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2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第三篇 2.函数与导数


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第三篇 2

2.函数与导数

1.函数是数集到数集的映射,作为一个映射,就必须满足映
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射的条件,只能一对一或者多对一,不能一对多. ? ? ?1 ? ? [问题 1] 设 A={0,1,2,4},B= 2,0,1,2,6,8?,判断 ? ? ? ? 下列对应关系是否是 A 到 B 的映射. (请在括号中填“是” 或“否”) ①f:x→x3-1( 否 ) ③f:x→2x-1( 是 ) ②f:x→(x-1)2( 否 ) ④f:x→2x( 否 )

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第三篇 2

2.求函数的定义域,关键是依据含自变量 x 的代数式有意义 来列出相应的不等式(组)求解, 如开偶次方根, 被开方数一
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定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,应列 出所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范围 就完全相同. [问题 2] 函数 y ? log 1 x ? 2
2

? 1? ?0, ? 4? . 的定义域是________ ?

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第三篇 2

3.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的
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定义域问题. [问题 3]
2 1 - x (x∈[ -1,1] ) 已知 f(cos x)=sin x, 则 f(x)=________________.

2

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第三篇 2

4.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子
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来表示对应关系的函数,它是一个函数,而不是几个函数. x ? 1 ? ?1?? ?e ,x<0, [问题 4] 已知函数 f(x)=? 则 f?f?e ??=______. e ? ? ? ? ? ln x , x >0 , ?

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第三篇 2

5.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有 时还要对函数式化简整理, 但必须注意使定义域不受影响. lg?1-x2? 奇 [问题 5] f(x)= 是________ 函数(填“奇”“偶” |x-2|-2 或“非奇非偶”).
解析
2 ? ?1-x >0, 由? ? ?|x-2|-2≠0

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得定义域为(-1,0)∪(0,1),

lg?1-x2? lg?1-x2? f(x)= = . -?x-2?-2 -x ∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.

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第三篇 2

6.弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调
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性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. 故“f(0)= 0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条 件.

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[问题 6] 设 则该函数为 A.(-∞,+∞)上的减函数
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? 2 ? ? ? f(x)=lg?1-x+a?是奇函数, 且在 ? ?

第三篇 2
x=0 处有意义, ( )

B.(-∞,+∞)上的增函数 C.(-1,1)上的减函数 D.(-1,1)上的增函数
解析 由题意可知 f(0)=0,即 lg(2+a)=0,解得 a=-1,
1+x 故 f(x)=lg ,函数 f(x)的定义域是(-1,1), 1-x 1+x 在此定义域内 f(x)=lg =lg(1+x)-lg(1-x), 1-x

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函数 y1=lg(1+x)是增函数,
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函数 y2=lg(1-x)是减函数, 故 f(x)=y1-y2 是增函数.选 D.
答案 D

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7.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪” 和“或”连接,可用“及”连接,或用“,”隔开.单调
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区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替. 1 (-∞,0),(0,+∞) . [问题 7] 函数 f(x)=x的减区间为____________________

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8.求函数最值(值域)常用的方法: (1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数.
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(3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法:适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围). (6)分离常数法:适合于一次分式. (7)有界函数法:适用于含有指、对函数或正、余弦函数的 式子.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成 立,特别是基本不等式法,并且要优先考虑定义域.

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?1 ? 2x ? ,1? [问题 8] 函数 y= x (x≥0)的值域为________ ?2 ? . 2 +1

第三篇 2

y 解析 方法一 ∵x≥0,∴2 ≥1,∴ ≥1, 1-y
x

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1 解得 ≤y<1. 2 ∴其值域为
?1 ? y∈?2,1?. ? ?

1 方法二 y=1- x ,∵x≥0, 2 +1 1 1 ∴0< x ≤ , 2 +1 2
?1 ? ∴y∈?2,1?. ? ?

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第三篇 2

9.函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移 ——“左加右减”(注意是针对 x 而言);上下平移——“上加下减”.
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(2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)对称变换:①证明函数图象的对称性,即证图象上任意 点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上; ②函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; ③函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 (y 轴)对 称;函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0(x 轴)对称.

