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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件 文_图文

第九章 平面解析几何

§9.1 直线的方程

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 易错警示系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.直线的倾斜角

(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的
直线绕着交点按 逆时针 方向旋转到和直线重合时所转过的 最小正角 称为

这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合 时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线l倾斜角的范围是 [0°,180°) .

答案

2.斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tan α .

y2-y1 (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k= x2-x1 .

答案

3.直线方程的五种形式

名称
点斜式

方程 y-y1=k(x-x1) _____________
y=kx+b _________

适用范围
不含直线x=x1

斜截式
两点式 截距式

不含垂直于x轴的直线
不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y=

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 ______________
x y + = 1 a b _________

y1 (y1≠y2)
不含垂直于坐标轴和过原点的

直线

Ax+By+C=0(A,B不全为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 一般式 __________________________
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × )

(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × )
(4)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × )

(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )
(6)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.( × )

答案

x y (7)不经过原点的直线都可以用 + =1 表示.( × ) a b (8)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程
(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( √ )

答案

2

考点自测

1.直线 3 x-y+a=0的倾斜角为 60° .

解析

化直线方程为 y= 3x+a,

∴k=tan α= 3.

∵0°≤α<180°, ∴α=60°.

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解析答案

2.如果A· C<0,且B· C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过第 三 象限.

C 解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距-A>0, C 在 y 轴上的截距-B>0,
故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.

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解析答案

3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0 .
解析 当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;

x y 当截距不为 0 时,设直线方程为a+a=1, 2 3 则a+a=1,解得 a=5,
所以直线方程为x+y-5=0.

综上,直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.

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解析答案

4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1,m)的直线与直线x-2y+4=0平行,

则m的值为 3 .

解析

4-m 1 ∵ =2, m-1

∴m=3.

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解析答案

5.直线l经过A(2,1) ,B(1, m2)(m∈R) 两点,则直线l的倾斜角的取值范围 ? ?π ? π? ? ? ? ? 0 , , π ? ?∪? ? 4 2 ? ? ?. 为?

解析

m2-1 直线 l 的斜率 k= =1-m2≤1. 1-2

若l的倾斜角为α,则tan α≤1.
? ?π ? π? ? ? ? ? 又∵α∈[0,π),∴α∈?0,4?∪?2,π?. ? ? ? ?

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解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

直线的倾斜角与斜率
? ?π ? π? ? ? ?? α - y - 3 = 0 ?α∈?6,3?? 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 ? ? ??

例 1 是

(1) 直 线 2xcos .

解析答案

(-∞,- 3]∪[1,+∞)

1-0 3-0 ∵kAP= =1,kBP= =- 3, 2-1 0-1
∴k∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞).

解析答案

引申探究
1.若将题(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.



∵P(-1,0),A(2,1),B(0, 3),

1-0 1 ∴kAP= =3, 2-?-1? 3-0 kBP= = 3. 0-?-1? 如图可知,直线 l
?1 ? 斜率的取值范围为?3, ? ? 3? ?. ?

解析答案

2.将题(2)中的B点坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的

范围.
解 如图:

直线PA的倾斜角为45°,
直线PB的倾斜角为135°,

由图象知l的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).

思维升华

解析答案

? ?5π ? π? ? ? ? ? 0 , , π ? ?∪? ? 6 6 ? ? ? ?

跟踪训练1

解析

3 由 xcos α+ 3y+2=0 得直线斜率 k=- 3 cos α.

∵-1≤cos α≤1,

3 3 ∴- 3 ≤k≤ 3 . 3 3 设直线的倾斜角为 θ,则- 3 ≤tan θ≤ 3 . ? ? ?π ? π π 5π ? ? ? ? 结合正切函数在?0,2?∪?2,π?上的图象可知,0≤θ≤6或 6 ≤θ<π. ? ? ? ?
解析答案

解析答案

题型二

求直线的方程

例2 根据所给条件求直线的方程:

10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ;
解 由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.

10 设倾斜角为 α,则 sin α= 10 (0<α<π), 3 10 1 从而 cos α=± 10 ,则 k=tan α=± 3.
1 故所求直线方程为 y=± 3(x+4).
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
解析答案

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;

x y 解 由题设知截距不为 0,设直线方程为a+ =1, 12-a
又直线过点(-3,4),

-3 4 从而 a + =1,解得 a=-4 或 a=9. 12-a
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.

解析答案

(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5. 解 当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;

当斜率存在时,设其为k, 则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+(10-5k)=0.

|10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k=4. k +1
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;

解析答案

(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x的倾斜角的2倍.



由已知:设直线y=3x的倾斜角为α,

则所求直线的倾斜角为2α.

∵tan α=3, 2tan α 3 ∴tan 2α= 2 =- . 4 1-tan α
又直线经过点A(-1,-3),

3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1),
即3x+4y+15=0.
解析答案

题型三

直线方程的综合应用

命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别

交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及
此时直线l的方程.

