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【南外】2016-2017学年第二学期初二数学期中试卷及答案


南京中小学辅导 1对1、3人班、8人班

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南京外国语学校 2016-2017 学年度第二学期期中初二年级
一、选择题(每题 2 分,共 12 分) 1.完成下列任务,适合用抽样调查的是( A.为订购校服,了解学生衣服的尺寸 C.考察一批炮弹的杀伤半径 【答案】C 【解析】本题考察普查和抽样调查的区别.
A 、订购校服,要求尺寸的精确度高,适合普查; B 、对飞机上的零部件进行检查事关重大,适合普查;
C 、考察炮弹的杀伤半径,具有破坏性,适合抽样调查;

) . B.对航天飞机上的零部件进行检查 D.语文老师检查某学生一篇作文中的错别字

D 、检查一篇作文中的错别字要求全面性,适合普查.

2.在

3 1 1 1 x 2 ? 1 3 xy 、 、 、 、 、 a ? 中,分式的个数有( x? y 2 π x b 2 B. 3 个 C. 4 个

) .

A. 2 个
【答案】B

D. 5 个

【解析】本题考察分式的定义,形如 对比本题,符合条件的有

A ,其中 A 为整式, B 为整式, B 中含有字母或未知数且 B ? 0 ; B

3 1 1 , , a ? 共 3 个. x? y b x
) .
?m 2 ? 2 m 2 ? 2 ? ?m ? 1 m ?1

3.下列变形中,正确的是( A.
b b ? a a2
2

B.

C.

b b?c ? a a?c

D.

a 2 ? b2 a ? b ? (a ? b) 2 a ? b

【答案】D 【解析】本题考察分式的性质,分子分母同乘或同除一个不为 0 的数,分式的大小不变,选项 D 中, 分子分母同除 (a ? b) ,得
a?b ,故正确. a ?b

4.如图所示是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图,根据统计图,下面对全年食品支出费
用判断正确的是( ) .

衣衣 25% 教教 23%

食食 31% 其其 21%

衣衣 23% 教教 19%

食食 34% 其其 24%


A.甲户比乙户多
【答案】D


B.乙户比甲户多 C.甲、乙两户一样多 D.无法确定哪一户多

【解析】扇形统计图给出的是数据的占比,在甲、乙两家全年支出额无法确定时,两家的食品支出具 体额也无法确定,故不能比较多少,选 D .

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5.下列样本的选取具有代表性的是(

) .

A.利用某地七月份的日平均气温估计当地全年的日平均气温 B.为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取 100 袋进行检验 C.调查某校七年级(1)班学生的身高,来估计该校全体学生的身高 D.为了解我国居民的年平均阅读时间,从大学生中随机抽取 10 万人进行调查
【答案】B 【解析】抽取样本注意事项是要考虑样本具有广泛性与代表性,所谓代表性,即样本要涉及对象的各 个方面,各个层次,分析得, B 正确.

6.若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形,则四边形 ABCD 一定满足( A.对角线相等
【答案】A

) .

B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直

D.对角线相等且互相平分

【解析】连接四边形 ABCD 各边中点,所得四边形的边长为原四边形 ABCD 对角线的一半,由三角形 中位线性质可推新四边形为平行四边形,若为菱形则要边长相等,即原四边形 ABCD 的对角线相等. 二、填空题(每题 2 分,共 20 分)

7. 要了解某市八年级学生的视力情况, 从中抽查了 1000 名学生的视力情况, 那么样本是指__________.
【答案】被调查的 1000 名学生的视力状况 【解析】总体指考查的对象全体.个体是总体中的每一个考察对象,样本是总体中所抽取的一部分个 体,而样本容量是指样本中个体的数目.

8.当 x __________时,分式
【答案】 x ? 3 ; ?1

5 x2 ? 1 有意义;若分式 的值为 0 ,则 x ? __________. x?3 x ?1

【解析】 本题考察了分式的意义与分式的化简,x ? 3 ? 0 得 x ? 3 ;
x ? 1 ,所以 x ? ?1 .

x2 ? 1 ?0, 则 x2 ? 1 ? 0 , 又 x ?1 ? 0 , x ?1

9. 已知某班有 40 名学生, 将他们的身高分成 4 组, 在 160 ~ 165cm 区间的有 8 名学生, 那么 160 ~ 165cm
这个小组的频率为__________. 【答案】 0.2 【解析】 频率 ?