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[问题 9] 函数 y=|log2|x-1||的递增区间是 [0,1),[2,+∞) ____________________ .
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解析

? ?|log2?x-1?|?x>1?, ∵y=? ? ?|log2?1-x?|?x<1?,

作图可知正确答案为[0,1),[2,+∞).

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第三篇 2

10. 有关函数周期的几种情况必须熟记: (1)f(x)=f(x+a)(a>0), 1 则 f(x)的周期 T=a;(2)f(x+a)= (f(x)≠0)或 f(x+a)= f?x?
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-f(x),则 f(x)的周期 T=2a. [问题 10] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x+2) 2 1 -5 =- , 若当 2<x<3 时, f(x)=x, 则 f(2 012.5)=________. f?x?

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11.二次函数问题

第三篇 2

(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区 间上必有最值, 求最值问题用“两看法”: 一看开口方向, 二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
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(2)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (3)一元二次方程实根分布: 先观察二次系数, Δ 与 0 的关 系, 对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号, 再根 据上述特征画出草图. 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、 函数或不等 式,要考虑到二次项系数可能为零的情形.

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第三篇 2

[问题 11] 若关于 x 的方程 ax2-x+1=0 至少有一个正根, 则 ? 1? 本 ?-∞, ? 讲 a 的范围为____________ 4? . ? 栏
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第三篇 2

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12. (1)对数运算性质 已知 a>0 且 a≠ 1, b>0 且 b≠ 1, M>0, N>0. 则 loga(MN)= logaM+ logaN, M loga =logaM- logaN, N logaMn= nlogaM, logbN 对数换底公式:logaN= . logba n n 1 N log 推论: a = logaN; logab= . m logba (2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑,特
m

别注意底数的取值对有关性质的影响,另外,指数函数 y = ax 的图象恒过定点(0,1), 对数函数 y= logax 的图象恒过 定点 (1,0).

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[问题 12] 函数 y=loga|x|的增区间为__________________.
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答案

当 a>1 时,(0,+∞);当 0<a<1 时,(-∞,0)

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第三篇 2

13.幂函数 形如 y=xα(α∈R)的函数为幂函数. (1)①若 α=1,则 y=x,图象是直线.
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②当 α=0 时,y=x0=1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线. ③当 0<α<1 时, 图象过(0,0)与(1,1)两点, 在第一象限内是 上凸的. ④当 α>1 时,在第一象限内,图象是下凸的. (2)增减性:①当 α>0 时,在区间(0,+∞)上,函数 y=xα 是增函数,②当 α<0 时,在区间(0,+∞)上,函数 y=xα 是减函数.

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[问题 13] 函数 f(x)= x
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1 2

?1? -?2?x 的零点个数为 ? ?

( B )

A.0

B. 1

C.2

D.3

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14.函数与方程 (1)对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)
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的零点.事实上,函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的 实数根. (2)如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是一条连续曲线, 且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间[a,b]内有零点, 即存在 c∈[a,b],使得 f(c)=0,此时这个 c 就是方程 f(x) =0 的根.反之不成立.

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[问题 14] 已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x -4, 其中函数 y=g(x)的图象是一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 本 A.(0,1) 讲 栏 解析 f(x)=(x-2)(x-1)g(x)+3x-4, 目 开 关 ∴f(1)=0+3×1-4=-1<0,f(2)=2×3-4=2>0.
又函数 y=g(x)的图象是一条连续曲线, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程 f(x)=0 在(1,2)内必有实数根.

