抛物线的几何性质习题课

普通高中课程标准实验教材选修

抛物线习题课

复习

一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线.
N

l
M

· F ·

即:

MF ︳ ︳ , 则点 M的轨迹是抛物线。 若 ?1 MN ︳ ︳

注意：定点不在定直线上。

练习
到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是 (D )

A.圆
C.线段

B.抛物线
D.直线

解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与 定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.

形

﹒ ﹒ ﹒
y

图 o

焦 点 线

准 程

标准方

x

y

o

x

y

o

x y

﹒
o

x

标准 方程
y 2 ? 2 px ( p ? 0)

图形
y o y F x

焦点

准线 范围

对称 顶 轴 点

离心 率

p p ( ,0 ) x ? ? 2 2
p (? ,0) 2
p x? 2

x?0

x轴 (0,0) e ? 1 x轴 (0,0) e ? 1

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

Fo y F o y

x

x?0
y?0

x ? 2 py ( p ? 0)
2

x

p p (0, ) y ? ? 2 2

y轴 (0,0) e ? 1

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

o F

x

p p (0,? ) y ? 2 2

y ? 0 y轴 (0,0) e ? 1

题型一 求抛物线的标准方程
例1:求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2);

解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p=

9 4

．
A

y

当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，

O

x

9 4 2 ∴ 抛物线的标准方程为 x ? y 或 y ? ? x . 2 3
2

2 得p= 3

题型一

求抛物线的标准方程

(2)焦点在直线x-2y-4=0上;
(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,
∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0), p 则由 =2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y. 2 ②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时, p 2=2px(p>0),则由 设抛物线方程为y =4得p=8, 2 ∴所求抛物线方程为y2=16x. 综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.

题型一

求抛物线的标准方

程 （3） 求焦点在x轴上,且点A(-2,3)到焦点的

距离是5的抛物线的方程,并写出它的焦点坐
标与准线方程.

[解]? 焦点在x轴上, 可设抛物线方程为y 2 ? 2px(p ? 0), p 则焦点为F( , 0),由 FA ? 5得 : 2 p 2 2 ( ? 2) ? ? 0 ? 3? ? 52 , 2 即p 2 ? 8p ? 48 ? 0, 解得p ? ?12或p ? 4, 当p ? ?12时, 抛物线的方程为y 2 ? ?24x, 它的焦点坐标为 ? ?6, 0 ? , 准线方程为x ? 6, 当p ? 4时, 抛物线的方程为y 2 ? 8x, 它的焦点坐标为 ? 2, 0 ? , 准线方程为x ? ?2.

题型二

抛物线定义的应用

【例2】 (2010 ? 辽宁)设抛物线y2 ? 8x的焦点为F, 准线为l, P为抛物线上一点, PA ? l, A为垂足, 如果直线AF斜率 为 ? 3, 那么 PF ? ?B? A.4 3 B.8 C.8 3 D.16

【变式训练2】

(2010·湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴 )

的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(B

A.4

B.6

C.8

D.12

练习

p x0 ? 横坐标为x0，则点M到焦点的距离是———————— 2
y

M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点M 的

这就是抛 物线的焦 半径公式!

O F

． ．
M

x

题型三

与抛物线有关的最值问题

例6:已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A的
坐标为(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距

离之和的最小值.
故|PA|+y= |PA|+|PF|-1, 由图可知,当A?P?F三点共线

时,|PA|+|PF|取最小值为
|AF|= 13.故所求距离之和的 最小值为|AF|-1=12.

（理科P48）变式训练3:(2008·辽宁高考)已知点P是抛物线

y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物
线准线的距离之和的最小值为(A
A. 17 2 B.3 C. 5 D. 9 2

)

1 17 最小距离d ? (0 ? )2 ? (2 ? 0)2 ? . 2 2

（文科P40）【变式训练1】

已知抛物线y2=2x的焦

点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求

|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点坐标.
[解]将x ? 3代入抛物线方程 y 2 ? 2x, 得y ? ? 6.? 6 ? 2, ?点A在抛物线内部.
1 设抛物线上点P到准线l : x ? ? 的距离为d, 2 由定义知 PA ? PF ? PA ? d, 由图可知, 当AP ? l时, PA ? d最小, 7 7 最小值为 , 即 PA ? PF 的最小值为 , 2 2 此时P点纵坐标为2, 代入y 2 ? 2x, 得x ? 2. ?点P坐标为? 2, 2 ? .

题型四 与抛物线有关的最值问题
【例7】已知抛物线y 2 ? 2x. 2 ?1? 设点A的坐标为( , 0), 在抛物线上求一点P, 3 使 PA 最小.

? 2 ? 在抛物线上求一点P, 使P到直线x ? y ? 3 ? 0的
距离最短, 并求出距离的最小值.

