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高中数学 1.1.3集合的基本运算教案 新人教A版必修1


1.1.3 集合的基本运算
学习目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握两个较简单集合的交集、并集的求法; (3)通过对交集、并集概念的讲解,培养学生观察、比较、分析、概括、等能力,使 学生认识由具体到抽象的思维过程; (4)通过对集合符号语言的学习,培养学生符号表达能力,培养严谨的学习作风,养 成良好的学习习惯。 教学重点:交集和并集的概念 教学难点:交集和并集的概念、符号之间的区别与联系 合作探究展示: 一、 问题衔接 我们知道两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算, 两个集合是否也可以“相加”呢? 思考(P8 思考题) ,引入并集概念。 二、新课教学 1. 并集 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集 (Union) 记作:A∪B 读作: 并 B” “A 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} Venn 图表示: A B

?
A∪B ∪ 说明: 两个集合求并集, 结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重 复元素只看成一个元素) 。 例题(P8-9 例 4、例 5) 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还 应是我们所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 2. 交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。 记作:A∩B 读作: 交 B” “A 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

1

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 例题(P9-10 例 6、例 7) 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 B A B B A(B) A A B A 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交 集 3. 探索研究 A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A 三、归纳小结(略) 四、作业布置 书面作业:P12 习题 1.1,第 6-8 题 拓展提高: 题型一 已知集合的交集、并集求参数问题 例1
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已知集合 A = a 2 , a + 1, ?3 , B = a ? 3, 2a ? 1, a 2 + 1 ,若 A I B = {?3} ,
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{

}

{
2

}

求实数 a 的值

解:∵ A I B = {?3} ,∴ ?3 ∈ B ,而 a + 1 ≠ ?3 , ∴当 a ? 3 = ?3, a = 0, A = {0,1, ?3} , B = {?3, ?1,1} , 这样 A I B = {?3,1} 与 A I B = {?3} 矛盾; 当 2a ? 1 = ?3, a = ?1, 符合 A I B = {?3} ∴ a = ?1 练习 1 已知集合 A = ? 4,2a ? 1, a 2 , B = {a ? 5,1 ? a,9}, 若 A ∩ B = {9}, 求 a 的值 答案 a=-3 例 2.已知 A = x 2a ≤ x ≤ a + 3 , B = x x < ?1或x > 5 , 若 A ∩ B = φ , 求 a 的取值范 围. 解(1)若 A = φ ,由A ∩ B = φ , 此时 2 a > a + 3 ∴ a > 3
2

{

}

{

}

{

}

A ≠ φ ,由A ∩ B = φ ,
(2)若

? 2 a ≥ ?1 1 ? ∴ ?a + 3 ≤ 5 解得 ? ≤ a ≤ 2 2 ?2 a ≤ a + 3 ?
? ? ? 1 ≤ a ≤ 2或a > 3?. 2 ?

综上所述, a 的取值范围是 ?a ?

练习 2 上题中若 A ∪ B = R, 求a的取值范围 。 答案 :不存在 题型二 交集、并集性质的运用 例 3 设 A = {x x + 4 x = 0}, B = {x x + 2( a + 1) x + a ? 1 = 0} ,其中 x ∈ R ,
2 2 2

如果 A I B = B ,求实数 a 的取值范围

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解:由 A I B = B得B ? A ,而 A = {?4, 0} , ? = 4( a + 1) 2 ? 4( a 2 ? 1) = 8a + 8 当 ? = 8a + 8 < 0 ,即 a < ?1 时, B = φ ,符合 B ? A ; 当 ? = 8a + 8 = 0 ,即 a = ?1 时, B = {0} ,符合 B ? A ; 当 ? = 8a + 8 > 0 ,即 a > ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A = {?4, 0} ; ∴ B = {?4, 0} 得 a = 1 ∴ a = 1或a ≤ ?1
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练习 3 设集合 A = x x 2 ? 3 x + 2 = 0 , B = x x 2 ? 4 x + a = 0 , 若A ∪ B = A, 求实数 a 的取值 范围. 答案: a ≥ 4 随堂检验: 1.满足 { }∪ A = { ,5} 1 1 的集合A的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( B )

{

}

{

}

2.已知集合 A = x x ∈ N , X ≤ 4 , B = x x ∈ N , x > 1 , 那么 A ∩ B 等于 (A) { ,2,3,4} 1 (B) {2,3,4} (C) {2,3}

{

}

{

}

( B )

(D) x 1 < x ≤ 4, x ∈ R

{

}

3.已知集合 M = y y = ? x 2 + 2, x ∈ R , N = y y = ? x + 2, x ∈ R , 那么 M ∩ N = ( D ) (A)(0,2)(1,1) (B) {(0,2)(1,1)} (C) { ,2} 1 (D) y y ≤ 2

{

}

{

}

{

} { }
3

4.已知集合 A = x ? 1 ≤ x < 2 , B = x x ≥ a 若A ∩ B ≠ φ , 则实数a的集合为 a a < 2

{

}

{

}

5.已 知 集 合 A = x x < 1或x > 5 , B = x a ≤ x ≤ b , 且A ∪ B = R, A ∩ B = {5 < x ≤ 6}, 则

{

}

{

}

2a ? b =

-4

6.已知集合 A = x ? 2 ≤ x ≤ 5 , B = x 2m ? 1 ≤ x ≤ 2m + 1 , 若 A ∪ B = A, 求实数 m 的取值范围

{

}

{

}

?

1 ≤m≤2x 2

4


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