姓名_____________

n →∞

1 1 +L+ ) = a2 an

班级__________

9.已知正数 x, y 满足

1 9 + = 1 ,则 x + y 的取值范围为 x y

10.在过去的 184 天里,我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅,190 个国家、56 个 国际组织以及中外企业踊跃参展,200 多万志愿者无私奉献,7308 万参观者流连忘返,网 上世博永不落幕,这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心 中珍藏!以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(单位:精确到 0.01 万人) 日期 入园人数 10.1 25.40 10.2 X 10.3 44.75 10.4 43.13 10.5 43.21 10.6 29.84 10.7 21.92

学校_______________

若这七天入园人数的平均值比总体均值少 4.37 万,则这七天入园人数的中位数为

1

11.设甲乙两个袋子中装有若干个相同的红球和白球,且甲乙两个袋子中的球数比为 1 : 3 , 已知从甲袋中摸到红球的概率为 的概率为

1 ,而将甲乙两袋子的球放在一起后,从中摸到红球 3

2 ,则从乙袋中摸到红球的概率为 3
N

12. 2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为

150 的观礼台上, 某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共
面, 在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的 仰角分别为 60 和 30 ,且座位 A 、 B 的距离为 10 6 米,则旗杆 的高度为 米.
B 10 6 M A
0 0

13. 两 个等 差数 列 {a n } 的 和 {bn } 的 前 n 项 和分 别 为 S n 和 Tn , 已 知

S n 5n ? 9 ,则使 = Tn n+3

an = t ? bn 成立的
正整数 t 的所有可能取值为 (用列举法表示你所找到的所有数)

14.把正整数排列成三角形数阵 (如图甲)然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数, , 得到新的三角形数阵(如图乙) ,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个 数列 {an } ,则 a100 =

二.选择题(每小题 5 分,共 20 分) 选择题( 15.已知 A = {x y = lg( x ? 1), x ∈ R} , B = {x

1 < 1, x ∈ R} ,则( x



A. “ x ∈ B ”是“ x ∈ A ”的充分不必要条件 B. “ x ∈ B ”是“ x ∈ A ”的必要不充分条件 C. “ x ∈ B ”是“ x ∈ A ”的充分必要条件
2

D. “ x ∈ B ”是“ x ∈ A ”的既不充分条件又必要条件 16.在△ABC 中,如果 sin A = 3 sin C , B = 30 ,那么角 A 等于(
0


0

A. 120

0

B. 60

0

C. 45

0

D. 30

17.已知 1 < a < 2 ,则函数 f ( x) = A.1 B.2

a 2 ? x 2 + x ? 2 的零点个数为(
C.3 D.4



18.设函数 f ( x) = x + 1 + x + 2 + L + x + 2010 + x ? 1 + x ? 2 + L + x ? 2010 ( x ∈ R ) 四位同学研究得出如下四个命题,其中真命题的有( )个

① f ( x ) 是偶函数; f ( x ) 在 (0, +∞ ) 单调递增; ② ③不等式 f ( x ) < 2010 × 2011 的解集为 ? ; ④关于实数 a 的方程 f ( a 2 ? 3a + 2) = f ( a ? 1) 有无数解. A.1 B.2 C.3 D.4

三.解答题(12 分+13 分+14 分+17 分+18 分=74 分) 解答题 19.( 19.(本题满分 12 分)已知 0 < α <

π
2

,解关于 x 的不等式:

log sin α (3 x + 1) ? log sin α ( x 2 ? 3) < 0 .
小题, 20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 8 分,第 2 个小题满分 4 分 已知函数 f ( x ) = 2 sin( x +

α
2

)cos ( x +

α
2

) + 2 3 cos 2 ( x +

α
2

)? 3.

(1)若 α ∈ [0, π ] 且 f ( x ) 为偶函数,试求 α 的值; (2)在(1)的条件下,若 x 为三角形 ABC 的一内角,求满足 f ( x ) = 1 的 x 的值.

小题, 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分 某研究小组为了解某一路口周一上午 6:00——9:00 进、出市区的车辆数量变化规律, 以每 5 分钟为一个统计单位(如 6:00——6:05 为第 1 个统计单位,6:05——6:10 为第 2 个统计单位, LL )进行跟踪统计(分别记第 1 个统计单位内统计的进、出市区的车辆 数为 a1 、 b1 ,第 2 个统计单位内统计的进、出市区的车辆数为 a2 、 b2 ,LL ,第 n 个统计 单位内统计的进、出市区的车辆数为 an 、 bn ).某同学根据测得的数据绘制了图-1,图-2.

an
284 236 212
250

bn

100
70

3
18 36

O 1

18

30

36

n

O 1

n

图-1

图 -2

(1)根据图像,试用一次函数拟合 an 、 bn 关于 n 的表达式; (2)计算(8:00——8:05)这一统计单位内通过该路口的进、出车辆总数,指出在哪一 个统计单位内进、出市区车辆的总数达到最大值?并说明理由.

22. 小题, 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个 小题,第一个小题满分 4 分,第 2 个小题满分 6 分, 第 3 个小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) = x k + b (常数 k , b ∈ R )的图像过点 (4, 2) 、 (16, 4) 两点. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)记 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) ,解不等式 g ( x) + g ( x ? 1) < 2 x ? 2 ; (3)记 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) ,若不等式 g ( x ) > ax ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23. 小题, 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个 小题,第一个小题满分 3 分,第 2 个小题满分 7 分, 第 3 个小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) = (1 + a )
x

(a > ?1, a ∈ R ) .

(1)若 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a = ?

