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专题04 大题好拿分(提升版)-2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题(江苏版)(必修2)

2017-2018 学年度下学期高一数学期末备考总动员 大题好拿分【基础版】必修 2

1.已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点, F、G 分别是 CB、CD 上的点,且



(1)求证:四边形 (2)若 ,求梯形

是梯形; 的中位线的长.

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】分析: (1)首先根据三角的中位线定理得到 且 ,从而 ,且 ,且 ,根据三角形相似得到 ,

成立,即可得结论; (2)根据梯形中位线的长度等于上底和下底

之和的一半可得结果.

(2)由(1)知 从而,梯形

, 的中位线的长为 .

点睛:本题考查直线与直线平行的判定,梯形中位线的长度,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 2. 已知空间四边形 ABCD, E、 H 分别是 AB、 AD 的中点, F、 G 分别是 CB、 CD 上的点, 且
1

CF CG ? ? 2. FB GD

(1)求证:四边形 EFGH 是梯形; (2)若 BD ? a ,求梯形 EFGH 的中位线的长. 【答案】 (1)见解析; (2)

7 a 12 1 BD ,根据三角形相似得到 2

【解析】分析: (1)首先根据三角的中位线定理得到 EH / / BD ,且 EH ?

FG / / BD ,且 FG ?

2 2 BD ,从而 FG / / BD ,且 FG ? BD 成立,即可得结论; (2)根据梯形中位线 3 3

的长度等于上底和下底之和的一半可得结果.

1 2 a , FG ? a 2 3 EH ? FG 7 ? a. 从而,梯形 EFGH 的中位线的长为 2 12
(2)由(1)知 EH ? 点睛:本题考查直线与直线平行的判定,梯形中位线的长度,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 3.在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点, =2 =2. ; ∥平面 ;

(1)求证: (2)求证:

2

【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】 分析: (1) 取 PC 中点 F, 利用等腰三角形的性质可得 PC⊥AF, 先证明 CD⊥平面 PAC, 可得 CD⊥PC, 从而 EF⊥PC,故有 PC⊥平面 AEF,进而证得 PC⊥AE. (2) 取 AD 中点 M, 利用三角形的中位线证明 EM∥平面 PAB, 利用同位角相等证明 MC∥AB, 得到平面 EMC∥ 平面 PAB,证得 EC∥平面 PAB.

∴ ∴ ∴ ∴PC⊥ . .

,∴





(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA.∵EM 平面 PAB,PA 平面 PAB,

∴EM∥平面 PAB. 在 Rt△ ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC 平面 PAB,AB 平面 PAB,

∴MC∥平面 PAB.

3

∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB.

点睛:点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 4.已知 分别为正方体 和 所成的角的大小. . 的棱 的中点.

(1)求异面直线 (2)求证:

【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】分析: (1) 根据异面直线所成角定义进行合理平移即可; ( 2 )要证 ,利用好四边形 详解: (1)因为 又因为 (2)法 1:因为 所以 , ,所以 为平行四边形,问题迎刃而解. 即为异面直线 和 所成的角 ,可转证

,所以两条异面直线所成的角为 分别为正方体 ,得到 ,且 的棱 , 的中点.

4

四边形 同理可证 又因为 法 2:因为 所以 同理可证 又因为 与

为平行四边形,所以 , ,所以 分别为正方体 , ,得到 , ,

,

,即证 的棱 四边形 的中点. 为平行四边形,所以

方向相同,



方向相同,所以

点睛:本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般.求异面直线所成角的步骤:1 平移,将两条异面直线 平移成相交直线.2 定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角.3 求角,在三角形中用余弦定理或正弦 定理或三角函数求角.4 结论. 5.四边形 ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 平面 ABCD , E 是 PC 的中点.

(1)求证: PA ∥平面 BDE ; (2)求证: BD ? PC . 【答案】 (1)见解析; (2)见解析. 【解析】试题分析: (1)要证 PA 与平面 EBD 平行,而过 PA 的平面 PAC 与平面 EBD 的交线为 EO,因此只要 证 PA∥EO 即可,这可由中位线定理得证; (2)要证 BD ? PC ,就是要证 BD ? 平面 PAC 。

5

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 6 .如图,在三棱锥 A ? BCD 中,平面 ABD ? 平面 BCD , BC ? BD ? DC ? 4 , ?BAD ? 90? ,

AB ? AD .