( B )

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15.求导数的方法 ①基本导数公式:c′=0

第三篇 2

(c为常数);(xm)′=mxm

-1

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(m∈Q);(sin x)′=cos x;(cos x)′=-sin x;(ex)′= 1 1 x x x e ;(a )′=a ln a;(ln x)′= x ;(logax)′= (a>0且 xln a a≠1). ②导数的四则运算:(u± v)′=u′± v′; ?u? u′v-uv′ (uv)′=u′v+uv′;?v?′= (v≠0). 2 v ? ? ex?x-1? x e [问题15] f(x)= x ,则f′(x)=________. x2

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第三篇 2

16. 利用导数判断函数的单调性: 设函数 y=f(x)在某个区间内 可导,如果 f′(x)>0,那么 f(x)在该区间内为增函数;如
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果 f′(x)<0,那么 f(x)在该区间内为减函数;如果在某个 区间内恒有 f′(x)=0,那么 f(x)在该区间内为常数. 注意:如果已知 f(x)为减函数求字母取值范围,那么不等 式 f′(x)≤0 恒成立,但要验证 f′(x)是否恒等于 0.增函 数亦如此.

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第三篇 2

[问题 16] 函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上是增函数,则 a 1 a≥3 . 的取值范围是________
3 2 2 解析 f ( x ) = ax - x + x - 5 的导数 f ′ ( x ) = 3 ax -2x+1. 本

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? ?a>0, f′(x)≥0,得? ? ?Δ=4-12a≤0,

1 解得 a≥ . 3

1 a=3时,f′(x)=(x-1)2≥0, 1 且只有 x=1 时,f′(x)=0,∴a=3符合题意.

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第三篇 2

17.导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数 f(x)=x3,
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有 f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. 1 4 1 3 x=1 . [问题 17] 函数 f(x)= x - x 的极值点是________ 4 3

易错警示

第三篇 2

易错点 1 函数概念不清致误
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2 x 例 1 已知函数 f(x2-3)=lg 2 ,求 f(x)的定义域. x -4 x2 错解 由 2 >0,得 x>2 或 x<-2. x -4

∴函数 f(x)的定义域为{x|x>2 或 x<-2}. x2 找准失分点 错把 lg 2 的定义域当成了 f(x)的定义域. x -4

易错警示

第三篇 2

正解

2 x 由 f(x2-3)=lg 2 ,设 x2-3=t,则 x2=t+3, x -4

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t+3 因此 f(t)=lg . t-1 x2 ∵ 2 >0,即 x2>4,∴t+3>4,即 t>1. x -4 ∴f(x)的定义域为{x|x>1}.

易错警示

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易错点 2 忽视函数的定义域致误
例 2 判断函数 f(x)=(1+x) 1-x 的奇偶性. 1+x

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错解 因为 f(x)=(1+x)

1-x = 1+x

1-x ?1+x?2= 1-x2, 1+x

所以 f(-x)= 1-?-x?2= 1-x2=f(x), 所以 f(x)=(1+x)
找准失分点

1-x 是偶函数. 1+x

对函数奇偶性定义理解不够全面,事实上对定

义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),或 f(-x)=-f(x).

易错警示

第三篇 2

正解
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f(x)= (1+ x)

1-x 1-x 有意义时必须满足 ≥0 1+x 1+x

?-1<x≤1,
即函数的定义域是{x|-1<x≤1}, 由于定义域不关于原点对称, 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.

易错警示

第三篇 2

易错点 3 混淆“切点”致误
例 3 求过曲线 y=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程.
错解 ∵y′=3x2-2,
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∴k=y′|x=1=3×12-2=1, ∴切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0. 找准失分点 错把(1,-1)当切点.

正解 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为
y′|x=x0=3x2 0-2. ∴切线方程为 y-y0=(3x2 0-2)(x-x0),

易错警示
2 即 y-(x3 - 2 x ) = (3 x 0 0 0-2)(x-x0).

第三篇 2

又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得
2 -1-(x3 0-2x0)=(3x0-2)(1-x0),

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整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 解得 x0=1,或 x0=-2. 故所求切线方程为 y-(1-2)=(3-2)(x-1), 1 3 1 或 y-(-8+1)=(4-2)(x+2),
即 x-y-2=0,或 5x+4y-1=0.

