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江苏省宿迁市马陵中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案


(本试卷共 4 页,满分 160 分,考试时间 120 分钟. ) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上 . ) .......... 1.已知 A ? {x | ?4 ? x ? 4}, B ? {0, 2, 4,6} ,则 A 2.函数 f ( x ) ?

B=
. ▲ .



.

x?

1 的定义域为 x ?1



3.函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x, x ?[?1,3] 的值域为

4.已知幂函数 f ( x)=x? (?为常数) 的图象过点 (2,8) ,则 f (3) ? 5.若函数 f ( x) ? kx2 ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则该函数的递减区间是 6.已知 a ? log3 2 ,那么将 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示的结果是 ▲



. ▲ .

.

7.如果函数 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 ▲. 8.已知函数 f ( x) ? 2x 9.若 x ? A ,则
2

?1

( x ? R) ,且对于任意的 x 恒有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 x0 ?



.

1 1 ? ? ? A ,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,2,1,2,3?的所有 ? ? x
▲ . ▲ .
3

非空子集中,是伙伴关系集合的个数为

10.函数 f (x) ? x x ? x +2 在[ ? 2013,2013]上的最大值与最小值之和为

?1 , x?0 ? ?x 11.若函数 f ( x ) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为 3



.

) ( 2 ? , 12. 如果如果 f (a ? b) ? f (a) f (b) , 且 f1 则
▲ .

f (2) f (4) f (6) f (2014) ? ? +…+ = f (1) f (3) f (5) f (2013)

?3x ( x ? A) ? 13.已知 A ? {x 0 ? x ? 1} , B ? {x 1 ? x ? 3} ,函数 f ( x) ? ? 9 3 , ? x ( x ? B ) ? ?2 2
若 t ? A 时 f ( f (t )) ? A 成立,则实数 t 的取值范围为 ▲ .

14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?

x ,若存在 x ?[t 2 ?1, t ] ,

使不等式 f (2 x ? t ) ? 2 f ( x) 成立,则实数 t 的取值范围是





二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将 每题解答过程写在答题卡相应的区域内. ) 15. (本大题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 (Ⅰ)设集合 A ? {x | f ( x) ? 7} ,集合 B ? {x | g ( x) ? 4} ,求 A

B;

(Ⅱ)设集合 C ? {x | f ( x) ? a} ,集合 D ? {x | g ( x) ? 4} ,若 D ? C ,求 a 的取值范围.



17. (本大题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) 满足 f (?1) ? f (3) ? 3, f (1) ? ?1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [a ? 1, a ? 1] 上有最小值 ?1 ,最大值 f (a ? 1) ,求 a 的取值范围.

18. (本大题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ?

2 . 5 ?1
x

(Ⅰ)证明: f ( x ) 是 R 上的增函数; (Ⅱ)当 x ? [?1, 2) 时,求函数 f ( x ) 的值域.

19. (本小题满分 16 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中.为了治污,根据环保部门

的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放

a(1? a ? 4,且 a ? R) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (天)变化

? 16 ? 1(0 ? x ? 4) ? ?8 ? x 的函数关系式近似为 y ? a ? f ( x) , 其中 f ( x) ? ? . 若多次投放 , 则某一 ?5 ? 1 x(4 ? x ? 10) ? ? 2
时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和 .根据经验,当水中药 剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中 能够持续有效治污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4).

20. (本大题满分 16 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足下列条件: ① f ( x) 在 D 内具有单调性; ②存在区间[ a, b ] ? D ,使 f ( x) 在[ a, b ]上的值域为[ a, b ]; 那么称 y ? f ( x) ( x ? D )为闭函数. (Ⅰ)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间[ a, b ];
3

(Ⅱ)判断函数 f ( x) ? (Ⅲ)若函数 y ? k ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x
x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

2013-2014 学年度第一学期期中调研考试

高一数学参考答案

二、解答题
15、解(Ⅰ)

A ? ?3? , B ? ??1,3? ……………………………………………… 4分

? A ? B ? ?3? ……………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)

a ? 1? ? C ? ?x / x ? ? , D ? ?x / ?1 ? x ? 3? ……………………………… 10分 2 ? ?
a ?1 ?3 2

而D ?C

?