(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)在平面 ABC 内经过点 B ,画一条直线 l ,使 l ? CD ,请写出作法,并说明理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析: (1)取 BD 的中点 M ,连接 AM ,因为 AB ? AD ,所以 AM ? BD ,由面面垂直 的性质可得 AM ? 平面 BCD ,求出 AM 的值,利用三角形面积公式求出底面积,从而根据棱锥的条件公 式可得三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)在平面 BCD 中,过点 B 作 BH ? CD ,交 CD 于点 H , 在平面 ACD 中,过点 H 作 HG ? CD ,交 AC 于点 G ,连结 BG ,则直线 BG 就是所求的直线 l ,根据 作法,利用线面垂直的判定定理与性质可证明.

6

因为 BC ? BD ? DC ? 4 ,所以 ?BCD 的面积 S ? 所以三棱锥 A ? BCD 的体积 V ?

3 2 ?4 ? 4 3 , 4

1 8 S ? AM ? 3. 3 3

7.已知正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' , M 是 BC 的中点.

7

求证: (1) A ' B / / 平面 AMC ' ; (2)平面 AMC ' ? 平面 BCC ' B ' . 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析: (1)连接 A ' C ,交 AC ' 于点 O ,连结 OM ,由棱柱的性质可得点 O 是 AC ' 的中点, 根据三角形中位线定理可得 OM / / A ' B ,利用线面平行的判定定理可得 A ' B / / 平面 AMC ' ; (2)由正棱 柱的性质可得 CC ' ? 平面 ABC ,于是 CC ' ? AM ,再由正三角形的性质可得 BC ? AM ,根据线面垂 直的判定定理可得 AM ? 平面 BCC ' B ' ,从而根据面面垂直的判定定理可得结论. 试题解析: (1)连接 A ' C ,交 AC ' 于点 O ,连结 OM , 因为正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' , 所以侧面 ACC ' A ' 是平行四边形, 故点 O 是 AC ' 的中点, 又因为 M 是 BC 的中点, 所以 OM / / A ' B , 又因为 A ' B ? 平面 AMC ' , OM ? 平面 AMC ' , 所以 A ' B / / 平面 AMC ' .

8

所以平面 AMC ' ? 平面 BCC ' B ' .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明,属于中档题.证明线面平行 的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行 的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式 证明两直线平行.②利用面面平行的性质, 即两平面平行, 在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题 (1) 是就是利用方法①证明的. 8.已知圆 (1)求证:直线 过定点; (2)求直线 被圆 所截得的弦长最短时 的值; (3)已知点 都有 ,在直线 MC 上(C 为圆心) ,存在定点 N(异于点 M) ,满足:对于圆 C 上任一点 P, ,直线

为一常数,试求所有满足条件的点 N 的坐标及该常数.

【答案】 (1)直线 过定点 (3)在直线 上存在定点

(2) ,使得 为常数

9

详解: (Ⅰ)依题意得, 令 且 ,得

直线 过定点 (Ⅱ)当 时,所截得弦长最短,由题知 ,

,得







上式对任意 解得

恒成立, ,说以 上存在定点

且 (舍去,与 重合) ,

综上可知,在直线

,使得

为常数

点睛:过定点的直线系 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0 表示通过两直线 l1∶A1x+B1y+C1=0 与 l2∶A2x +B2y+C2=0 交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。 9.已知圆 : (1)直线 过点 . ,被圆 截得的弦长为 ,求直线 的方程; ,若以 为直径的圆过原点,求直线 的方程.

(2)直线 的的斜率为 1,且 被圆 截得弦 【答案】 (1) (2)

【解析】分析: (1)确定圆心坐标与半径,对斜率分类讨论,利用直线 l1 圆 C 截得的弦长为 4

,即可求

10

直线 l1 的方程; (2)设直线 l2 的方程为 y=x+b,代入圆 C 的方程,利用韦达定理,结合以 AB 为直径的圆过原点,即可求 直线 l2 的方程 详解:圆 C: (1)因直线 过点 ①当直线斜率不存在时 此时 被圆 截得的弦长为 ∴ : ②当直线斜率存在时 可设 方程为 即 : ,圆心 半径为 3,

