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0《成才之路》高一数学(人教A版)必修课件: 单位圆中的三角函数线_图文

成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
三角函数

第一章
1.2 任意角的三角函数

第一章
1.2.1 单位圆中的三角函数线

课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

课前自主预习

温故知新 1.角α的终边经过P(2,3),则有( 2 13 A.sinα= 13 3 13 C.sinα= 13
[答案] C
[解析] sinα= 由三角函数的定义可知,r= 22+32 = 13 .∴

)

13 B.cosα= 2 2 D.tanα=3

3 3 13 = 13 ,故选C. 13

25π 2.sin 6 等于( 1 A.2 1 C.- 2
[答案] A

) 3 B. 2 3 D.- 2

[解析]

25π π π 1 由诱导公式(可知)sin 6 =sin(4π+6)=sin6=2.

3.在下列各式中填上适当的不等号: (1)sin759° 28′8″________0; (2)sin(-759° 23′8″)________0; 13 (3)tan(- 5 π)________0; 41 (4)cos π________0. 7
[答案] > < > >

[解析]

(1)由题可知759° 23′8″为第一象限角,∴

sin759° 23′8″>0; -759° 23′8″为第四象限角,sin(-759° 23′8″)<0,- 13 13π 41 41 5 π为第三象限角tan(- 5 )>0, 7 π为第四象限角cos 7 π>0.

4.若750° 角的终边上有一点(4,a),则a的值是_____.

[答案]

4 3 - 3

[解析]

∵tan750° =tan(360° ×2+30° )

3 a =tan30° = = . 3 4 3 4 3 ∴a= 3 ×(4)= 3 .

新课引入

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,上面挂在轮 边缘的是供乘客乘搭的座舱.乘客坐在摩天轮上慢慢往上 转,可以从高处俯瞰四周景色.假设摩天轮的中心离地面的 高度为h,它的直径为2R,逆时针方向匀速转动,转动一周需 360秒. 若你坐在座舱中,从水平位置向上开始转动,经过30秒 后,你离地面的高度为多少?

自主预习 认真阅读教材P15~17回答下列问题. 三角函数线 (1)有向线段:带有方向 的线段叫做有向线段. (2)定义:如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α 的终边交于点P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非 负半轴重合).

过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切 线交OP的延长线(或反向延长线)于T点,这样就有sinα= MP , cosα= OM ,tanα= AT .单位圆中的有向线段MP、OM、AT 分别叫做角α的 正弦 线、 余弦 线、 正切 线,统称为三角函 数线.

[破疑点]①三角函数线的位置:正弦线为α的终边与单位 圆的交点到x轴的垂直线段;余弦线在x轴上;正切线在过单位 圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中正弦线和余 弦线在单位圆内,正切线在单位圆外. ②三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位 圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向单位 圆与α的终边(或反向延长线)的交点.

③三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴正方向或y轴 正方向同向的为正值,与x轴正方向或y轴正方向反向的为负 值. ④三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点 字母在后. ⑤三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数 值的符号;三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝 对值.

如图所示,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于 M,AT和A′T′均是单位圆的切线,则角α的( )

A.正弦线是PM,正切线是A′T′ B.正弦线是MP,正切线是A′T′ C.正弦线是MP,正切线是AT D.正弦线是PM,正切线是AT
[答案] C

不论角 α 的终边位置如何,在单位圆中作三角函数线时, 下列说法正确的是( )

A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线,但可能不只 一条 C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D.正弦线、余弦线总存在,但正切线不一定存在

[答案]

D

课堂典例讲练

思路方法技巧
命题方向 1 利用三角函数线解三角不等式

1 已知 sinα≥2,求角 α 的集合. [分析] 1 根据正弦线的定义,先找到正弦线等于2的角,再

根据正弦线的变化趋势即可得到.

[解析]

1 作直线 y= 交单位圆于 P、P′,则 sin∠POx= 2

1 π 5π sin∠P′Ox=2,在[0,2π)内∠POx=6,∠P′Ox= 6 ,如图所 示. π 5π ∴满足条件的集合为{α|2kπ+6≤α≤2kπ+ 6 ,k∈Z}.

[点拨]此类问题一般利用三角函数线数形结合求解.

1 (1)利用三角函数线求满足 cosα≥ 的角 α 的集合. 2 3 (2) 利用单位圆中的三角函数线求同时满足 sinα≤ 2 , 3 cosα≥ 的 α 的取值范围. 2

[答案]

π π (1){α|2kπ- ≤α≤2kπ+ ,k∈Z} 3 3

π π (2){α|2kπ-6≤α≤2kπ+6,k∈Z}

[解析]

3 4π (2)满足 sin≤ 2 的 α 取值范围为[2kπ- 3 ,2kπ+

π 3 π π ](k∈Z),满足 cosα≥ 的 α 范围[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z),故 3 2 6 6 π π 符合题目要求的 α 的范围是{α|2kπ-6≤α≤2kπ+6,k∈Z}.

