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高等数学课件D110闭区间上连续函数的性质_图文

节 章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性

一、最值定理

定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大

值和最小值.

即: 设 f (x) ? C [ a , b ] , 则 ? ?1 ,?2 ?[ a , b ] , 使

f

(?1 )

?

min
a? x?b

f

(x)

y y ? f (x)

f (?2 ) ? max f (x) a? x?b (证明略)

O a ?1 ?2 b x

注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断

点 , 结论不一定成立 .

例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值

y 1

O

1x

y 2

1

O 1 2x

推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.

证: 设

由定理 1 可知有

M ? max f (x) , m ? min f (x) y

x?[ a ,b ]

x?[ a ,b ]

M

y ? f (x)

上有界 .
二、介值定理

定理2. ( 零点定理 )



至少有一点

使

( 证明略 )

m
O a ?1 ?2 b x
y y ? f (x) a
O ? bx

定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x) ? C [ a , b ] , 且 f (a) ? A,

f (b) ? B , A ? B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有

一点

使

证: 作辅助函数
?(x) ? f (x) ? C 则? (x) ? C [ a , b ] , 且

? (a) ? (b) ? ( A ? C)(B ? C)

y y ? f (x) B C A
O a ? bx

故由零点定理知, 至少有一点

使



推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与

最大值之间的任何值 .

例. 证明方程 一个根 .
证: 显然

在区间

内至少有



故据零点定理, 至少存在一点

使



说明:

x

?

1 2

,

f

( 12 )

?

1 8

? 0,

?

二分法
?

则(12 ,1) 内必有方程的根 ;



的中点

x

?

3 4

,

f

(43) ? 0 ,

O

1 3 1x
2 ?4 ?



(12 ,

3 4

)

内必有方程的根

;

?

可用此法求近似根.



证明

正根 . 证: 令

显然

至少有一个不超过 4 的 且

根据零点定理 , 在开区间

内至少存在一点

原命题得证 .

内容小结

在 在 在 4. 当

上有界; 上达到最大值与最小值;

上可取最大与最小值之间的任何值;

时, 必存在

使

思考与练习

1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它

一刀剪为面积相等的两片.

y

提示: 建立坐标系如图.
则面积函数 S (? ) ? C[? , ? ] 因 S (? ) ? 0, S (? ) ? A

S (? )

??

O?

x

故由介值定理可知:

?? 0

? (?

,

?

),

使

S (?0 )

?

A. 2

2. 设

一点

使

提示: 令



易证

证明至少存在

作业
P74 (习题1-10) 2 ; 3; [5]


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