由 被圆 截得的弦长为

,则圆心 C 到 的距离为



解得

∴ 方程为 由上可知 方程为:

即 或

由(*)

式得 ∴ 将 或 即 代入(*)方程,对应的△ >0. ,∴ 或

11

故直线 :





点睛:点睛:本题主要考查了直线与圆相切,直线与圆相交,属于基础题;当直线与圆相切时,其性质圆 心到直线的距离等于半径是解题的关键,当直线与圆相交时,弦长问题属常见的问题,最常用的手法是弦 心距,弦长一半,圆的半径构成直角三角形,运用勾股定理解题. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A ? 4,5? , B ? 5, 2? , C ? ?3,6 ? 在圆上. (1)求圆 M 的方程; (2)过点 D ? 3,1? 的直线 l 交圆 M 于 E , F 两点. ①若弦长 EF ? 8 ,求直线 l 的方程; ②分别过点 E , F 作圆 M 的切线,交于点 P ,判断点 P 在何种图形上运动,并说明理由. 【答案】 (1) x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 (2) 3x ? y ? 23 ? 0 【解析】 试题分析: (1) 设圆的方程为: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 将点 A ? 4,5? , B ? 5, 2? , C ? ?3,6 ? 分别代入圆方程列方程组可解得 D ? 0 , E ? ?4 , F ? ?21 ,从而可得圆 M 的方程; (2)①由(1)
2 得圆的标准方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 25 ,讨论两种情况,当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,则 l 的方程为 2

y ?1 ? k ? x ? 3? ,由弦长 EF ? 8 ,根据点到直线距离公式列方程求得 k ?

4 ,从而可得直线 l 的方程; 3

② P ? a, b? ,利用两圆公共弦方程求出切点弦方程,将 D ? 3,1? 代入切点弦方程,即可得结果.

4 2 ? 52 ? 4 D ? 5 E ? F ? 0 2 2 2 2 试题解析: (1) 设圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 由题意可得 { 5 ? 2 ? 5 D ? 2 E ? F ? 0

? ?3?

2

? 6 2 ? 3D ? 6 E ? F ? 0

2 2 解得 D ? 0 , E ? ?4 , F ? ?21 ,故圆 M 的方程为 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 .

12

②设 P ? a, b? ,则切线长 PE ?

PM 2 ? 52 ?

? a ? 0? ? ? 2 ? b ?
2
2 2

2

? 25 ? a 2 ? b2 ? 4b ? 21 ,

2 2 故以 P 为圆心, PE 为半径的圆的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? b ? 4b ? 21 ,

化简得圆 P 的方程为: x2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? 4b ? 21 ? 0 ,① 又因为 M 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 ,② ② ? ①化简得直线 EF 的方程为 ax ? ?b ? 2? y ? 2b ? 21 ? 0 , 将 D ? 3,1? 代入得: 3a ? b ? 23 ? 0 , 故点 P 在直线 3x ? y ? 23 ? 0 上运动. 11.已知 ?ABC 的一条内角平分线 AD 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,其中 B ? 6, ?1? , C ? 3,8? . (1)求顶点 A 的坐标; (2)求 ?ABC 的面积. 【答案】 (1)点 A 的坐标为 ?1, ?2? . (2)24 【解析】试题分析: (1)先根据中点坐标公式以及直线垂直斜率的积等于 ?1 列方程组求出点 B ? 6, ?1? 关 于直线 AD 的对称点 B ' 的坐标,根据两点式或点斜式可得直线 AC 的方程,与角平分线 AD 的方程联立 可得顶点 A 的坐标; (2)根据两点间的距离公式可得 AC 的值,再利用点到直线距离公式可得 B ? 6, ?1? 到 直线 AC : 5x ? y ? 7 ? 0 的距离,由三角形面积公式可得结果.

13

(2) AC ?

?1 ? 3? ? ? ?2 ? 8?
2

2

? 104 ,
5 ? 6 ? ? ?1? ? 7 52 ? ? ?1?
2

B ? 6, ?1? 到直线 AC : 5x ? y ? 7 ? 0 的距离 d ?
故 ?ABC 的面积为 S ?

?