1 时,记 an = f ( n) + log 2 f (2n) ,求数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ; 2

m 2 + n 2 ? 2m (3)当 a = 2 时,且 x ∈ [ m, n] , f ( x ) ∈ [1,9] ,探求 的取值范围. n +1

上海市部分重点中学高三第一次联考 科数学试卷参考答案 文科数学试卷参考答案
一.填空题 1. a ≥ 0 ; 4. 2 ; 7. 34 ; 10. 39.18 ; 2. ?

4 ; 5

3. {4} ; 6. f ( x ) = x 2 ? 4 ; 9. [16, +∞) ; 12. 30 ;

5. 3 ; 8. 2 ; 11.

7 ; 9

4

13. {1, 2,3, 4} ; 二.选择题 15.B; 三.解答题 19.解: 0 < α <

14. 186 ;

16.A;

17.D;

18.C;

π
2

? sin α ∈ (0,1)

------------------2 分

log sin α (3 x + 1) ? log sin α ( x 2 ? 3) < 0 ? log sin α (3 x + 1) < log sin α ( x 2 ? 3)

? 3x + 1 > 0 ? ? ? x2 ? 3 > 0 2 ? ?3x + 1 > x ? 3
? x ∈ ( 3, 4)
20. (1)解: f ( x ) = 2 sin( x +

------------------8 分

------------------12 分

α
2

)cos ( x +

α π
2

) + 2 3 cos 2 ( x +

α
2

)? 3

= L = 2sin(2 x + α + ) 3
f ( x) 为偶函数 ? α +
又, α ∈ [0, π ] ? α =

------------------4 分

π

π

3

= kπ +

π

2

, k ∈ z ? α = kπ +

π
6

,k ∈Z

---------------6 分 ---------------8 分

6

(2) f ( x ) = 1 ? 2sin(2 x +

π
2

) = 1 ? cos 2 x =

1 2

---------------10 分

又, x 为三角形内角, x ∈ (0, π ) ? 2 x ∈ (0, 2π ) ? x =

π
6



5π 6

---------------12 分

? 8n + 92, 1 ≤ n ≤ 18 ? 21. (1) an = ? 4n + 164, 18 < n ≤ 30 n ∈ N ??12n + 644, 30 < n ≤ 36 ?
250, 1 ≤ n ≤ 18 ? bn = ? n∈N ??10n + 430, 18 < n ≤ 36

---------------6 分

---------------8 分

? 8n + 342, 1 ≤ n ≤ 18 ? (2) an + bn = ? ?6n + 594, 18 < n ≤ 30 n ∈ N ??22n + 1074, 30 < n ≤ 36 ?

---------------10 分

时间段(8:00-8:05)对应的进出车辆数总和为 a23 + b25 = ?6 × 25 + 594 = 444 (辆) ---------------12 分 由分段一次函数的单调性知:当 n = 18 时, ( an + bn ) max = 486 (辆) ---------------14 分

5

22. (1) ?

? 2 = 4k + b 1 ? b = 0, k = ? f ( x) = x k 2 ?4 = 16 + b

---------------4 分

(2) g ( x) = x 2 ( x ≥ 0)

---------------6 分

x ?1 ≥ 0 ? g ( x) + g ( x ? 1) < 2 x ? 2 ? ? 2 2 ? x + ( x ? 1) < 2 x ? 2
? x ∈ [1, 6 ) 2

---------------8 分

---------------10 分

(3) g ( x ) = x 2 ( x ≥ 0) ,不等式 g ( x ) > ax ? 1 恒成立等价于 不等式 x > ax ? 1 在 x ∈ [0, +∞ ) 上恒成立
2

---------------12 分 ---------------14 分 ---------------17 分 ---------------18 分

当 x = 0 时,不等式 x > ax ? 1 恒成立; a ∈ R
2

当 x > 0 时,不等式 a < x +

1 1 恒成立, a < ( x + ) min = 2 x x

综上,实数 a 的取值范围为 a ∈ ( ?∞, 2)

23.(1)当 x ∈ (0, +∞ ) 时, f ( x ) = (1 + a ) x 为增函数, ? 1 + a > 1

?a>0 --------------3 分 1 1 n 1 2n 1 n (2)当 a = ? 时, an = ( ) + log 2 ( ) = ( ) ? 2n --------------5 分 2 2 2 2 1 1 1 S n = a1 + a2 + L + an = [( ) ? 2] + [( ) 2 ? 4] + L + [( )n ? 2n] 2 2 2 1 1 2 1 n 1 = [( ) + ( ) + L + ( ) ] ? [2 + 4 + L + 2n] = 1 ? ( ) n ? n(n + 1) ------------10 分 2 2 2 2
(3)当 a = 2 时, f ( x ) = 3 为偶函数,其图像关于 y 轴对称。
x

由 x ∈ [ m, n] , f ( x ) ∈ [1,9] 及图像可得: ?

? m = ?2 ? n=2 或? ?n ∈ [0, 2] ?m ∈ [?2, 0]

? m = ?2 m 2 + n 2 ? 2m n 2 + 8 若? ,则 = ,令 n + 1 = t ∈ [1, 3] , n +1 n +1 ?n ∈ [0, 2]
m 2 + n 2 ? 2m 9 所以 = t + ? 2 ∈ [4,8] n +1 t
若? -------------14 分

?

n=2

?m ∈ [?2, 0]

,则

m 2 + n 2 ? 2m 1 2 1 4 = (m ? 2m + 4) = (m ? 1)2 + 1 ∈ [ , 4] n +1 3 3 3
6

-------------18 分 注:其它方法可参照评分标准得分

7


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