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山西大学附中2015-2016学年高三上学期10月月考数学试卷(文科)


2015-2016 学年山西大学附中高三(上)10 月月考数学试卷(文科)

一.选择题(每小题 3 分,满分 36 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的) 1.设 U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩?UB={1,2,3,5,7,9},则 B 的非空真子集的个数为 ( A.5 ) B.30 C.31 D.32

2. 已知角 α 的终边经过点 (3a﹣9, a+2) , 且 cosα ≤0, sinα >0, 则 a 的取值范围是 ( A. (﹣2,3) B. D.



3.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, A.1+ B.1﹣ C.3+2 D.3﹣2

,2a2 成等差数列,则

=(



4.下列命题中的说法正确的是(



A.若向量 ∥ ,则存在唯一的实数 λ 使得 B.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” C.命题“? x0∈R,使得 ”的否定是:“? x∈R,均有 x +x+1≥0”
2 2 2

D.“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的充分不必要条件

5.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

6.已知正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=2 A.1 B. C.2 D.3

,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(



7.设 a,b,c 为三角形 ABC 三边,a≠1,b<c,若 logc+ba+logc﹣ba=2logc+balog c﹣ba,则三角 形 ABC 的形状为( A.锐角三角形 ) C.钝角三角形 D.无法确定

B.直角三角形

8.Rt△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c(其中 c 为斜边) ,分别以 a,b,c 边所在 的直线为旋转轴,将△ABC 旋转一周得到的几何体的体积分别是 V1,V2,V3,则( A.V1+V2=V3 B. )

C.

D.

9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(



A.4

B.9

C.7

D.5

10.已知 , 是平面内互不相等的两个非零向量,且| |=1, ﹣ 与 的夹角为 150°,则 | |的取值范围是( A. (0, ) D.

] B. C. (0,2]

11.已知点 P 为双曲线

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2 分别为双曲线的左右焦

点,且|F1F2|= λ 的值为( A.

,I 为三角形 PF1F2 的内心,若 S )

=S

+λ S△

成立,则

B.

C.

D.

12. 已知函数 y=f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时, (x) f =



若关于 x 的方程 5 ﹣(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的 取值范围是( A.0<a<1 或 a= ) B.0≤a≤1 或 a= C.0<a≤1 或 a= D.1<a≤ 或 a=0

2

二.填空题(每题 4 分,满分 16 分) 13.设 i 是虚数单位, 是复数 Z 的共轭复数,若 ,则 = .

14.已知函数 (b)=4,则 f(﹣1)的值为

满足条件:y=f(x)是 R 上的单调函数且 f(a)=﹣f .

15.已知点 A(﹣

) ,在抛物线 C:y =2px(p>0)的准线上,点 M,N 在抛物线 C 上,且 =3, 则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 .

2

位于 x 轴的两侧, O 是坐标原点, 若

16. 函数 y= ( )

|x﹣1|

+4cos

2

x﹣2 (﹣3≤x≤5) , 则此函数的所有零点之和等于



三.解答题(本大题 5 个小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且 cosB= . (Ⅰ)求 (Ⅱ)设 ? + 的值; = ,求 a、c 的值.

18.某校高三年级文科学生 600 名,从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共 50 名同学) ,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为 150 分) ,数学成绩分组及各组 频数如下表: 分组 [45,60) [60,75) [75,90) [90,105) [105,120) [120,135) 频数 2 4 8 11 15 a 4 合计 (1)写出 a、b 的值; (2)估计该校文科生数学成绩在 120 分以上学生人数; (3)该班为提高整体数学成绩,决定成立“二帮一”小组,即从成绩在中选两位同学,来帮 助成绩在 D. 50 频率 0.04 0.08 0.16 0.22 0.30 b 0.08 1

【考点】任意角的三角函数的定义;三角函数值的符号. 【专题】三角函数的求值. 【分析】根据题意可得 2kπ + 式组求得 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可得 2kπ + ∴a+2>0,且 3a﹣9≤0, 解得﹣2<a≤3, 故选 C. ≤α <kπ +π ,k∈z, ≤α <kπ +π ,k∈z,故有 a+2>0,且 3a﹣9≤0,解不等

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,根据三角函数值的符号判断角所在的象限,得 到 a+2>0,且 3a﹣9≤0, 是解题的关键,属于基础题.