频数 8 ? ? 0.2 . 总数 40

10. 如图, 将 △ ABC 绕点 A 顺时针旋转得到 △ AED , 点 D 正好落在 BC 边上. 已知 ?C ? 80? , 则 ?EAB ? __________.

A E B
【答案】 20? 【解析】由旋转前后的图形全等,可知 AD ? AC ,

D

C

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∴等腰 △ ADC 中, ?ADC ? ?C ? 80? , ∴ ?DAC ? 180? ? 80? ? 2 ? 20? , 由于旋转角相等, ∴ ?EAB ? ?DAC ? 20? .

A E B D C

11.在菱形 ABCD 中,对角线 AC ? 6 , BD ? 8 ,则菱形 ABCD 的周长是__________.
【答案】 20 【解析】由菱形 ABCD 的对角线互相垂直且平分的性质可得 4 个全等的直角三角形,且直角边分别为 3 和 4 ,斜边为菱形的边长,所以易得菱形的边长为 5 .

12.矩形两条对角线的夹角为 60? ,其中矩形中较短的边长为 4 ,则矩形对角线的长为__________.
【答案】 8 【解析】如图矩形 ABCD ,对角线交于点 O ,由题可知 ?BOC ? 60? , ∵矩形对角线相等且互相平分, ∴ OB ? OC ,

△BOC 等边三角形,
∵ BC ? 4 , ∴ OC ? 4 , ∴对角线 AC ? 2OC ? 8 .

D O A 60°

C

B

13.如图,正方形 ABCD 中,以对角线 AC 为一边作菱形 AEFC ,则 ?FAB 等于__________ ? .

D

C

F

A
【答案】 22.5?

B

E

1 【解析】由正方形 ABCD 对角线平分一组对角可知, ?CAB ? ? 90? ? 45? , 2 1 因为菱形 AEFC 中,对角线 AF 平分一组对角,所以 ?FAB ? ?CAB ? 22.5? . 2

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14.某市对 4000 米长的道路进行绿化改造.为了尽快完成,施工队每天比原计划多绿化 10 米,结果提 前 2 天完成.若原计划每天绿化 x 米,则可列方程__________.
【答案】
4000 4000 ? ?2 x x ? 10

【解析】等量关系为:原计划的工作时间-实际的工作时间 ? 2 , 设原计划每天绿化 xm ,则实际每天绿化 x ? 10m , ∴
4000 4000 ? ? 2. x x ? 10 2x ? a ? 1 的解是正数,则 a 的取值范围是__________. x ?1

15.关于 x 的方程

【答案】 a ? ?1 且 a ? ?2 【解析】先解关于 x 的分式方程,求得 x 的值,再依据解为正数,建立不等式求 a 的范围. 去分母得 2 x ? a ? x ? 1 , x ? ?1 ? a ,

??1 ? a ? 0 因为解为正,且 x ? 1 得 ? ,所以 a ? ?1 且 a ? ?2 . ??1 ? a ? 1 16. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 、BD 相交于点 O ,BD ? 2 AD ,E 、F 、G 分别是 OC 、
OD 、AB 的中点, 下列结论: ① ?OBE ?

1 ?ADO ; ② EG ? EF ; ③ GF 平分 ?AGE ; ④ EF ? GE , 2

其中正确的是__________(填写序号) .

