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高三文科数学综合练习题1及答案

威远县竞力学校高三文科数学综合练习题(一) 姓名: 班级:
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则 UA=( A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5} 2.已知 a 是第二象限角,sin a= ). D. ?

12 A. 13 ?

5 B. 13 ?

5 ,则 cos a=( ). 13 5 12 C. 13 D. 13

3.已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ =( ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 2 4.不等式|x -2|<2 的解集是( ). A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-2,0)∪(0,2) 5.已知数列{an}满足 3an+1+an=0, a2 ? ?
-10 -10

4 ,则{an}的前 10 项和等于( 3
-10

).
-10

A.-6(1-3 ) B.9(1-3 ) C.3(1-3 ) D.3(1+3 ) 6.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两 点,且|AB|=3,则 C 的方程为( ). A.

x2 2 +y ? 1 2

B.

x2 y 2 + ?1 3 2

C.

x2 y 2 + ?1 4 3

D.

x2 y 2 + ?1 5 4

7.若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图像如图,则 ω =( ). A.5 B.4 C.3 D.2 4 2 8. 已知曲线 y=x +ax +1 在点(-1, a+2)处切线的斜率为 8, 则 a=( ). A.9 B.6 C.-9 D.-6 9. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于(

).

2 A. 3

3 B. 3
2

2 C. 3
).

1 D. 3

10.已知抛物线 C:y =8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两 点.若 MA · MB =0,则 k=(

2 B. 2 C. 2 D.2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
11.设 f(x)是以 2 为周期的函数,且当 x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则 f(-1)=______. 12.设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ?

1 A. 2

? ?

??

1 ?? 4? 2

,则 sin ? ? cos ? =_________.

13 .已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x 。那么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是__________________.

? x ? 0, ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z=-x+y 的最小值为______. ?3 x ? y ? 4, ?

15.已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数且 f (1) ? 1 ,当 x1 、 x2 ? [-1,1] ,且

x1 ? x2 ? 0 时 , 有

a ? [?1,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 若 f ( x) ? m 2 ? 2am ? 1 对 所 有 x ? [?1,1] 、 x1 ? x2
.

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

17. (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b +c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C=

3 ?1 ,求 C. 4

18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB 和△PAD 都是边长为 2 的等边三角形. (1)证明:PB⊥CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离.

19. (本小题满分 12 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度) . 设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米, 体积为 V 立方米. 假设建造成本仅与表面积有关, 侧面积的建造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x +3ax +3x+1. (1)当 a ? ? 2 时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

3

2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1, a 2 b2 F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6 .
21. (本小题满分 12 分)已知双曲线 C: (1)求 a,b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|, |AB|,|BF2|成等比数列.

威远县竞力学校高三综合练习题(一)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案:B 解析:由题意得 2. 答案:A
U

A={3,4,5}.故选 B.

12 ?5? 解析:∵α 是第二象限角,∴cos α = ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? .故选 A. 13 ? 13 ?
2

2

3. 答案:B 解析:∵(m+n)⊥(m-n),∴(m+n)·(m-n)=0. 2 2 ∴|m| -|n| =0, 2 2 即(λ +1) +1-[(λ +2) +4]=0. ∴λ =-3.故选 B. 4. 答案:D 2 2 2 解析:|x -2|<2?-2<x -2<2?0<x <4?0<|x|<2?-2<x<0 或 0<x<2.故选 D. 5. 答案:C 解析:∵3an+1+an=0?an+1= ? ∴{an}是以 ? 又∵a2= ?

1 an, 3

1 为公比的等比数列. 3

4 ,∴a1=4. 3 ? ? 1 ?10 ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? -10 ∴S10= ? =3(1-3 ).故选 C. 1 1? 3
6. 答案:C 解析:如图,|AF2|= 由椭圆定义得 |AF1|=2a-

1 3 |AB|= ,|F1F2|=2, 2 2

3 .① 2
2
2 2 2

?3? 2 ? +2 .② ?2? x2 y 2 2 2 2 ? ? 1 ,应选 C. 由①②得 a=2,∴b =a -c =3.∴椭圆 C 的方程为 4 3
在 Rt△AF1F2 中,|AF1| =|AF2| +|F1F2| = ? 7. 答案:B

解析:∵由题中图象可知 x0+

π T π 2π π ? .∴ω =4.故选 B. -x0= .∴ T ? .∴ 4 ? 2 2 2

8. 答案:D 3 解析:由题意知 y′|x=-1=(4x +2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6.故选 D. 9. 答案:A 解析:如图,设 AA1=2AB=2,AC 交 BD 于点 O,连结 OC1,过 C 作 CH⊥OC1 于点 H,连结 DH. ∵BD⊥AC,BD⊥AA1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. ∵CH ? 平面 ACC1A1, ∴CH⊥BD.∴CH⊥平面 C1BD. ∴∠CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角.

? 2? 3 OC1= CC ? OC ? 4 ? ? . ? ? ? 2 ? 2 ? ?
2 1 2

2

由等面积法得 OC1·CH=OC·CC1,

2 3 2 ? CH ? ? 2 .∴CH= . 3 2 2 2 CH 3 2 ∴sin∠CDH= ? ? .故选 A. CD 1 3
∴ 10. 答案:D 解析:设 AB:y=k(x-2),代入 y =8x 得: k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ∴x1+x2=
2

4k 2 ? 8 , k2

x1x2=4.(*)
∵ MA · MB =0, ∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0, 即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0. ∴x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.① ∵?

