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数学奥林匹克高中训练题13及答案

数学奥林匹克高中训练题(13) 第一试(总分90分) 一、选择题(每小题6分,共36分) 1. (训练题18)已知集合 P ? ?a1 , a2 , … , a n ,… 又知集合 Q ? n ?1 ? i ? ( A) P ? Q ? , 且满足 a1 ? 1 ,an ? an?1 ? 4?n ? 1? ?n ? N , n ? 1? . ? 2n ? 2 n i, n ? N 则 P, Q 的关系是(A) (C) P ? Q (D) P ? Q ? ? ? (B) P ? Q 2.(训练题18)若关于 x 的方程 k cos x ? arccos ? 4 ? 0 有实数解,且 x 属于第三象限,则(C) (A) k ≥―arccos ? 4 (B) k < 2 2 (C) k >arccos ? 4 (D) ? ? <k < 4 2 3.(训练题18)两枚红色棋子、两枚白色棋子、两枚绿色棋子摆成一圈.则不同的摆法有(B)种 (A)15 (B)18 (C)24 (D)90 4.(训练题18)方程 7 ? 3 ? 2 ? 1 的正整数解的组数为(C) x y (A)4 (B)3 (C)2 1996 k ?1 k (D)1 k 5.(训练题18)关于 x 的方程 1997? (A)1996 (B)4 (C)2 ? ?? 1? ?1997? k ?x ? 0 的实根的个数为(D) (D)0 6.(训练题18)已知 x, y 都是自然数,且 x 2 ? y 2 ? 6 是 xy 的整数倍.则 x2 ? y2 ? 6 是一个(B) xy (A)完全平方数 (B)完全立方数 (C)完全四次方数 (D)素数 二、填空题(每小题9分,共54分) 1.(训练题18)中国足球甲 A 联赛共有12个足球俱乐部参加,实行主客场双循环赛制,即任何两队分别 在主场和客场各比赛一场,胜一场得3分,平一场各得1分,负一场得0分,在联赛结束后按积分的高低 排出名次.则在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达 46 分. 2 . (训练题 18)若 log? ? < 2 ,则使关于 x 的函数 y ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? )(x ? R) 为偶函数的 ? 10 个. 3.(训练题18)在平面上,一条抛物线至多把平面分成两部分,两条抛物线至多把平面分成七部分.则 10条抛物线至多把平面分成 191 部分. 4.(训练题18)过双曲线 ?x ? 2? ? 2 ? 的个数是 y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交该双曲线于 A, B 两点.如果 AB ? 4 , 2 则这样的直线的条数为 3 条. 5.(训练题18)设 x, y , z , w 是不全为零的实数,且满足 xy ? 2 yz ? zw ≤ A x 2 ? y 2 ? z 2 ? w2 ,则 A ? ? 的最小值是 2 ?1 2 . 6.(训练题18)一张正方形的纸被一条直线分成两部分,其中一部分再被一条直线分成两部分,再把三 分之一被一条直线分成两部分,如此下去,最后得到了19个96边形和其他一些多边形.则至少要切割 1766 次. 第二试(总分120分) 一、(训练题18)(25分)在三棱锥 A ? BCD 中, ?DAB ? ?BAC ? ?DAC ? 90? , ?ADB ? ?BDC ? ?ADC ? 90? 试证:二面角 A ? BC ? D 的度数大于 70 ? 二、(训练题18)(25分)设 a i >0, i ? 1,2, …, n , n ≥2,求证: n 2n ? 1 3 5 7 1 < 4? ? ? ?…? a1 a1 ? a2 a1 ? a2 ? a3 a1 ? a2 ? ? ? an i ?1 a i 2 三、 (训练题18) (35分) 给定 n 个 ( n ≥5) 互不相等的实数 a1 < a2 <…< an , 所有的 C n 个和 ai ? a j (1≤ i , j ≤ n , i ? j )中互不相同的数恰好有 2n ? 3 个的充分必要条件是 a1 , a2 ,?, an 成等差数列. 四、(训练题18)(35分)对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含 有两个不同的数,它们的乘积能被 mn 整除.

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