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高二上学期期末理科数学试题及答案

高二年级理科数学卷
20161225
一、选择题.(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
2 1、若命题 p : ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0 ,则命题 ? p 为 2 A. ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0 2 C. ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0 2 B. ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0 2 D. ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0

2、公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a4 a10 ? 16 ,则 a6 = A.1 B.2 C.4 D.8

3、在 ?ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么角 A 等于 A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

?x ? y ? 1 ? 4、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是 ?x ? y ? 1 ?
A. [?8, 4] 5、已知双曲线 A.6 B. [?8, 2] C. [?4, 2] D. [?8,?4]

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到 A(5,0)的距离为 3,则 M 到左焦点的距离等于 9 16
B.7 C.8 D.9

6、已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则

1 1 1 ? ??? ? S1 S 2 S8

A.

7 8

B.

8 9

C.

9 8

D.

10 9

7、设平面 ? 内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面 ? 的法向量的是 A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1, 1,1) D.(1,-1,-1)

MB 、MC 8、 空间四点 A,B,C,M 互不重合且无三点共线,O 为空间任意一点, 则使向量 MA 、
可能成为空间一组基底的关系是

? ???? ???? ????

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC 3 3 3 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? C. OM ? OA ? OB ? OC
A. OM ?

???? ?

B. MA ? MB ? MC

????

???? ???? ? ???? ???? ?

D. MA ? 3MB ? 2MC

????

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数学参考答案

第 1 页 共6 页

9、已知直线 m 、 n 和平面 ? ,则 m // n 的一个必要不充分条件是 A. m // ?且n // ? B. m // ? 且 n ? ? C. m 、 n 与 ? 成等角 D. m ? ? 且 n ? ? 10、如果满足∠ABC= 60 ,AC=12,BC= k 三角形恰有一个,那么 k 的取值范围是 A. k ? 8 3 B. 0 ? k ? 12 C. k ? 12 D. 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3
0

11、已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 )焦点与顶点,若双曲 a 2 b2

线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

12.如果满足方程 x 2 ? y 2 ? t 2 ? 2 ? 2tx ? 3 y 的实数对 ( x , y) 一定满足不等式 y ? | x | , 则常数 t 的取值范围是
3? 2 3? 2 A. [? , ] 2 2

3? 2 3? 2 B. [? , ] 2 2

3? 2 3? 2 C. [? , ] 2 2

3? 2 3? 2 D. [? , ] 2 2

二、填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 ) 13、已知向量 a ? (5,3,1) , b ? ( ?2, t , ? ) ,若向量 a 与 b 的夹角为锐角,则 t 的取值范围 是 14、等差数 列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ?
2

?

?

2 5

?

?

.

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 15、抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 3 3
?ABF 为等边三角形,则 p 的值为_____________
16、已知命题 p: ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充要条件;命题 q: a ? b ? 0 是

a?b ? ab 的充分不必要条件。 2 则 下 列 命 题 : ① p ? q ; ② p ? q ; ③ ?p ? q ; ④ ?p ? q 中 是 真 命 题 的
有 . (填序号,漏填或错填都不得分)

三、 解答题. (本大题共 5 小题, 共 70 分 . 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 .) 17.(本小题满分 14 分)在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且

a 2c ? . sin A 3
(1) 求角 C 的大小; (2)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为
高二期末考试

3 3 求 a ? b 的值. 2 ,
数学参考答案 第 2 页 共6 页

18.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 , 公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

19.(本小题满分 14 分) 已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q , 过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴 , 动点 P 在 l1 上 , 且满足

OP ? OQ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .
(1) 求曲线 C 的方程; (2) 若曲线上 C 有两个点 A, B 满足 OA ? OB ? 0 ,求 ?AOB 面积的最小值。

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数学参考答案

第 3 页 共6 页

20.(本小题满分 14 分)如图 ,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD ,

PD ? CD , E 为 PC 中 点 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB / / CD , ?ADC ? 90 ? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .
(1) 求证: BE / / 平面 PAD ; (2) 求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (3) 设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45 ? . P E D

??? ?