命题方向 2

利用三角函数线解三角方程
1 已知 sinα= ,求出角 α 的取值集合. 2

[解析]

1 已知角 α 的正弦值,可知 MP= ,则 P 点纵坐标 2

1 1 1 为2.所以在 y 轴上取点(0,2),过这点作 x 轴的平行线 y=2, 交单位圆于 P1、P2 两点,则 OP1、OP2 是角 α 的终边,因而角 π 5π α 的集合为{α|α=2kπ+6或 α=2kπ+ 6 ,k∈Z},如图:

规律总结:利用三角函数线求解 sinα=a 这样的三角方 程时,只需作直线 y=a 与单位圆相交,连接原点和交点所得 射线即为所求角 α 的终边位置.求解 cosα=a 这样的三角方程 时,需作直线 x=a 与单位圆相交,连接原点和交点所得射线 即为所求角 α 的终边.求解 tanα=a 这样的三角方程时,需作 直线 y=a 与过点 A(1,0)的单位圆的切线 AT 相交,交点为 T, 连接原点 O 与交点 T,直线 OT 就是所求角 α 的终边位置.

解方程:tanα=-1.

[解析]

因为角 α 的正切值等于-1,所以 AT=-1.在单位

圆上过点 A(1,0)的切线与直线 y=-1 交于点 T,连接 OT,OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点 OP1、OP2 是角 α 的终边, 3π 7 则角 α 的取值集合是{α|α=2kπ+ 4 或 α=2kπ+4π, k∈Z}={α|α 3π =nπ+ 4 ,n∈Z},如图.

探索延拓创新
设 α 是锐角,利用单位圆和三角函数线证明: sinα<α<tanα. [分析] sinα、tanα 分别用正弦线、正切线表示出来,α 用它所对的弧表示出来,从而使关系式得证.

[证明]

如图所示,设角 α 的终边交单位圆于 P,过点 P

作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M.过点 A(1,0)作单位圆的切线交 OP 于点 T,连接 PA,

则 sinα=MP,tanα=AT, ∵S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT, 1 1 2 1 ∴ |OA|· |MP|< α|OA| < |OA|· |AT|. 2 2 2 又|OA|=1,∴|MP|<α<|AT|,即 MP<α<AT. ∴sinα<α<tanα.

π 已知 α 是锐角,求证:1<sinα+cosα< . 2 [分析] 在单位圆中画出 sinα 与 cosα 对应的三角函数线,

依据三角形、扇形的边长与面积得出结论.

[解析]

设角 α 的终边与单位圆交于 P(x,y),过 P 作 PQ

⊥OA,PR⊥OB,Q、R 为垂足,连接 PA,PB,如图所示.

∵|PQ|=y=sinα,|OQ|=x=cosα, 又∵在△OPQ 中,|QP|+|OQ|>|OP|, ∴sinα+cosα>1. 1 1 1 ∴S△OAP=2|OA|· |QP|=2y=2sinα, 1 1 1 S△OBP= |OB|· |RP|= x= cosα, 2 2 2 π 2 π S 扇形 OAB=4×1 =4.

又∵S△OAP+S△OBP<S 扇形 OAB, 1 1 π π ∴ sinα+ cosα< ,即 sinα+cosα< . 2 2 4 2 π 综上可知 1<sinα+cosα< . 2

名师辨误作答
错解函数的定义域 求函数 y= 1+2cosx+lg(2sinx+ 3)的定义域. [错解] 要使函数有意义,则需满足 1+2cosx≥0 且 2sinx+

1 3 4π 8π 3>0, 即 cosx≥-2, 且 sinx>- 2 .所以 2kπ+ 3 ≤x≤2kπ+ 3 且 π 4π 2kπ- <x<2kπ+ ,其中 k∈Z.其交集为空集,故无定义域. 3 3

[错因分析] 因两个不等式中的 k 各自独立,因此上述两 集合是有公共部分的,如图所示.

[思路分析]

解三角不等式组时,先解每个三角不等式,

再取它们的交集.取交集时,要注意各自解集中 k 的独立性.

[正解]

要使函数有意义,则需同时满足 1+2cosx≥0 且

2sinx+ 3>0, 1 3 即 cosx≥- ,且 sinx>- . 2 2 1 2π 2π 由 cosx≥-2,知 2kπ- 3 ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 3 π 4π 由 sinx>- 2 ,知 2nπ-3<x<2nπ+ 3 ,n∈Z, π 2π ∴x 的取值范围是{x|2kπ-3<x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}.

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