3.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, A.1+ B.1﹣ C.3+2 D.3﹣2

,2a2 成等差数列,则

=(



【考点】等差数列的性质;等比数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】 先根据等差中项的性质可知得 2× ( ) =a1+2a2, 进而利用通项公式表示出 q =1+2q,
2

求得 q,代入

中即可求得答案.

【解答】解:依题意可得 2×( 即,a3=a1+2a2,整理得 q =1+2q, 求得 q=1± ,
2

)=a1+2a2,

∵各项都是正数 ∴q>0,q=1+ ∴ 故选 C 【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.考查了学生综合分析的能力和对基础 知识的理解. = =3+2

4.下列命题中的说法正确的是(



A.若向量 ∥ ,则存在唯一的实数 λ 使得 B.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” C.命题“? x0∈R,使得 ”的否定是:“? x∈R,均有 x +x+1≥0”
2 2 2

D.“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的充分不必要条件

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】探究型;转化思想;平面向量及应用;简易逻辑. 【分析】根据向量共线的充要条件,可判断 A;写出原命题的否命题,可判断 B;写出原命题 的否定,可判断 C;根据充要条件可判断 D. 【解答】解: ≠ , = = 时, ∥ ,但任意实数 λ 均有 , ,故 A 错误;

= 时, ∥ ,但任意实数 λ 均有
2 2

命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故 B 错误; 命题“? x0∈R,使得 ”的否定是:“? x∈R,均有 x +x+1≥0”,故 C 正确;
2

a≠5 且 b≠﹣5 推不出 a+b≠0,例如:a=2,b=﹣2 时 a+b=0, a+b≠0 推不出 a≠5 且 b≠﹣5,例如:a=5,b=﹣6, 故“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件,故 D 错误; 故选:C 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了向量共线的充要条件,四种命题,特称 命题的否定,充要条件等知识点,难度中档.

5.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:若 a>b, ①a>b≥0,不等式 a|a|>b|b|等价为 a?a>b?b,此时成立. ②0>a>b,不等式 a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即 a <b ,此时成立. ③a≥0>b,不等式 a|a|>b|b|等价为 a?a>﹣b?b,即 a >﹣b ,此时成立,即充分性成立. 若 a|a|>b|b|, ①当 a>0,b>0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得, (a﹣b) (a+b)>0,因为 a+b>0,所以 a﹣ b>0,即 a>b. ②当 a>0,b<0 时,a>b.
2 2 2 2

③当 a<0,b<0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得, (a﹣b) (a+b)<0,因为 a+b<0,所以 a﹣ b>0,即 a>b.即必要性成立, 综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件, 故选:C. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是解决 本题的关键.

6.已知正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=2 A.1 B. C.2 D.3

,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(



【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得最大值时,高 的值. 【解答】解:设底面边长为 a,则高 h= V= a h=
4 6 2

=

,所以体积


3 5 3 5

设 y=12a ﹣ a ,则 y′=48a ﹣3a ,当 y 取最值时,y′=48a ﹣3a =0,解得 a=0 或 a=4 时,当 a=4 时,体积最大, 此时 h= =2,故选 C.

【点评】本试题主要考查椎体的体积,考查高次函数的最值问题的求法.是中档题.

7.设 a,b,c 为三角形 ABC 三边,a≠1,b<c,若 logc+ba+logc﹣ba=2logc+balog c﹣ba,则三角 形 ABC 的形状为( A.锐角三角形 ) C.钝角三角形 D.无法确定

B.直角三角形

【考点】三角形的形状判断. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用;解三角形. 【分析】结合对数的运算性质,及换底公式的推论,可将已知化为:c ﹣b =a ,再由勾股定理 判断出三角形的形状.
2 2 2

【解答】解:∵logc+ba+logc﹣ba=2logc+balog c﹣ba, ∴ + =2,

即 loga(c﹣b)+loga(c+b)=2, ∴loga(c ﹣b )=2, 即 c ﹣b =a , 故三角形 ABC 的形状为直角三角形, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是三角形形状判断,对数的运算性质,难度中档.
2 2 2 2 2

8.Rt△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c(其中 c 为斜边) ,分别以 a,b,c 边所在 的直线为旋转轴,将△ABC 旋转一周得到的几何体的体积分别是 V1,V2,V3,则( A.V1+V2=V3 B. )

C.