A G B
【答案】①②③

F O E C

D

【解析】①∵平行四边形 ABCD , ∴ AD∥BC , AD ? BC , DO ? BO ? ∴ ?ADB ? ?DBC , ∵ BD ? 2 AD , ∴ AD ? DO , ∴ BC ? BO , ∵ E 为 CO 中点, ∴等腰 △CBO 中 BE 平分 ?CBO ,
1 1 ∴ ?OBE ? ?OBC ? ?ADO . 2 2
1 BD , 2

②由等腰 △OBC 三线合一可知 BE ⊥ OC , ∵ G 为 AB 中点, ∴ Rt△ ABE 中, GE ?
1 AB , 2

1 ∵ △COD 中, EF ? CD , CD ? AB , 2

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③∵ GE ? EF , ∴ ?EGF ? ?EFG , ∵ EF∥DC , AB∥DC , ∴ EF∥AB , ∴ ?EFG ? ?AGF , ∴ ?EGF ? ?AGF , GF 平分 ?AGE .

A G B O E

F

D

C

三、解答题(共 68 分)

17. ( 8 分)计算:
(1) a ? 1 ? (2)
a2 . a ?1

1 x ? 3 x2 ? 6 x ? 9 ? 2 ? . x ? 1 x ? 1 x2 ? 2x ? 1 1 a ?1

【答案】 (1) ? (2)?

4 ( x ? 1)( x ? 3) (a ? 1)(a ? 1) a 2 ? a ?1 a ?1

【解析】 ( 1 )原式 ?
? ?1 . a ?1

( 2 )原式 ?

1 x?3 ( x ? 1) 2 ? ? x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 3) 2

? ?

1 x ?1 ? x ? 1 ( x ? 1)( x ? 3) ( x ? 3) ? ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 3) 4 . ( x ? 1)( x ? 3)

??

18. ( 8 分)解下列分式方程:
(1) (2)
2x ? 3 4x ? 1 ? . x ? 1 2x ? 3

x ?1 4 ? 2 ?1. x ?1 x ?1

【答案】 (1) x ? 2 ( 2 )无解 【解析】 ( 1 )去分母得: 4 x 2 ? 9 ? 4 x 2 ? 5 x ? 1 , 解得: x ? 2 .

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经检验, x ? 2 是原方程的解. ( 2 )两边同乘 ( x ? 1)( x ? 1) 得:
( x ? 1) 2 ? 4 ? ( x ? 1)( x ? 1) ,

整理得: 2 x ? 2 , 解得: x ? 1 . 检验:当 x ? 1 时, ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 , 所以 x ? 1 是增根,应舍去. ∴原方程无解.

19. ( 6 分)方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后, △ ABC
的顶点均在格点上,点 C 的坐标为 (4, ?1) . ( 1 )试作出 △ ABC 以 C 为旋转中心,沿顺时针方向旋转 90? 后的图形 △ A1 B1C1 . ( 2 )以原点 O 为对称中心,在画出与 △ ABC 关于原点 O 对称的 △ A2 B2C2 ,并写出点 C2 的坐标

__________.

y

O

C

x

A

B

【答案】见解析 【解析】 ( 1 ) △ A1 B1C1 如下图所示.

y

A1 O C(C1) x

B1 A

B

( 2 ) △ A2 B2C2 如下图所示,结合图形可知 C2 坐标为 (?4,1) .

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y B2 A2

C2

O

C

x

A

B

20. ( 7 分)中华文明,源远流长,中华汉字,寓意深广.为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一
次全校 2500 名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分.为了更 好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩作为样本进行处理,得到下 列不完整的统计图表.请你根据表中提供的信息,解答下列问题: 分数段
50 ≤ x ? 60

频数
10

频率
0.05

60 ≤ x ? 70
70 ≤ x ? 80

30
40
m

0.15 n 0.35 0.25

80 ≤ x ? 90 90 ≤ x ≤ 100

50

( 1 )此次调查的样本容量为__________. ( 2 )在表中: m ? __________, n ? __________. ( 3 )补全频数分布直方图. 频数分布直方图

频数 70 60 50 40 30 20 10 0

30 60 70 80 90 100

成成/分

( 4 )若成绩在 80 分以上(包括 80 分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的 2500 名学生中,成绩“优” 等约有多少人? 【答案】 ( 1 ) 200 ( 2 ) m ? 70 , n ? 0.2 ( 3 )见解析 ( 4 ) 1500 人 【解析】 ( 1 )样本容量是 10 ? 0.05 ? 200 . ( 2 ) m ? 200 ? 0.35 ? 70 , n ? 40 ? 200 ? 0.2 . (3)

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频数 70 60 50 40 30 20 10 0

30 60 70 80 90 100 成成/分

( 4 )成绩“优等”约有 2500 ? (0.35 ? 0.25) ? 1500 (人) .