(理科P 53 10)

题型四 与抛物线有关的最值问题
2 2 [解] ?1? 设P ? x, y ? , 则 PA ? ( x ? ) ? y 2 3 2 2 1 2 1 ? (x ? ) ? 2x ? (x ? ) ? . 3 3 3 ? x≥0且在此区间上函数单调递增, 故当x ? 0时, 2 PA 有最小值 , 离A点最近的点P ? 0, 0 ? . 3
2

题型四 与抛物线有关的最值问题

? 2 ? 方法1: 设点P ? x 0 , y0 ? 是抛物线y2 ? 2x上任一点,
则P到直线x ? y ? 3 ? 0的距离为
2 y0 | x0 ? y0 ? 3 | | 2 ? y0 ? 3 | d? ? 2 2 | ( y0 ? 1) 2 ? 5 | ? , 2 2

5 2 ?当y0 ? 1, d有最小值 . 4 1 ?点P的坐标为( ,1). 2

题型四 与抛物线有关的最值问题
（文科P40）【变式训练2】 抛物线y=x2到直线2x-y=4距离 (1,1) 最近的点的坐标是________.

[解析]设P ? x, y ? 为抛物线y ? x 2上任一点, 则P到直线的距离 | 2 x ? y ? 4 | | x 2 ? 2 x ? 4 | ( x ? 1) 2 ? 3 d? ? ? , 5 5 5 3 5 所以当x ? 1时, d取最小值 , 此时P ?1,1?。 5

题型五 焦点弦问题
【例8】 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与

抛物线相交于两点A?B,求线段AB的长.
[解] 方法1:如下图,由抛物

线方程可知,焦点F(1,0),因 而直线AB的方程为y=x-1,代 入y2=4x得x2-6x+1=0,设 A(x1,y1)?B(x2,y2), 则x1+x2=6,x1·2=1 x

?| AB |? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2(36 ? 4) ? 8.

题型五 焦点弦问题
方法2 : 设A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ?由抛物线的定义知, AF 等于点A到准线x ? ?1的距离 | AA? |, 即 AF ? AA? ? x1 ? 1,同理 BF ? x 2 ? 1 ? AB ? AF ? BF ? x1 ? x 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 8.

题型五 焦点弦问题 [规律技巧] ?1? 解法1利用“设而不求”的思想方法,
利用韦达定理及两点间的距离公式求解, 也可以代入 弦长公式 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 .还可以求出方程 x 2 ? 6x ? 1 ? 0的两个根x1 ? 3 ? 2 2, x 2 ? 3 ? 2 2, 进一步求出y1 , y 2 代入两点间距离公式.

? 2 ? 抛物线y 2 ? 2px ? p ? 0 ? 上一点A ? x 0 , y 0 ?
p p 到焦点F( , 0)的距离 AF ? x 0 ? , 2 2 这就是焦半径公式, 过焦点F的弦长 AB ? x1 ? x 2 ? p.

（文P42）

题型五 焦点弦问题

【变式训练3】顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直 线y ? 2x ? 1截得的弦长为 15, 求抛物线的方程.
[解]设所求抛物线方程为y 2 ? ax ? a ? 0 ? , 直线y ? 2x ? 1与抛物线交于A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? . ? y 2 ? ax, 由? 消去y得4x 2 ? ? 4 ? a ? x ? 1 ? 0, ? y ? 2 x ? 1, a?4 1 则x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? . 4 4
a?4 2 1 由 AB ? (1 ? 2 )[( ) ? 4 ? ] ? 15, 解得a ? 12或a ? ?4, 4 4
2

均满足? ? ? 4 ? a ? ? 16 ? 0.所以抛物线方程为y 2 ? 12x或y 2 ? ?4x.
2

（理P51）

题型五 焦点弦问题

变式训练3:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ 的 直线l,交抛物线于A?B两点.

(1)求|AB|;

(2)求|AB|的最小值.

p ? p ? x? , 解 : (1)当? ? 90?时, 直线l的方程为x ? ,由 ? 2 2 ? y 2 ? 2 px. ? p p 得A( , ? p), B( , p),? AB ? 2p.当? ? 90?时, 2 2 ? y 2 ? 2 px, p ? 直线l的方程为y ? ( x ? )tan? .由 ? p 2 y ? ( x ? )tan? , ? ? 2 p2 2 2 得tan2? ?x ? (2p ? ptan ? )x ? ?tan 2? ? 0. 4

题型五 焦点弦问题
2 p ? ptan 2? 设A(x1 , y 1 ), b(x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ? , 2 tan ? 2 p ? ptan 2? 2p ? AB ? x1 ? x 2 ? p ? ?p? . 2 2 tan ? sin 2? (2)由(1)知, 当? ? 90?时,| AB | 的值最小为2p.