D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题;函数思想;转化思想;空间位置关系与距离. 【分析】利用直角三角形的三边分别为 a、b、c,a +b =c ,c 为斜边,分别求得 V1、V2、V3 的 值,可得结论. 【解答】解:因为直角三角形的三边分别为 a、b、c,a +b =c ,即 c 为斜边, 则以边 c 所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 V3,则 V3 = π ( 2?c= π a ?b ? , 以边 a 所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 V1,则 V1= π b ?a, 以边 b 所在直线为轴,将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则 V2= π a ?b, ∴ ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



故选:D. 【点评】本题考查几何体的体积的求法与大小关系,考查计算能力,属于中档题.

9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(



A.4

B.9

C.7

D.5

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,执行循环体后,T=2,S=18,n=3,不满足退出循环的条件, 当 n=3 时,执行循环体后,T=8,S=36,n=5,不满足退出循环的条件, 当 n=5 时,执行循环体后,T=32,S=54,n=7,不满足退出循环的条件, 当 n=7 时,执行循环体后,T=128,S=72,n=9,满足退出循环的条件, 故输出的 n 值为 9, 故选:B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是基础题.

10.已知 , 是平面内互不相等的两个非零向量,且| |=1, ﹣ 与 的夹角为 150°,则 | |的取值范围是( A. (0, ) D.

] B. C. (0,2]

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】综合题;运动思想;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】如图所示,设 , ,则 = .由于| |=1, ﹣ 与 的夹

角为 150°, 可得△OAB 中, OA=1, ∠OBA=30°. 由正弦定理可得: △OAB 的外接圆的半径 r=1. 则 点 B 为圆上的动点.由图可令 【解答】解:如图所示,设 =(1+cosθ ,sinθ ) ,则| |的取值范围可求. , ,则 = .

由于| |=1, ﹣ 与 的夹角为 150°,可得△OAB 中,OA=1,∠OBA=30°. 由正弦定理可得:△OAB 的外接圆的半径 r=1.则点 B 为圆上的动点. 由图可令 则 ∴ 故选:C. . =(1+cosθ ,sinθ ) , = .

【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、正弦定理、三角形外接圆的性质, 考查了数形结合的能力、推理能力与计算能力,属于有一定难题题目.

11.已知点 P 为双曲线

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2 分别为双曲线的左右焦

点,且|F1F2|= λ 的值为( A.

,I 为三角形 PF1F2 的内心,若 S )

=S

+λ S△

成立,则

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设△PF1F2 的内切圆半径为 r,由|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c,用△PF1F2 的边长和 r 表示出等式中的 三角形的面积,解此等式求出 λ . 【解答】解:设△PF1F2 的内切圆半径为 r, 由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c, S△IPF1 = |PF1|?r,S△IPF2= |PF2|?r,S△IF1F2= ?2c?r=cr, 由题意得: |PF1|?r= |PF2|?r+λ cr,

故λ =

= ,

∵|F1F2|=



∴ ∴ ∴ = 故选 D.

=

【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质,考查三角形面积的计算,考查利用待定系数法 求出参数的值.

12. 已知函数 y=f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时, (x) f =



若关于 x 的方程 5 ﹣(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的 取值范围是( A.0<a<1 或 a= ) B.0≤a≤1 或 a= C.0<a≤1 或 a= D.1<a≤ 或 a=0

2

【考点】函数奇偶性的性质;根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 【专题】数形结合;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】运用偶函数的定义可得 f(x)在 x<0 的解析式,作出函数 f(x)的图象,由 5 ﹣ (5a+6)f(x)+6a=0,解得 f(x)=a 或 f(x)= ,结合图象,分析有且仅有 6 个不同实数 根的 a 的情况,即可得到 a 的范围. 【解答】解:函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数,
2

当 x≥0 时,f(x)=



当 x<0 时,f(x)=



作出函数 f(x)的图象如右. 由于关于 x 的方程 5 ﹣(5a+6)f(x)+6a=0, 解得 f(x)=a 或 f(x)= , 当 0≤x≤1 时,f(x)∈,x>1 时,f(x)∈(1, ) . 由 1< < ,则 f(x)= 有 4 个实根, 由题意,只要 f(x)=a 有 2 个实根, 则由图象可得当 0<a≤1 时,f(x)=a 有 2 个实根, 当 a= 时,f(x)=a 有 2 个实根. 综上可得:0<a≤1 或 a= . 故选:C.
2

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用,考查方程和函数的转化思想,运用数形结 合的思想方法是解决的常用方法.