易错警示

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易错点 4 极值的概念不清致误
例4 已知 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10, 则 a+b=________.
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错解 -7 或 0
找准失分点 x=1 是 f(x)的极值点?f′(1)=0; 忽视了“f′(1)=0 x=1 是 f(x)的极值点”的情况.

正解 f′(x)=3x2+2ax+b,由 x=1 时,函数取得极值 10,得 ? ① ?f′?1?=3+2a+b=0, ? 2 ? f ? 1 ? = 1 + a + b + a =10, ② ?

易错警示
? ?a=4, 联立①②得? ? ?b=-11, ? ?a=-3, 或? ? ?b=3.

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当 a=4,b=-11 时,
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f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1) 在 x=1 两侧的符号相反,符合题意. 当 a=-3,b=3 时,
f′(x)=3(x-1)2 在 x=1 两侧的符号相同, 所以 a=-3,b=3 不符合题意,舍去. 综上可知 a=4,b=-11,∴a+b=-7. 答案 -7

查缺补漏

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1.集合{(x,y)|y=x2,x∈[a,b](a,b 为常数)}∩{(x,y)|x=2}
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中元素的个数为 A.0
解析

( C ) C.0 或 1 D.不确定

B. 1

从函数观点看,题中交集中元素的个数,实际上是函数

y=x2(x∈[ a,b] )的图象与直线 x=2 交点的个数,

若 a≤2≤b 时, 根据函数定义中“唯一”知交集中元素的个数 为 1;
若2 [ a,b] ,则交集中元素的个数为 0,

故元素的个数为 0 或 1.

查缺补漏

第三篇 2

ln?x+1? 2.函数 y= 的定义域为 2 -x -3x+4 A.(-4,-1)
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( C )

B.(-4,1) D.(-1,1]
? ?x>-1 ?? ? ?-4<x<1

C.(-1,1)
解析
? ?x+1>0 由? 2 ? ?-x -3x+4>0

?-1<x<1,

故选 C.

查缺补漏

第三篇 2

3.下列各式中错误的是 A.0.83>0.73 C.0.75-0.1<0.750.1
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( C ) B.log0.50.4>log0.50.6 D.lg 1.6>lg 1.4

解析 构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于 A,构 造幂函数 y=x3,为增函数,故 A 对; 对于 B、D,构造对数函数 y=log0.5x 为减函数,y=lg x 为增 函数,B、D 都正确; 对于 C,构造指数函数 y=0.75x,为减函数,故 C 错.

查缺补漏

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1 4.函数 f(x)=-x+log2x 的一个零点落在下列哪个区间( B )
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A.(0,1) C.(2,3)

B.(1,2) D.(3,4)

解析 根据函数的根的存在性定理得 f(1)f(2)<0.

查缺补漏

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x 5.函数 y= ,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列中的 sin x ( )

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查缺补漏
x y= 是偶函数,故排除 A, sin x

第三篇 2

解析

令 f(x)=x-sin x,x∈(0,π),则 f′(x)=1-cos x,x∈(0,π),
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易知 f′(x)≥0 在 x∈(0,π)上恒成立, 所以 f(x)min>f(0)=0,x∈(0,π), x ∴y= >1,故选 C. sin x
答案 C

查缺补漏

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6.对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一 定不可能是
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( D ) B. 3 和 1 D.1 和 2

A.4 和 6 C.2 和 4

解析 ∵f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c,

且 c 是整数,∴f(1)+f(-1)=2c 是偶数. 在选项中只有 D 中两数和为奇数,不可能是 D.

查缺补漏

第三篇 2
1 ?5? f?6?的值为________ . 2 ? ?

7.已知

? ?sin πx,x≤0, f(x)=? ? ?f?x-1?+1,x>0,
?5? ?5 ? f?6?=f?6-1?+1 ? ? ? ?



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解析

? 1? ? π? =f?-6?+1=sin?-6?+1 ? ? ? ?