题型六

直线与抛物线的位置关系

【例9】 直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=2x,当k为何值时,l与C

有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. ? y ? kx ? 1 [解]由 ? 2 , 得k 2 x 2 ? ? 2k ? 2 ? x ? 1 ? 0, ? y ? 2x 1 当k ? 0时, 方程为 ? 2x ? 1 ? 0,? x ? , y ? 1, 2 1 直线l与C只有一个公共点( ,1). 2

当k ? 0时, ? ? ? 2k ? 2 ? ? 4k 2 ? ?8k ? 4.
2

1 当? ? 0时, 即k ? 时, l与C有一个公共点. 2

题型六

直线与抛物线的位置关系

[规律技巧]

1 当? ? 0时, 即k ? 时, l与C有两个公共点. 2 1 当? ? 0时, 即k ? 时, l与C没有公共点. 2 1 综上所述, ? ? 当 ? 或 ? 时 与 有一个公共点 2 1 ? 2 ?当k ? 且k ? 0时, l与C有两个公共点. 2 1 ? 3?当k ? 时, l与C没有公共点. 2

在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种

情况:①直线与抛物线的对称轴平行;②利用Δ =0,此时直 线与抛物线相切.

题型六

直线与抛物线的位置关系

【练习】已知抛物线y2=4x, 直线l过定点P(-2，1)，

斜率为k. 当k为何值时,l与抛物线有:(1)一个公共
点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. （课本P 62 例5）
[规律技巧] 在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种

情况:①直线与抛物线的对称轴平行;②利用Δ =0,此时直

线与抛物线相切.

（文P 43）
3p 【变式训练1】已知直线l过点A(? , p), 2 且与抛物线y 2 ? 2px只有一个公共点, 求直线l的方程.
[解]当直线l与抛物线相切时, 直线与抛物线 只有一个公共点, 设直线方程为 : y ? p ? k ( x ? 将直线l的方程与y 2 ? 2px联立, 消去x得 : ky 2 ? 2py ? ? 2 ? 3k ? p 2 ? 0 1 由? ? 0得, k ? 或k ? ?1. 3 ? 直线l的方程为 : 2x ? 6y ? 9p ? 0或2x ? 2y ? p ? 0 3p ). 2

当直线l与x轴平行时, 直线l与抛物线只有一个交点, 此时, y ? p, 故满足条件的直线共有三条, 其方程为 : 2x ? 6y ? 9p ? 0或2x ? 2y ? p ? 0或y ? p.

题型六

直线与抛物线的位置关系

（理科P52）例4:求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只 有一个公共点的直线方程.
解:如图所示. (1)若直线的斜率不存在,则过点P(0,1)

的直线方程为x=0.显然只有一个公
共点,即直线x=0与抛物线只有一个 公共点.

(2)若直线的斜率存在,设过点P的直线方程为y=kx+1,由
? y 2 ? 2 x, , ? ? y ? kx ? 1

得k2x2+2(k-1)x+1=0,当k=0时,解得y=1,

即直线y=1与抛物线只有一个公共点.
当k≠0时由Δ =4(k-1)2-4k2=0,得k=?. 即直线y=?x+1与抛物线只有一个公共点. 综上所述,所求直线方程为x=0或y=1或y=?x+1.

题型六

直线与抛物线的位置关系

（理科P52）例10：求以(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦所 在的直线的方程.

解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=-2. 又y21=8x1,y22=8x2,

y1 ? y2 8 ∴y21-y22=8(x1-x2),∴ x ? x ? y ? y ? ?4. 1 2 1 2
故所求直线方程为y+1=-4(x-1), 即4x+y-3=0.

通径：过抛物线的焦点作对称轴的 垂线与抛物线交于两点，则该两点 为端点的线段称为抛物线的通径。 (1)通径长为 2 p (2)通径长决定抛物线的开口大小
演示

例11.图中是抛物线拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 m ，水面宽4 m，水 面宽 6 m ，水下降多少？
y o B D F

2m
h
E A

x

ll
C

2m

4m

例12 斜率为1的直线Ｌ经过抛物线y2=4x的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
法1 ：利用两点间距离公式
AB ?
x+１=0
2

y Ａ

( x1? x 2) ? ( y1? y 2)
2

Ａ ‘

法2 AB ? 1 ? k
?
2

x ?x 1 ? k ( x1? x 2)
2 1

2 2

o

F(１,0)
Ｂ

x

? 4 x1 x 2

Ｂ ‘

法3 |AB|=x1+x2+P

例13.已知P是抛物线y2=4x的一点， 点A(4，0)，求|PA|的最小值。
y

P
x

o

A(4,0)

变式：若将A改为（4，1）， |PF|+|PA|的最小值是多少？

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 例14.过抛物线

的焦点F任作一

条直线m，交这条抛物线于A、B两点，求证： 以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
y

D H C
o

A E F
x

B