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【精编】2015-2016年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷(理科)(解析版)

百 度 文 库 2015-2016 学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知集合 P={x|x2﹣x﹣2≤0},M={﹣1,0,3,4},则集合 P∩M 中 元素的个数为( A.1 B.2 ) D.4 ) C.3 2. (5 分)下列函数中为偶函数的是( A.y= B.y=lg|x| C.y=(x﹣1)2 D.y=2x 3. (5 分)在△ABC 中,∠A=60°,| A.1 B.﹣1 C. D.﹣ |=2,| |=1,则 ? 的值为( ) 4. (5 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1(n≥2) ,且 S2=3,则 a1+a3 的值为( A.1 B.3 ) C.5 D.6 ) 5. (5 分)已知函数 f(x)=cos4x﹣sin4x,下列结论错误的是( A.f(x)=cos2x B.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 C.f(x)的最小正周期为 π D.f(x)的值域为[﹣ , ] ) 6. (5 分)“x>0”是“x+sinx>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (5 分)如图,点 O 为坐标原点,点 A(1,1) ,若函数 y=ax(a>0,且 a≠1) 及 logbx(b>0,且 b≠1)的图象与线段 OA 分别交于点 M,N,且 M,N 恰好是 线段 OA 的两个三等分点,则 a,b 满足( ) 第 1 页(共 19 页) A.a<b<1 B.b<a<1 C.b>a>1 D.a>b>1 8. (5 分)已知函数 f(x)= ,函数 g(x)=ax2﹣x+1,若函数 y=f ) (x)﹣g(x)恰好有 2 个不同零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0,+∞) B. (﹣∞,0)∪(2,+∞) D. (﹣∞,0)∪(0,1) C. (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) 2xdx= . 10. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=4,sinC=2sinA, sinB= ,则 a= ,S△ABC= . . 11. (5 分) 已知等差数列{an}的公差 d≠0, 且 a3+a9=a10﹣a8. 若 an=0, 则 n= 12. (5 分) 已知向量 = (1, 1) , 点A (3, 0) , 点 B 为直线 y=2x 上的一个动点. 若 ∥ ,则点 B 的坐标为 . 13. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0) ,若 f(x)的图象向左平移 个单位所得的图象与 f(x)的图象向右平移 最小值为 . ≥t(t 为常数) 个单位所得的图象重合,则 ω 的 14. (5 分)对于数列{an},若? m,n∈N*(m≠n) ,都有 成立,则称数列{an}具有性质 P(t) . (1) 若数列{an}的通项公式为 an=2n, 且具有性质 P (t) , 则 t 的最大值为 ; (2)若数列{an}的通项公式为 an=n2﹣ ,且具有性质 P(10) ,则实数 a 的取值 第 2 页(共 19 页) 范围是 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (13 分) 已知等比数列{an}的公比 q>0, 其 n 前项和为 Sn, 若 a1=1, 4a3=a2a4. (Ⅰ)求公比 q 和 a5 的值; (Ⅱ)求证: <2. sin(2x+ )+cos(2x+ ) . 16. (13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f( )的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. 17. (13 分) 如图, 在四边形 ABCD 中, AB=8, BC=3, CD=5, ∠A= (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求证:∠ABC+∠ADC=π , cos∠ADB= . 18. (13 分)已知函数 f(x)= x3+x2+ax+1,曲线 y=f(x)在点(0,1)处的切 线为 l (Ⅰ)若直线 l 的斜率为﹣3,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数是 f(x)区间[﹣2,a]上的单调函数,求 a 的取值范围. 19. (14 分) 已知由整数组成的数列{an}各项均不为 0, 其前 n 项和为 Sn, 且 a1=a, 2Sn=anan+1. (1)求 a2 的值; (2)求{an}的通项公式; (3)若 n=15 时,Sn 取得最小值,求 a 的值. 20. (14 分)已知 x 为实数,用表示不超过 x 的最大整数,例如[1,2]=1,[﹣ 1.2]=﹣2,[1]=1,对于函数 f(x) ,若存在 m∈R 且 m?Z,使得 f(m)=f([m]) , 则称函数 f(x)是 Ω 函数. 第 3 页(共 19 页) (Ⅰ)判断函数 f(x)=x2﹣ x,g(x)=sinπx 是否是 Ω 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)设函数 f(x)是定义 R 在上的周期函数,其最小正周期为 T,若 f(x)不 是 Ω 函数,求 T 的最小值. (Ⅲ)若函数 f(x)=x+ 是 Ω 函数,求 a 的取值范围. 第 4 页(共 19 页) 2015-2016 学年北京市海淀区高三 (上) 期中数学试卷 (理 科) 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知集合 P={x|x2﹣x﹣2≤0},M={﹣1,0,3,4},则集合 P∩M 中 元素的个数为( A.1 B.2 ) D.4 C.3 【解答】解:由 P 中不等式变形得: (

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