1 1 =- +1= . 2 2

查缺补漏

第三篇 2

8.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函
(-2,2) . 数, 且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是________
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解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|).
因为 f(x)<0,f(2)=0.所以 f(|x|)<f(2). 又因为 f(x)在(-∞,0]上是减函数, 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以|x|<2,所以-2<x<2.

查缺补漏
? ?log2x 9.已知函数f(x)= ? x ? ?3

第三篇 2
?x>0?, 且关于x的方程f(x)+x-a ?x≤0?

,+∞) . =0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是(1 ________
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解析 方程 f(x)+x-a=0 的实根也就是函 数 y=f(x)与 y=a-x 的图象交点的横坐标, 如图所示,
作出两个函数图象,显然当 a≤1 时, 两个函数图象有两个交点,

当 a>1 时,两个函数图象的交点只有一个. 所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).

查缺补漏
10.已知函数
2 ? ?ax +1,x≥0 f(x)=? ax ? ??a+2?e ,x<0

第三篇 2
为 R 上的单调函数,则

[-1,0) . 实数 a 的取值范围是________

解析
本 讲 栏 目 开 关

若 a=0,则 f(x)在定义域的两个区间内都是常数函

数,不具备单调性; 若 a>0,函数 f(x)在两段上都是单调递增的,要想使函数在
R 上单调递增,只要(a+2)e0≤1,即 a≤-1,与 a>0 矛盾, 此时无解; 若-2<a<0,则函数在定义域的两段上都是单调递减的,要 想使函数在 R 上单调递减,只要(a+2)e0≥1,即 a≥-1 即 可,此时-1≤a<0; 当 a≤-2 时,函数 f(x)不可能在 R 上单调. 综上所述,a 的取值范围是[-1,0).

查缺补漏

第三篇 2

11. f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值, 则常数 c 的值为______ 6 .
解析 f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2,
本 讲 栏 目 开 关

f′(2)=0?c=2 或 c=6,若 c=2,f′(x)=3x2-8x+4, 2 2 令 f′(x)>0?x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 3 3 2 2 故函数在(-∞, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2)上单调递 3 3 减, ∴x=2 是极小值点,故 c=2 不合题意,同样验证可知 c=6 符 合题意.

查缺补漏

第三篇 2

12.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. ? 1 ? (1)如果函数 g(x)的单调减区间为?-3,1?,求函数 g(x)的 ? ? 解析式;
本 讲 栏 目 开 关

(2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处 的切线方程; (3)若不等式 2f(x)≤g′(x)+2 的解集为 P,且(0,+∞)? P,求实数 a 的取值范围.
解 (1)g′(x)=3x2+2ax-1. 由题意 3x +2ax-1<0
2 2

? 1 ? 的解集是?-3,1?, ? ?

1 即 3x +2ax-1=0 的两根分别是- ,1. 3

查缺补漏
1 将 x=1 或- 代入方程 3x2+2ax-1=0 得 a=-1. 3
所以 g(x)=x3-x2-x+2. (2)由(1)知 g′(x)=3x2-2x-1,所以 g′(-1)=4,
本 讲 栏 目 开 关

第三篇 2

所以点 P(-1,1)处的切线斜率 k=g′(-1)=4,
所以函数 y=g(x)的图象在点 P(-1,1)处的切线方程为 y-1= 4(x+1),即 4x-y+5=0.

(3)因为(0,+∞)?P,所以 2f(x)≤g′(x)+2,即 2xln x≤3x2 3 1 +2ax+1 对 x∈(0,+∞)上恒成立,可得 a≥ln x-2x-2x对 x∈(0,+∞)上恒成立.

查缺补漏
3x 1 设 h(x)=ln x- - , 2 2x

第三篇 2

?x-1??3x+1? 1 3 1 则 h′(x)= - + 2=- . x 2 2x 2x2
本 讲 栏 目 开 关

1 令 h(x)=0,得 x=1 或 x=-3(舍). 当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0. 所以当 x=1 时,h(x)取得极大值也是最大值, h(x)max=-2,所以 a≥-2.
所以 a 的取值范围是[-2,+∞).


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