??? ?

C
A

B

21.(本小题满分 14 分)若椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,焦距为 2 2 a b 2

(Ⅱ) 设 M (?2,0) , 过点 M 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 当线段 EF 的中点落在由四点 C1 (?1,0), C2 (1,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求 直线 l 斜率 k 的取值范围.

高二期末考试

数学参考答案

第 4 页 共6 页

高二年级理科数学参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中 1 C 2 B 3 B 4 A 5 D 6 B 7 B 8 C 9 C 10 D 11 D 12 A

二.填空题:本大题共 4 个小题,共 20 分,将答案填写在答题卡中相应题号的横线上. 13.

(

52 , ?? ) 15

14.

10

15.

6

16

①②④

三.解答题: 17、(本小题满分 14 分) 解:(1)解: 由正弦定理得

a c ? ,∵ sin A sin C

a 2c , ? s i nA 3

?

c 2c ? , sin C 3

………2 分

∴ sin C ? ∵ (2)解:

3 . 2

……………4 分

?A B C是锐角三角形, ∴ C ?

?
3

.

……………7 分

c? 7, C ?

?
3

,

由面积公式得

1 ? 3 3 , absin ? 2 3 2 ∴ ab ? 6 .
由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos
2 2

………………8 分 ………………10 分

?
3

?7

……………12 分

∴ (a ? b) 2 ? 3ab ? 7 ∴ a?b ?5 18、(本小题满分 14 分) 解:(1)当 n ? 2 ,时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2 又 a1 ? S1 ? 2
1?1 n?1

………………14 分

? 2n ? 2n ,

-----------------2 分

? 2 ? 2 ? 21 ,也满足上式,
-----------------4 分

所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n .

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
2

-----------------5 分
数学参考答案 第 5 页 共6 页

高二期末考试

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 . (2)由(1)可得 Tn ?

----------------6 分 -----------------7 分

2 5 8 3n ? 1 b b1 b2 b3 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,-------------9 分 2 a1 a2 a3 an 2 2 2

2Tn ? 2 ?
两式式相减得

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2
-----------------11 分

Tn ? 2 ?

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2

-----------------14 分

19、(本小题满分 13 分) 解:(1)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x, ?2 ? . ∵ OP ? OQ , ∴ kOP ? kOQ ? ?1 . 当 x ? 0 时,得

y ?2 ? ? ?1,化简得 x2 ? 2 y . x x

……………4 分

当 x ? 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ? 0 . ∴曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? x ? 0 ?
2

……………6 分

(2)设直线 OA 的斜率为 k , k ? 0 ,由 OA ? OB ? 0 知 OA ? OB , 故直线 OB 的斜率为 ? 由?

1 k

? y ? kx ?x ? 2 y
2

? A(2k ,2k 2 ) , 将 k 换成 ?

1 2 2 ,得 B (? , 2 ) ……………10 分 k k k

?AOB 面积 S ?

1 1 2 2 | OA | ? | OB |? (2k ) 2 ? (2k 2 ) 2 ? (? ) 2 ? ( 2 ) 2 2 k k

? 2 2? k2 ?
等号成立时当且仅当 k ?
2

1 1 ? 2 2? 2 k2 ? 2 ? 4 2 k k

1 ,即 k ? ?1 k2
……………14 分
数学参考答案 第 6 页 共6 页

所以 ?AOB 面积的最小值为 4
高二期末考试

1 2 1 2 A( x1 , x1 ), B ( x 2 , x 2 ) 2 2 20、(本小题满分 14 分) .解:令 PD 中点为 F ,连接 EF ,……………1分
注:(2)也可以设点

? 点 E , F 分别是 ?PCD 的中点,

? EF //

1 CD ,? EF // AB . 2

P E H C

? 四边形 FABE 为平行四边形.……………2分
? BE / / AF , AF ? 平面 PAD ,
EF ? 平面 PAD
……………3分 ……………4分