24 , 26

1 AC ? d ? 24 . 2

12.设点 A ? ?1 上. 1 x>0) , ?1? , ?ABC 是正三角形,且点 B、C 在曲线 xy ?( (1)证明:点 B、C 关于直线 y ? x 对称; (2)求 ?ABC 的周长. 【答案】 (1)见解析(2) ?ABC 的周长为 6 6 .

B ? A C 【解析】 试题分析: (1) 即证 xB xC ? 1 , 由A
2 化简得 m ? 2m ? 8 ? 0 ,其中 x ?

, 可化简得证 (2) 设 B ? x,

? ?

1? ?1 ? B B ? C 则C ? , x?. 由A ?, x? ?x ?

1 ? m ,解得 m ? 4 ,反代即得 BC ? 2 6 , ?ABC 的周长为 6 6 . x 1 (x, ) 试题解析:(1)证明:设 xy ?( 上一点为 , 1 x>0) x

?1 ? ?1 ? ?1 ? 则其与点 A 的距离 d 满足 d ? ? x ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 1? . ?x ? ?x ? ?x ?
2 2

2

2

由 AB ? AC ,知 xB ?

? 1 1 1 ,化简得 xB xC ? 1 ,所以 B ? xB , ? xC ? xB xC xB ?

? ? 1 ? ? , C ? , xB ? , ? ? xB ?

点 B、C 关于直线 y ? x 对称.

14

13.已知圆 M: (1)求 的值; (2)求圆 M 在 轴上截得的弦长; (3)若点 是直线 积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)

与 轴相切.

上的动点,过点 作直线

与圆 M 相切,

为切点,求四边形



【解析】试题分析:(1)先将圆的一般方程化成标准方程,利用直线和圆相切进行求解;(2) 令

,得到

关于 的一元二次方程进行求解;(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解. 试题解析:(1) ∴ (2) 令 ∴ ,则 ∴ ∴ ∵圆 M: 与 轴相切

(3) ∵ ∴ ∴四边形 14.已知圆 过 (1)求圆 的方程; (2)如果圆 和圆 相外切,求实数 的值. 【答案】 (1) (2) 的最小值等于点 到直线 ∴ 面积的最小值为 . 三点,圆 . 的距离,

15

【解析】试题分析: (1)设圆一般方程 (2)先化圆的标准方程,再由两圆外切得

,代入三点坐标,解方程组可得 ,解方程可得实数 的值.



(2)圆 的方程即 圆 所以圆心 ,半径为 2. 即

,所以圆心 ,

,半径为 5,

因为圆 和圆 外切,所以 解得 .
2

,所以



15.已知直线 x-2y+2=0 与圆 C:x +y -4y+m=0 相交,截得的弦长为 (1) 求圆 C 的方程;

2

.

(2) 过原点 O 作圆 C 的两条切线,与抛物线 y=x 相交于 M,N 两点(异于原点).求证:直线 MN 与圆 C 相 切. 【答案】(1) x +(y-2) =1.(2) 见解析. 【解析】试题分析: (1)利用弦长公式求得 r=1,则圆的方程为 x +(y-2) =1 (2)利用题意求得圆心到直线的距离等于半径,则直线与圆相切. 试题解析: (1) 解:∵ C(0,2),∴ 圆心 C 到直线 x-2y+2=0 的距离为 d= ∵ 截得的弦长为 ,
16
2 2 2 2

2

= .

∴ r=

2



=1,
2 2

∴ 圆 C 的方程为 x +(y-2) =1.

16.直线 l 经过点 P(5,5),且和圆 C:x2+y2=25 相交,截得的弦长为 4 【答案】 【解析】试题分析:设直线点斜式方程: ,根据垂径定理列方程:

,求 l 的方程.