解析答案

命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 的值. 解 由题意知直线 l1,l2恒过定点 P(2,2),直线l1 的纵截距为2-a,直线l2 的横截距为a2+2,
? 1? 1 1 ? 2 2 2 所以四边形的面积 S=2×2×(2-a)+2×2×(a +2)=a -a+4=?a-2? ? ? ? 1 15 + 4 , 当 a=2时,面积最小.
思维升华 解析答案

已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,

直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a

跟踪训练3
(1) (2014· 四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线

mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA· PB的最大值是

.

解析答案

解析答案

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易错警示系列

易错警示系列

10.求直线方程忽视零截距致误

典例 (14分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程; 易错分析 本题易错点求直线方程时,漏掉直线过原点的情况.

易错分析

解析答案

(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解 将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,

? ? ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ? ? ?a-2≤0 ?a-2≤0,

[11 分]
[13分] [14分]

∴a≤-1. 综上可知a的取值范围是a≤-1.

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

直线的倾斜角和斜率的关系:
(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.

(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应法则: Α
k


0

0°<α<90°
k>0

90°
不存在

90°<α<180°
k<0

失误与防范
与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点: (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂 直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距 有关的问题中,要注意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论, 即应对斜率是否存在加以讨论.
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练出高分

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1.若A(m,-m-3),B(2,m-1)),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC

的斜率的三倍,则实数m的值为1或2 .
解析 4-?-m-3? 4-?m-1? 由 kAC=3kBC,得 =3· , -1-m -1-2

解得m=1或m=2,经验证均符合题意.

解析答案

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2.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是
解析 1 ∵直线的斜率 k=- 2 , a +1

?3π ? ? ? , π ? ? ?4 ?

.

?3π ? ? , π ∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是? ? ?. 4 ? ?

解析答案

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3.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关
系为 k1<k3<k2 .

解析

直线l1的倾斜角α1是钝角,

故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,

所以0<k3<k2,
因此k1<k3<k2.

解析答案

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4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a+b= 1
?7-5 ? =2, ?a-3 根据题意,得? ? b-5 =2, ? ?-1-3 ? ?a=4, 解得? ? ?b=-3,

.

解析

故a+b=1.

解析答案

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6.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而 ? 3 ? ? [- 3,0)∪? ,1? ? 3 ? ? 范围是 . π π 3 解析 当6≤α<4时, 3 ≤tan α<1, 3 ∴ 3 ≤k<1. 2π 当 3 ≤α<π 时,- 3≤tan α<0. ? 3 ? ? ? ∴k∈[- 3,0)∪? ,1?. ? 3 ?

?π ?2π ? π? ? ? ? ? α∈?6,4?∪? 3 ,π?,则 ? ? ? ?

k 的取值

解析答案

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7.一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1, 则此直线的方程为 .

解析答案

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8. 若 ab>0 ,且 A(a,0) 、 B(0 , b) 、 C( - 2 ,- 2) 三点共线,则 ab 的最小值 为 .

解析答案

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9.设直线l:(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0 (m≠-1),根据下
列条件分别确定m的值:

(1)直线l在x轴上的截距为-3;

解析答案

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(2)直线l的斜率为1. 解 由题意知2m2+m-1≠0,

m2-2m-3 4 且- 2 =1,解得 m=3. 2m +m-1

解析答案

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10.已知点P(2,-1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;

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(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?

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11.若直线ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距 之和的最小值为 4 . 解析 ∵直线ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1),

1 1 ∴a+b=ab,即a+b=1, ?1 1? b a ? ? ∴a+b=(a+b)?a+b?=2+a+b≥2+2 ? ?
当且仅当a=b=2时上式等号成立.

ba · = 4 , ab

∴直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
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12.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 3 .

解析

x y 直线 AB 的方程为3+4=1,

3 ∵动点 P(x,y)在直线 AB 上,则 x=3-4y, 3 2 3 3 2 ∴xy=3y-4y =4(-y +4y) =4[ -(y-2)2+4] ≤3. 即当 P
?3 ? ? 点坐标为?2,2? ?时,xy ? ?

取最大值 3.

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13. 设点 A( - 1,0) , B(1,0) ,直线 2x + y - b = 0 与线段 AB 相交,则 b 的取值
范围是 [-2,2] .

解析

b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,

如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,

b分别取得最小值和最大值.
∴b的取值范围是[-2,2].

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15.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; 证明 直线l的方程是k(x+2)+(1-y)=0,

? ? ?x+2=0, ?x=-2, 令? 解得? ? ? ?1-y=0, ?y=1,

∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).

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(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;

1+2k 解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- k ,在 y 轴上的 截距为 1+2k,要使直线不经过第四象限,
? 1+2k ?- ≤ - 2 , k 则必须有? ? ?1+2k≥1,

解得 k>0;

当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.
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(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐 标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.

解析答案

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