? a ? 7 ………………………………………………………………………… 14分
16、解(Ⅰ)原式 ? ?6ab …………………………………………………………… 6分 (Ⅱ) 2lg ? x ? 2 y ? ? lg x ? lg y 可转化为

?x ? 0 ?y ? 0 ? ,解之得: x ? 4 y …………………………………… 10分 ? ?x ? 2 y ? 0 2 ? ?( x ? 2 y ) ? xy

?

x ?4 y x ? log 2 4 ? 2 …………………………………………………… 14分 y

? log 2

2 17、解(Ⅰ)设 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,则

? f ( ?1) ? a ? b ? c ? 3 ? ? f (3) ? 9a ? 3b ? c ? 3 …………………………………………………… 2分 ? f (1) ? a ? b ? c ? ?1 ?
解之得: a ? 1, b ? ?2, c ? 0 …………………………………………………………… 4分

? f ( x) ? x2 ? 2x ……………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)根据题意:

?a ? 1 ? 1 ? a ? 1 ……………………………………………………… 10分 ? ?(a ? 1) ? 1 ? 1 ? (a ? 1)
解之得: 1 ? a ? 2

? a的取值范围为[1, 2] ………………………………………………………14分
18、解(Ⅰ)证明:在 R内任取x1 , x2 , 且设x1 ? x2

5x1 ? 1 5x2 ? 1 2(5x1 ? 5x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? 5 ? 1 5x2 ? 1 (5x1 ? 1)(5x2 ? 1)


x1 ? x2 ?5x1 ? 5x2

?5x1 ? 5x2 ? 0, 而5x1 ? 1 ? 0,5x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x)是R上的增函数 ……………………………………………………… 10分
(Ⅱ)

2 12 f (?1) ? ? , f (2) ? …………………………………………………… 12分 3 13

由(Ⅰ) (Ⅱ)可知:

2 12 f ( x)的值域为[? , ) …………………………………………………… 16分 3 13

? 64 ? 4(0 ? x ? 4) ? 19、解: (Ⅰ)因为 a ? 4 ,所以 y ? ? 8 ? x ………………………………2 分 ? ? 20 ? 2 x(4 ? x ? 10)
则当 0 ? x ? 4 时,由

64 ? 4 ? 4 ,解得 x ? 0 ,所以此时 0 ? x ? 4 …………… 4 分 8? x

当 4 ? x ? 10 时,由 20 ? 2 x ? 4 ,解得 x ? 8 ,所以此时 4 ? x ? 8 …………………6 分 综合,得 0 ? x ? 8 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天…… 8 分

(Ⅱ)当 6 ? x ? 10 时, y ? 2 ? (5 ?

1 16 x) ? a ( ? 1) ………………………10 分 2 8 ? ( x ? 6)

16a 16a ?a?4, ? a = (14 ? x) ? 14 ? x 14 ? x 16a ? a ? 4 ,而1 ? a ? 4 ,所以 4 a ?[4,8] , 设t ? 14 ? x ?[4,8] ,则 y ? t ? t
= 10 ? x ? 用定义证明出: t ? (4, 4 a )单调递减,t ? (4 a ,8)单调递增 故当且仅当 t ? 4 a 时, y 有最小值为 8 a ? a ? 4 …………………………14 分 令 8 a ? a ? 4 ? 4 ,解得 24 ? 16 2 ? a ? 4 , 所以 a 的最小值为 24 ? 16 2 ? 1.6 ……………………………………………16 分

?b ? ?a 3 ? ?a ? ?1 3 3 20、 解: (1)由题意, y ? ? x 在[ a, b ]上递减,则 ?a ? ?b 解得 ? ?b ? 1 ?b ? a ?
所以,所求的区间为[-1,1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)取 x1 ? 1, x 2 ? 10, 则 f ( x1 ) ?

7 76 ? ? f ( x2 ) , 4 10

即 f ( x) 不是 (0,??) 上的减函数。 取 x1 ?

1 1 3 3 , x2 ? , f ( x1 ) ? ? 10 ? ? 100 ? f ( x 2 ) , 10 100 40 400

即 f ( x) 不是 (0,??) 上的增函数, 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数。 . . . . . .12 分

? ?? ? 0 ? 9 当 k ? ?2 时,有 ? f (?2) ? 0 ,解得 ? ? k ? ?2 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 4 ? 2k ? 1 ? ? ?2 ? 2 ? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f (k ) ? 0 ,无解。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
综上所述, k ? (?

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 分 ,?2] . 4


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