,利用点

到直线距离公式得 题意

,代入解得

的值,即得直线方程,注意讨论斜率不存在的情况是否满足

试题解析:由题意易知直线 的斜率k存在,设直线 的方程为

由题意知,圆 C:

的圆心为(0,0),半径为 5,圆心到直线 的距离



中,



解得

所以 的方程为
点睛:直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法: 运用根与系数的关系及弦长公式: 处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. 17.求圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2)的圆的方程. (2)圆的切线问题的

17

【答案】

点 睛:确定圆的方程方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心 的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D、E、F 的方程组, 进而求出 D、E、F 的值. 18. (1)过点 P ? 0,1? 作直线 l 使它被直线 l1 : 2x ? y ? 8 ? 0 和 l2 : x ? 3 y ? 10 ? 0 截得的线段被点 P 平分, 求直线 l 的方程; (2)光线沿直线 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 射入,遇直线 l : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 后反射,求反射光线所在的直线方程. 【答案】 (1) x ? 4 y ? 4 ? 0 ; (2) 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 . 【解析】 试题分析: (1)设 l1 与 l 的交点为 A ? a,8 ? 2a ? ,则根据点 A 关于点 P 的对称点 B ? ?a,2a ? 6? 在 l2 上,求 得 a 的值,再根据点 A 和 P 的坐标求出直线 l 的方程; (2)先求得反射点 M 的坐标,在直线 l1 上取一点 和半径 有关, 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组, 从而求出

P ? ?5, 0? ,设 P 关于直线 l 的对称点 P? ? x0 , y0 ? ,求得 P? ? x0 , y0 ? ,再利用直线的两点式方程可得所求反
射光线所在直线的方程. 试题解析: (1)设 l1 与 l 的交点为 A ? a,8 ? 2a ? ,则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B ? ?a,2a ? 6? 在 l2 上,代入 l2 的方程得 ?a ? 3? 2a ? 6? ? 10 ? 0 ,∴ a ? 4 ,即点 A? 4,0? 在直线 l 上,所以直线 l 的方程为

x ? 4y ? 4 ? 0 .
18

y0 2 ? 17 ? ?? x0 ? ? ? ? x0 ? 5 3 ? ? 13 由? 得? , 32 3 ? ? ? x ? 5? ? y ? 7 ? 0 y0 ? ? 0 0 ? ? 13 ? ?2
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29 x ? 2 y ? 33 ? 0 .

考点:直线的方程. 19.求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍. 【答案】(1)2x-3y=0 或 x+y-5=0.(2)3x+4y+15=0. 【解析】试题分析: (1)当横截距 a ? 0 时,纵截距 b ? 0 ,此时直线过点 ? 0,0? , P ?3,2? ,可得直线方程; 当横截距 a ? 0 时,纵截距 b ? a ,此时直线方程设为 x ? y ? a ,把 P ? 3, 2? 代入,解得 a ? 5 ,由此能 求出过点 P ? 3, 2? 且在两坐标上的截距相等的直线方程; (2)先假设直线 y ? 3x 的倾斜角是 A ,进而根 据直线倾斜角与斜率之间的关系得到 tanA ? 3 ,然后根据正切函数的二倍角公式求出所求直线的斜率,最 后根据点斜式方程得到答案.

19

综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 方法二由题意知,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0,设直线方程为 y-2=k(x-3),

令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k,

由已知 3- =2-3k,

解得 k=-1 或 k= ,

∴直线 l 的 方程为:y-2=-(x-3)或 y-2= 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α , 则所求直线的倾斜角为 2α .

(x-3),

∵tan α =3,∴tan 2α = 又直线经过点 A(-1,-3),

=- .

因此所求直线方程为 y+3=- 即 3x+4y+15=0. 20. 如图, 已知 到直线 、 、

(x+1),

是两条公路 (近似看成两条直线) , 的距离分别为 、 , =6 千米,
20

, 在

内有一纪念塔 (大小忽略不计) ,

=12 千米.现经过纪念塔 修建一条直线型小

路,与两条公路



分别交于点 、 .

(1)求纪念塔 到两条公路交点 处的距离; (2)若纪念塔 为小路 的中点,求小路 的长.

【答案】 (1) 到点 处的距离为

千米; (2)小路

的长为 24 千米.

又 到直线 所以

的距离

=6 千米,设 或

, (舍负) ,所以 ,所以 , , . 7分

,解得

(2)因 为小路 又点 在 由(1)知

的中点,点 在 轴上,即 ,所以 , .

上,所以 ,所以

答: (1) 到点 处的距离为 解法二: (1)设 因 到直线 、 ,则 的距离分别为

千米; (2)小路 , 、 ,

的长为 24 千米.

=6 千米,

=12 千米,

21

所以 所以 又

, ,化简得 ,所以 , , .

答: (1) 到点 处的距离为

千米; (2)小路

的长为 24 千米.

22


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