二.填空题(每题 4 分,满分 16 分) 13.设 i 是虚数单位, 是复数 Z 的共轭复数,若 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解: 则 =﹣1+i, 故答案为:﹣1+i. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题. = = = =﹣i﹣1, ,则 = ﹣1+i .

14.已知函数

满足条件:y=f(x)是 R 上的单调函数且 f(a)=﹣f

(b)=4,则 f(﹣1)的值为 ﹣3 . 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】由已知,求出 a,b 的值,得到函数的解析式,将 x=﹣1 代入可得答案. 【解答】解:∵函数 满足条件:y=f(x)是 R 上的单调函数,





又∵f(a)=﹣f(b)=4, ∴ ,

解得:



∴ ∴f(﹣1)=﹣3, 故答案为:﹣3



【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,函数解析式的求法,求出函数的 解析式,是解答的关键.

15.已知点 A(﹣

) ,在抛物线 C:y =2px(p>0)的准线上,点 M,N 在抛物线 C 上,且 =3,则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 .

2

位于 x 轴的两侧,O 是坐标原点,若 【考点】抛物线的简单性质.

【专题】平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求得抛物线的准线方程,由题意解得 p=1,设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物 线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及 ? =3,消元,最后可得定点 D 坐标,

连接 AD,当 AD⊥MN,有点 A 到动直线 MN 的距离最大,由两点的距离公式计算即可得到. 【解答】解:抛物线 C:y =2px(p>0)的准线为 x=﹣ , 由题意得﹣ =﹣ ,解得 p=1. 即有抛物线方程为 y =2x, 设直线 MN 的方程为:x=ty+m,点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 直线 MN 与 x 轴的交点为 D(m,0) , x=ty+m 代入 y =2x,可得 y ﹣2ty﹣2m=0, 根据韦达定理有 y1?y2=﹣2m, ∵ ? =3,
2 2 2 2

∴x1?x2+y1?y2=3,从而 (y1?y2) +y1?y2﹣3=0, ∵点 M,N 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣6,故 m=3. 当 y=0 时,x=3 恒成立, 故直线 MN 所过的定点坐标是 D(3,0) , 当直线 MN 绕着定点 D(3,0)旋转时,AD⊥MN, 即有点 A 到动直线 MN 的距离最大,且为 故答案为: . = .

2

【点评】求解本题时,应考虑联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利 用韦达定理与已知条件消元,再由观察可得点到直线的距离的最大,这是处理此类问题的常 见模式.

16.函数 y=( )

|x﹣1|

+4cos

2

x﹣2(﹣3≤x≤5) ,则此函数的所有零点之和等于 8 .

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用. 【分析】化简 y=( )
|x﹣1|

+4cos

2

x﹣2=( )
|x﹣1|

|x﹣1|

+2cos(π x) ;从而得到其图象关于 x=1 对

称,再化函数的零点个数即 y=( ) 从而解得. 【解答】解:y=( ) =( )
|x﹣1| |x﹣1|

与 y=﹣2cos(π x)的交点的个数,从而求到个数,

+4cos

2

x﹣2

+2cos(π x) ;

其图象关于 x=1 对称, 此函数的零点个数即 y=( ) 作 y=( )
|x﹣1| |x﹣1|

与 y=﹣2cos(π x)的交点的个数,

与 y=﹣2cos(π x)的图象如下,

由图象可知,其共有 8 个零点, 又由其图象关于 x=1 对称知, 8 个零点之和为 8×1=8; 故答案为:8. 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系,属于中档题.

三.解答题(本大题 5 个小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且 cosB= . (Ⅰ)求 (Ⅱ)设 ? + 的值; = ,求 a、c 的值.