21. ( 6 分)如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , E 、 F 分别是 OA ,OC 的中点.

D E A O F B

C

求证: BE ? DF . 【答案】见解析 【解析】证明:∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AB∥CD , OC ? OA , CD ? AB , ∴ ?DCF ? ?BAE , ∵ E 、 F 分别是 OA 、 OC 的中点,
1 1 ∴ CF ? OC , AE ? OA , 2 2 ∴ CF ? AE ,

在 △DCF 和 △ BAE 中,

? DC ? BA ? ??DCF ? ?BAE , ?CF ? AE ?
∴ △DCF ≌ △BAE (SAS) , ∴ DF ? BE .

22. ( 7 分)某商店用 1000 元购进一批套尺,很快销售一空;商店又用 1500 元购进第二批同款套尺,
购进单价比第一批贵 25% ,所购数量比第一批多 100 套. ( 1 )求第一批套尺购进的单价. ( 2 )若商店以每套 4 元的价格将这两批套尺全部售出,可以盈利多少元? 【答案】 (1) 2 元 ( 2 ) 1900 元 【解析】 ( 1 )设第一批套尺购进单价为 x 元, 根据题意有:

1500 1000 ? ? 100 , x (1 ? 25%) x

解得: x ? 2 . 经检验 x ? 2 是原方程的解. ( 2 ) 1000 ? 2 ? 500 (套) ,

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500 ? (500 ? 100) ? 1100 (套) ,
盈利额为: 1100 ? 4 ? (1000 ? 1500) ? 1900 (元) .

23. ( 7 分)阅读理解与运用.
例 解分式不等式:
3x ? 2 ?2. x ?1

解:移项,得:

3x ? 2 x?4 ? 2 ? 0 ,即 ?0. x ?1 x ?1

?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 由“同号得正、异号得负”得,两种情况:① ? ;② ? . ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0
解不等式组①得: x ? 1 :解不等式组②得: x ? ?4 . ∴原不等式的解集是: x ? 1 或 x ? ?4 ,试运用上述方法解分式不等式: 【答案】 ?3 ? x ? 1 【解析】移项得:
x?2 1 x?3 ?0, ? ?0即 x ?1 x ?1 x ?1 x?2 1 ? . x ?1 1? x

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 由同号的正,异号得负得: ? 或? , ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0
两不等式组的解为无解或 ?3 ? x ? 1 , 则原不等式的解为: ?3 ? x ? 1 .

24. ( 10 分)如图,正方形 ABCO 的边 OA 、 OC 在坐标轴上,点 B 坐标为 (8,8) ,将正方形 ABCO 绕点
C 逆时针旋转角度 ? (0? ? ? ? 90?) ,得到正方形 CDEF , ED 交线段 AB 于点 G , ED 的延长线交

线段 OA 于点 H ,连接 CH 、 CG .

y C D O H

F B E G A x

( 1 )求证: △CBG ≌ △CDG . ( 2 )求 ?HCG 的度数;并判断线段 HG 、 OH 、 BG 之间的数量关系,说明理由. ( 3 )连接 BD 、 DA 、 AE 、 EB 得到四边形 AEBD ,在旋转过程中,当 G 点在何位置时四边形 AEBD 是矩形?请说明理由并求出点 H 的坐标. 【答案】见解析 【解析】 ( 1 )证明:∵正方形 ABCO 绕 C 旋转得正方形 CDEF , ∴ CD ? CB , ?CDG ? ?B ? 90? , 在 Rt△CBG 和 Rt△CDG 中,

?CB ? CD , ? ?CG ? CG
∴ △CBG ≌ △CDG (HL) .