F D

? BE // 面PAD

(2)在梯形 ABCD 中,过点 B 作 BH ? CD 于 H ,
0 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1 ,??BCH ? 45 . 0 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1 ,??ADB ? 45 ,

A

B

??BDC ? 450 ,??DBC ? 900

? BC ? BD .
? PD ? 面 ABCD ,

……………5分

? 面 PCD ? 面 ABCD ,面 PCD ? 面 ABCD ? CD , PD ? CD , PD ? 面 PCD ,
……………6分 ……………7 分

? PD ? BC ,
BD ? PD ? D , BD ? 平面 PBD , PD ? 平面 PBD

? BC ? 平面 PBD ,
BC ? 平面 PBC ,

……………8 分

? 平面 PBC ? 平面 PBD
则 P ? 0,0,1?,C ? 0,2,0?,A?1,0,0?,B ?1,1,0? . 令 Q ? x0 , y0 , z0 ? ,? PQ ? ? PC ,

……………9 分

(3)以 D 为原点, DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.…………10分

??? ?

??? ?

Q ? 0,2?,1 ? ? ? 。
? BC ? 平面 PBD , ??? ? ? BC 即平面 PBD 的法向量 ? …………11分 n ? ? ?1,1, 0 ? . ?? 设面 QBD 的法向量为 m ? ? x, y, z ?
A
高二期末考试 数学参考答案

z P
Q D C
y

x

B
第 7 页 共6 页

?? ??? ? ?x ? ? y ? ?m ? DB ? 0 ? 则 ? ?? ???? ,即 ? 2? . z? y ? ?m ? DQ ? 0 ? ? ?1 ?
令 y ? 1 ,得 m ? ? ?1,1,

??

? ?

2? ? .…………12分 ? ?1 ? ?

? 二面角 Q ? BD ? P 为 450 , ?? ? ?? ? m?n 2 2 ,解得 ? =-1 ? 2 .…………13分 ? cos m, n ? ?? ? ? ? 2 2 m n ? 2? ? 2? 2?? ? ? ? ?1 ?
? Q 在 PC 上,? 0 ? ? ? 1 ,?? = 2 ?1 为所求.
21、(本小题满分 14 分) …………14分

解:(Ⅰ)依题意有,

?c 2 ? ? a 2 ? ? ? 2c ? 2 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? ?

………………2 分

解得 ?

?a ? 2 ?b ? 1

,所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1………………4 分 2

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) . 设 点 E , F 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) , ( 线 x2 ,y2 ) , 段 EF 的 中 点 为

? y ? k ( x ? 2) ? G ( x0 , y0 ) ,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0
2 2 2 2

由 ? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 解得 ?

2 2 .…(1) …………7 分 ?k? 2 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

?8k 2 , 1 ? 2k 2
……………10 分

于是 x0 ?

x1 ? x2 2k 4k 2 =? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

4k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,又直线 C1B2 , C1B1 ,方程分别为 因为 x0 ? ? 1 ? 2k 2
高二期末考试 数学参考答案 第 8 页 共6 页

y ? x ? 1, y ? ? x ? 1

所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为

? 2k ?4k 2 ? ?1 2 ? ? ? y0 ? x0 ? 1 ?2k ? 2k ? 1 ? 0, ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 即? 亦即 ? 2 ………………12 分 ? 2 ? ? y0 ? ? x0 ? 1 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ? 2k ? 4k ? 1 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?
解得 ?

3 ?1 3 ?1 ,……………(2) ?k? 2 2
3 ?1 3 ?1 , ]. ………………14 分 2 2

由(1)(2)知,直线 l 斜率的取值范围是 [?
注:点 G 在正方形内(包括边界)也可等价于: |x0

| ? | y0 |? 1

高二期末考试

数学参考答案

第 9 页 共6 页


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