【考点】平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 (Ⅰ)由 cosB= ,B∈(0,π ) .可得 可得 b =ac,再利用正弦定理可得 sinAsinC=sin B.于是可得 + = = = ;
2 2

.由 a、b、c 成等比数列,

(Ⅱ)设

?

= ,则

,可得 ac=2.再利用余弦定理可得:b =a +c ﹣2accosB 化

2

2

2

简整理,联立即可得出.

【解答】解: (Ⅰ)由 cosB= ,B∈(0,π ) . ∴ = .
2

∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac, 由正弦定理可得 sinAsinC=sin B. ∴ + = = = = = ;
2

(Ⅱ)设

?

= ,则
2 2 2

,∴

,化为 ac=2. ,化为 a +c =5.
2 2

由余弦定理可得:2=ac=b =a +c ﹣2accosB=

联立

,解得





即 a=2,c=1,或 a=1,c=2. 【点评】本题考查了等比数列的性质、正弦定理与余弦定理、同角三角函数基本关系式,考 查了推理能力和计算能力,属于中档题.

18.某校高三年级文科学生 600 名,从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共 50 名同学) ,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为 150 分) ,数学成绩分组及各组 频数如下表: 分组 [45,60) [60,75) [75,90) [90,105) [105,120) [120,135) 频数 2 4 8 11 15 a 4 合计 (1)写出 a、b 的值; (2)估计该校文科生数学成绩在 120 分以上学生人数; 50 频率 0.04 0.08 0.16 0.22 0.30 b 0.08 1

(3)该班为提高整体数学成绩,决定成立“二帮一”小组,即从成绩在中选两位同学,来帮 助成绩在内有 4 人,记为乙、B、C、D. 法一:“二帮一”小组有以下 6 种分组办法: (甲乙 B,ACD) 、 (甲乙 C,ABD) 、 (甲乙 D,ABC) 、 (甲 BC,A 乙 D) 、 (甲 BD,A 乙 C) 、 (甲 CD,A 乙 B) . 其中甲、 乙两同学被分在同一小组有 3 种办法: (甲乙 B, ACD) 、 (甲乙 C, ABD) 、 (甲乙 D, ABC) . 所以甲、乙分到同一组的概率为 .?(12 分) .

【点评】本题考查读频数分布表能力和频数与频率的求算方法以及它们之间的关系.利用统 计图表获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.统 计中常用的公式:频率= 然后,选择合适的概率模型公式. 、解决事件的概率问题,关键是弄清事件属于的概率模型,

19.如图所示的多面体 ABCDE 中,已知 AB∥DE,AB⊥AD,△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB=2, BC= ,F 是 CD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求直线 CE 与平面 ABED 所成角的余弦值; (3)求多面体 ABCDE 的体积.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)取 CE 中点 P,连接 FP、BP,证明 ABPF 为平行四边形,可得 AF∥BP,利用线面 平行的判定,可以证明 AF∥平面 BCE; (2)过 C 作 CO⊥AD,则 O 是 AD 的中点,连接 OE,则∠CEO 是直线 CE 与平面 ABED 所成角, 从而可求直线 CE 与平面 ABED 所成角的余弦值; (3)多面体 ABCDE 的体积 ,即可得到结论. .

【解答】 (1)证明:取 CE 中点 P,连接 FP、BP,

∵F 为 CD 的中点, ∴FP∥DE,且 FP= DE. 又 AB∥DE,且 AB= DE. ∴AB∥FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF?平面 BCE,BP? 平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE; (2)解:∵△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC= ∴BC =AB +AC ∴AB⊥AC ∵AB⊥AD,AC∩AD=A ∴AB⊥平面 ACD ∵AB? 平面 ABED ∴平面 ABED⊥平面 ACD 过 C 作 CO⊥AD,则 O 是 AD 的中点,且 CO⊥平面 ABDE 连接 OE,则∠CEO 是直线 CE 与平面 ABED 所成角 ∵OE= ,CE= = = = .
2 2 2



∴cos∠CEO=

(3)解:多面体 ABCDE 的体积为

【点评】本题考查线面平行,考查线面垂直,考查线面角,考查几何体体积的计算,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.