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( 2 )∵ △CDG ≌ △CBG , ∴ ?DCG ? ?BCG , DG ? BG , 在 Rt△CHO 和 Rt△CHD 中,

?CH ? CH , ? ?OC ? CD
∴ △CHO ≌ △CHD (HL) , ∴ ?OCH ? ?DCH , OH ? OH ,
1 1 1 ∴ ?HCG ? ?HCO ? ?GCD ? ?OCD ? ?BCD ? ?OCB ? 45? , 2 2 2

∴ HG ? HD ? DG ? BG ? OH . ( 3 )连接 BD ,DA , AE ,EB ,四边形 AEBD 若为矩形,需先为平行四边形,即要对角线互相平分, 合适的点只有 G 为 AB 中点的时候, BG ? AG , ∵ DG ? BG , ∴ OG ? AG ? EG ? BG , 即 AB ? OE ,平行四边形 AEBD 对角线相等, ∴当 G 为 AB 中点时,平行四边形 AEBD 为矩形, ∵ AB ? 8 , ∴ AG ? BG ? 4 , DG ? AG ? 4 , 设 H 点坐标为 ( x,0) ,则 OH ? x , 则 HD ? x , HG ? x ? 4 , HA ? 8 ? x , 在 Rt△HGA 中, HG 2 ? HA2 ? AG 2 , 即 ( x ? 4) 2 ? (8 ? x) 2 ? 42 , 解得: x ?
8 , 3

?8 ? ∴ H ? ,0 ? . ?3 ?

y C D O H

F B E G A x

25. ( 9 分)邻边不相等的平行四边形纸片,减去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作,在余 下的四边形纸片中再剪去一个菱形,余下一个四边形, 称为第二次操作,?? 依次类推, 若第 n 次
余下的四边形是菱形, 则称原平行四边形为 n 阶准菱形, 如图 1 , 平行四边形 ABCD 中, 若 AB ? 1 ,
BC ? 2 ,则平行四边形 ABCD 为 1 阶准菱形.

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A B C

D

A B 图2

E

D C

图1

F

( 1 )理解与判断: ①邻边长分别为 1 和 3 的平行四边形是__________阶准菱形. ②如图 2 ,把平行四边形 ABCD 沿 BE 折叠(点 E 在 AD 上) ,使点 A 落在 BC 边上的点 F ,得到四 边形 ABFE ,四边形 ABFE 的形状一定是__________.若 AB ? 2 , AD ? 3 ,则图 2 中的平行四边 形 ABCD 是__________阶准菱形. ( 2 )操作、探究、计算: ①已知某平行四边形的边长分别为 2 , a (a ? 2) 且是 3 阶准菱形,请画出平行四边形 ABCD 及裁剪 线的所有可能示意图,并在图形下方写出 a 的值. ②已知平行四边形 ABCD 是一个 2017 阶准菱形,其邻边长分别为 1 , m(1 ? m ? 2) ,请直接写出 m 的最大值是__________. 【答案】见解析 【解析】 ( 1 )①邻边长为 1 和 3 的平行四边形经过两次操作剩下边长为 1 的菱形,故为 2 阶准菱形,答 案为 2 . ②由折叠知, ?ABE ? ?FBE , AB ? BF , ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AE∥BF , ∴ ?AEB ? ?FBE , ∴ ?AEB ? ?ABE , ∴ AE ? AB , ∴ AE ? BF , ∴四边形 ABFE 是平行四边形, ∴四边形 ABFE 是菱形. 邻边才为 2 , 3 的平行四边形经过 2 次操作剩下边长为 1 的菱形,故为 2 阶准菱形. 故答案为:菱形, 2 . ( 2 )①根据 3 阶准菱形的定义做出如下 4 种情况:

2 a=8

2 a=5

2 a= 8 5

2 a= 10 3

② 1 ? m ? 2 , m 最大时应满足下图,

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2016个个个 …… 1 m
设 2016 个小菱形边长为 x , 则: 2016 x ? x ? 1 , 解得 x ?
1 . 2017 2016 4033 ? , 2017 2017

∴ m ? 1 ? 2016 x ? 1 ? 故 m 最大值为

4033 . 2017

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