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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 第三章 章末复习课

第三章

章末复习课

学案编号:GEXX2-1T3-zmfxk

题型一 空间向量及其运算 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算.空间 向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致. 例 1 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,S 到 A、B、C、D 的距离都等于 2.给出以下结论: → → → → → → → → → → → → ①SA+SB+SC+SD=0; ②SA+SB-SC-SD=0; ③SA-SB+SC-SD=0; →→ → → →→ ④SA· SB=SC· SD;⑤SA· SC=0,其中正确结论的序号是________. 跟踪 1 如图,四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形,AB=4, AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60° ,求 AC1 的长.

题型二 利用空间向量证明空间中的位置关系 向量作为工具来研究几何,真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合;给立体几何的研 究带来了极大的便利,利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系,如线面平 行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下. 1.线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 2.线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,则 a⊥b?a· b=0. 3.线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量用直线的方向向量线性表示. 4.线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量平 行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. 5.面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行 问题.

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6.面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题. 例 2 如图,已知在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1; (2)BC1∥平面 CA1D.

跟踪 2 如图, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C⊥底面 ABC, AA1 =A1C=AC=2,AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 AC 的中点. (1)证明:A1O⊥平面 ABC; (2)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (3)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理 由;若存在,确定点 E 的位置. 题型三 利用空间向量求空间角 1.求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为 n1、n2,那么这两条异面直线所成的角为 θ= 〈n1,n2〉或 θ=π-〈n1,n2〉 ,∴cos θ=|cos〈n1,n2〉|. 2.求二面角的大小 如图,设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或 其补角)就等于平面 α、β 所成的锐二面角 θ,所以 cos θ=|cos〈n1,n2〉|. 3.求斜线与平面所成的角 如图,设平面 α 的法向量为 n1,斜线 OA 的方向向量为 n2,斜线 OA 与平面所 成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈n1,n2〉|. 例 3 如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,M 是 CE 与 AD 的交点,AC⊥BC, 且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小; (3)求二面角 A—EB—C 的大小.

跟踪 3 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1B1. (1)证明:AB=AC; (2)设二面角 A—BD—C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小. 【课堂小结】空间向量的引入拓展了解决立体几何问题的思路,我们可以通 过建立合理的空间直角坐标系,直接利用空间向量的坐标运算进行求解,这也是空间几何体 数字化的一个特征. 章末检测 一、选择题 1.对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中真命题是 ( )

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A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b

B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 D.若 a· b=a· c,则 b=c )

2.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则( A.α⊥β B.α∥β C.α 与 β 相交但不垂直 D.以上都不对 )

3.已知向量 a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则 a 与 b 的夹角为 ( A.0° B.45° C.90° D.180°

→ → → 4.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知AB=a,AD=b,AA1=c,则用向量 a,b, → c 可表示向量BD1等于 ( )A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c

5.若平面 α 的法向量为 n,直线 l 的方向向量为 a,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ,则下列关系 式成立的是 ( n· a )A.cos θ= |n||a| |n· a| B.cos θ= |n||a| |n· a| n· a C.sin θ= D.sin θ= |n||a| |n||a|

→ → → → → → 6.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB· AC=0,AC· AD=0,AB· AD=0,则△BCD 是 ( )A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 ( )

7.在以下命题中,不 正确的个数为 .

①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②对 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb; → → → → ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若OP=2OA-2OB-OC,则 P,A,B,C 四 点共面;④|(a· b)· c|=|a|· |b|· |c|. A.2 B.3 C.4 D.1

8.已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC, PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是 → → A.PC与BD → → B.DA与PB → → C.PD与AB ( )

→ → D.PA与CD

9. 设 E, F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点, 在正方体的 12 条面对角线中, 与截面 A1ECF 成 60° 角的对角线的数目是 ( )A.0 B.2 C.4 D.6

10.如图,AB=AC=BD=1,AB?面 M,AC⊥面 M,BD⊥AB,BD 与 面 M 成 30° 角,则 C、D 间的距离为 ( )A.1 B.2 C. 2 D. 3

11.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC、AD 的中 → → 点,则AE· AF的值为 ( ),A.a2 1 B. a2 2 1 C. a2 4 D. 3 2 a 4

12.如图所示, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC =90° ,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 的夹角是 ( A.45° B.60° 二、填空题 → → → → 13. 已知 P 和不共线三点 A, B, C 四点共面且对于空间任一点 O, 都有OP=2OA+OB+λOC, 则 λ=________. C.90° D.120° )

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14.已知 A(2,1,0),点 B 在平面 xOz 内,若直线 AB 的方向向量是(3,-1,2) 则点 B 的坐标是________. 15.平面 α 的法向量为 m=(1,0,-1),平面 β 的法向量为 n=(0,-1,1), 则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为______. π? 16.如图所示,已知二面角 α—l—β 的平面角为 θ (θ∈? ?0,2?),AB⊥BC,BC⊥CD,AB 在平面 N 内,BC 在 l 上,CD 在平面 M 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为________. 三、解答题 17.已知四棱锥 P—ABCD 的底面是平行四边形,如图,M 是 PC 的中点, → → → 问向量PA、MB、MD是否可以组成一个基底,并说明理由. 18.如图所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1D1, 1 AB 的中点,E 在 AA1 上且 AE=2EA1,F 在 CC1 上且 CF= FC1, 2 试证明 ME∥NF. 19.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上一 点,CP=m.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60° . 20.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. 证明:PC⊥平面 BEF. 21.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3的菱形,∠BAD= 120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角余弦值. 22.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

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