? y1 ? k ? x1 ? 2 ?, ∴y1+y2=k(x1+x2-4),② ? y2 ? k ? x2 ? 2 ?,

y1·y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4].③ 由(*)及①②③得 k=2.故选 D.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 11.答案:-1 解析:∵f(x)是以 2 为周期的函数,且 x∈[1,3)时,f(x)=x-2, 则 f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 12. ?

10 5

13. (-7, 3)

14.答案:0

解析:z=-x+y?y=x+z,z 表示直线 y=x+z 在 y 轴上的截距, 截距越小, z 就越小.画 出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示),当直线过点 A(1,1)时,zmin=0. 15. {x | x ? ?2或x ? 0或x ? 2} . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 因为 ?

?a7 ? 4, ?a19 ? 2a9 ,

?a1 ? 6d ? 4, ?a1 ? 18d ? 2? a1 ? 8d ?. 1 解得 a1=1, d ? . 2 n ?1 所以{an}的通项公式为 an ? . 2 2 2 2 ? ? (2)因为 bn ? , n? n ? 1? n n ? 1 2 ? 2n ?2 2? ?2 2? ?2 所以 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?? ?1 2? ?2 3? ? n n ?1 ? n ?1
所以 ? 17. 解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 2 2 2 所以 a +c -b =-ac.

a 2 ? c2 ? b2 1 ?? , 由余弦定理得 cos B= 2ac 2
因此 B=120°. (2)由(1)知 A+C=60°, 所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C

1 3 ?1 +2 ? 2 4 3 = , 2
= 故 A-C=30°或 A-C=-30°, 因此 C=15°或 C=45°. 18. (1)证明:取 BC 的中点 E,连结 DE,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE⊥BD,从而 PB⊥OE. 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点,

所以 OE∥CD.因此 PB⊥CD. (2)解:取 PD 的中点 F,连结 OF,则 OF∥PB. 由(1)知,PB⊥CD,故 OF⊥CD. 又 OD=

1 BD= 2 ,OP= PD2 ? OD2 ? 2 , 2

故△POD 为等腰三角形,因此 OF⊥PD. 又 PD∩CD=D,所以 OF⊥平面 PCD. 因为 AE∥CD,CD ? 平面 PCD,AE ? 平面 PCD,所以 AE∥平面 PCD. 因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF=

1 PB=1, 2

所以 A 到平面 PCD 的距离为 1. 19. 2 解: (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2π rh=200π rh 元, 底面的总成本为 160π r 元, 2 所以蓄水池的总成本为(200π rh+160π r )元. 2 又据题意 200π rh+160π r =12 000π ,

1 2 (300-4r ), 5r π 2 3 从而 V(r)=π r h= (300r-4r ). 5 因 r>0,又由 h>0 可得 r ? 5 3 ,
所以 h= 故函数 V(r)的定义域为(0, 5 3 ).

π 3 (300r-4r ), 5 π 2 故 V′(r)= (300-12r ). 5
(2)因 V(r)= 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5, 5 3 )时,V′(r)<0,故 V(r)在(5, 5 3 )上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 20. 解:(1)当 a ? ? 2 时,f(x)=x - 3 2 x +3x+1,
3 2

f′(x)=3x2- 6 2 x+3.
令 f′(x)=0,得 x1 ?

2 ?1, x2 ? 2 ?1 .

当 x∈(-∞, 2 ? 1 )时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2 ? 1 )是增函数; 当 x∈( 2 ? 1 , 2 ? 1 )时,f′(x)<0,f(x)在( 2 ? 1 , 2 ? 1 )是减函数; 当 x∈( 2 ? 1 ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2 ? 1 ,+∞)是增函数. (2)由 f(2)≥0 得 a ? ? 当a ? ?

5 . 4

5 ,x∈(2,+∞)时, 4 1? 5 ? ? ? f′(x)=3(x2+2ax+1)≥ 3 ? x 2 ? x ? 1? =3 ? x ? ? (x-2)>0, 2? 2 ? ? ?
所以 f(x)在(2,+∞)是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0.

综上,a 的取值范围是 ? ? 21.

? 5 ? , ?? ? . ? 4 ?

a 2 ? b2 c ? 9 ,故 b2=8a2. (1)解:由题设知 ? 3 ,即 2 a a
所以 C 的方程为 8x -y =8a . 将 y=2 代入上式,并求得 x ? ? a ?
2
2 2 2

1 . 2

1 ? 6 ,解得 a2=1. 2 所以 a=1, b ? 2 2 .
由题设知, 2 a ?
2

(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x -y =8.① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2 ,代入①并化简得(k -8)x -6k x+9k +8= 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2 2 2

2

2

x1≤-1,x2≥1,x1+x2=
2

6k 2 9k 2 ? 8 , x . 1·x2= k2 ?8 k2 ?8
2

于是|AF1|= ? x1 ? 3? ? y1 = ? x1 ? 3? ? 8 x1 ? 8
2 2

=-(3x1+1), |BF1|= ? x2 ? 3? ? y2
2 2

= ? x2 ? 3? ? 8 x2 ? 8
2 2

=3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,

2 . 3 6k 2 2 ?? , 故 2 k ?8 3 4 19 2 解得 k ? ,从而 x1·x2= ? . 5 9
即 x1+x2= ? 由于|AF2|= ? x1 ? 3? ? y1
2 2

= ? x1 ? 3? ? 8 x1 ? 8
2 2

=1-3x1, |BF2|= ? x2 ? 3? ? y2
2
2 2

2

= ? x2 ? 3? ? 8 x2 ? 8 =3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 2 因而|AF2|·|BF2|=|AB| ,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.


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