20.已知椭圆

的离心率为

,其左、右焦点分别为 F1,F2,点 P

(x0,y0)是坐标平面内一点,且 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点

(O 为坐标原点) .

且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,在 y 轴上是否存在定点

M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标,若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;综合题;压轴题. 【分析】 (1)设出 P 的坐标,利用|OP|的值求得 x0 和 y0 的关系式,同时利用 求

得 x0 和 y0 的另一关系式,进而求得 c,通过椭圆的离心率求得 a,最后利用 a,b 和 c 的关系 求得 b,则椭圆的方程可得. (2)设出直线 l 的方程,与椭圆方程联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则可利用韦达 定理表示出 x1+x2 和 x1x2,假设在 y 轴上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则可表示出 利用 =0 求得 m 的值. ,

【解答】解: (1)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 则由 由 即 所以 c=1 又因为 因此所求椭圆的方程为: (2)动直线 l 的方程为: . . , 得 . ; ,







设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .





假设在 y 轴上存在定点 M(0,m) ,满足题设,则 .

= =

=

=

由假设得对于任意的 即 解得 m=1.

恒成立,

因此,在 y 轴上存在定点 M,使得以 AB 为直径的圆恒过这个点, 点 M 的坐标为(0,1) 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生分析问题和推理的能力.

21.已知函数 f(x)的定义域(0,+∞) ,若 y=

在(0,+∞)上为增函数,则称 f(x)

为“一阶比增函数”;若 y=

在(0,+∞)上为增函数,则称 f(x)为“二阶比增函

数”.把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为 A1,把所有由“二阶比增函数”组成的集 合记为 A2 (1)已知函数 f(x)=x ﹣2hx ﹣hx,若 f(x)∈A1 且 f(x)?A2,求实数 h 的取值范围 (2)已知 f(x)∈A2,且存在常数 k,使得对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<k,求 k 的最小值. 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用.
3 2

【分析】 (1)由 f(x) )∈A1 且 f(x)?A2 知 g(x)=

=x ﹣2hx﹣h 在(0,+∞)上为

2

增函数,F(x)=

=x﹣ ﹣2h 在(0,+∞)上不是增函数,求导 F′(x)=1+

;从

而确定 h 的取值范围; (2)利用反证法先证明 f(x)≤0 对任意的 x∈(0,+∞)成立,再证明 f(x)=0 在(0,+∞) 上无解,从而可是当 f(x)∈A2 时,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<0 成立,故当常 数 k≥0 时,使得对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<k;从而求最小值. 【解答】解: (1)∵f(x) )∈A1 且 f(x)?A2, 即 g(x)= ∴h≤0; 而 F(x)= =x﹣ ﹣2h 在(0,+∞)上不是增函数, =x ﹣2hx﹣h 在(0,+∞)上为增函数,
2

且 F′(x)=1+



当 F(x)是增函数时,有 h≥0; 所以当 F(x)不是增函数时,h<0; 综上,h<0. (2)先证明 f(x)≤0 对任意的 x∈(0,+∞)成立, 假设存在 x0∈(0,+∞) ,使得 f(x0)>0, 记 =m>0,因为 f(x)∈A2,

所以 f(x)为“二阶比增函数”, 即 是增函数,

所以当 x>x0>0 时,
2



=m,

即 f(x)>mx ; 所以一定存在 x1>x0>0,使得 f(x1)>m >k 成立,

这与 f(x)<k 对任意的 x∈(0,+∞)成立矛盾,

所以 f(x)≤0 对任意的 x∈(0,+∞)都成立; 再证明 f(x)=0 在(0,+∞)上无解, 假设存在 x2>0,使得 f(x2)=0; ∵f(x)为“二阶比增函数”,即 是增函数,

∴一定存在 x3>x2>0,使得



=0 成立,

这与上述的证明结果矛盾. 所以 f(x)=0 在(0,+∞)上无解, 综上所述,当 f(x)∈A2 时,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<0 成立, 所以当常数 k≥0 时,使得对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<k; 故 k 的最小值为 0. 【点评】本题考查了学生对新定义的接受与转化运用的能力,同时考查了导数的综合应用, 属于难题.


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