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2013届高三数学一轮复习45分钟基础训练卷(10)


基础训练卷(十三)

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,把答案填在答题卡相应位置) 1.在平面直角坐标系中,直线 x+ 3y-3=0 的倾斜角是________. 2.圆(x+2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆方程为________. 3.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x+y-2=0 与 x-7y-4=0,原点在等腰 三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为________. 4.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ________. 5.[2012·温州调研] 已知直线 3x-y+2m=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 m,n∈N*, 3,则 k 且 n-m<5,则满足条件的有序实数对(m,n)共有________个. 6.直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 的取值范围是________. 7.一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程 是________. 8.某圆拱桥的水面跨度是 20 m,拱高为 4 m.现有一船宽 9 m,在水面以上部分高 3 m,故通行无阻.近日水位暴涨了 1.5 m,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应 降低________ m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到 0.01 m) 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 9.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定 m,n 的值,使: (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2 ; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 2 13 13 ,则

c+2 a

的值为

10.[2012·淮安初期模拟] 已知圆 M 的方程为 x2+(y-2)2=1,直线 l 的方程为 x-2y
1

=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 线 CD 的方程. 2时,求直

11.已知圆 x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为 C,直线 l:y=x+m. (1)若 m=4,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2)若直线 l 是圆心下方的切线,当 a 在(0,4]变化时,求 m 的取值范围.

12. 如图 G13-1 所示,1、2 是通过城市开发区中心 O 的两条南北和东西走向的街道, l l 连接 M、N 两地之间的铁路线是圆心在 l2 上的一段圆弧.若点 M 在点 O 正北方向,且|MO| =3 km,点 N 到 l1、l2 的距离分别为 4 km,5 km. (1)建立适当的坐标系,求铁路线所在圆弧的方程; (2)若该城市的某中学拟在点 O 正东方向选址建分校,考虑环境问题,要求校址到点 O 的距离大于 4 km,并且铁路上任意一点到校址的距离不能少于 最近距离.(校址视为一个点) 26 km,求校址距点 O 的

图 G13-1
2

3

45 分钟滚动基础训练卷(十三) 1.150° [解析] 由 k=- ∴α=150°. 2.(x-2)2+y2=5 [解析] 圆心(-2,0)关于原点(0,0)的对称点是(2,0). 1 3.3 [解析] l1:x+y-2=0,k1=-1,l2:x-7y-4=0,k2= ,设底边为 l3:y= 7 3 3 得 tanα=- 3 3 ,又 0°≤α<180°,

kx. k1-k k-k2 k+1 7k-1 由题意,l3 到 l1 所成的角等于 l2 到 l3 所成的角于是有 = ? = , 1+k1k 1+k2k k-1 7+k
解得 k=3. 3 -2 -1 4.±1 [解析] 由题意得, = ≠ ,∴a=-4,c≠-2, 6 a c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2

c

由两平行线间的距离公式,得 解得 c=2 或-6,所以

?c ? ? +1? 2 13 ?2 ?
13 = 13



c+2 a

=±1.

5.4 [解析] 由题意可得,圆心到直线的距离等于圆的半径,即 2m-1=n,所以 2m-1

-m<5.因为 m,n∈N*,所以? 数对(m,n)共有 4 个.

? ?m=1, ?n=1 ?

或?

? ?m=2, ?n=2 ?

或?

? ?m=3, ?n=4 ?

或?

? ?m=4, ?n=8, ?

故有序实

? 3 ? 6.?- ,0? ? 4 ?
2

[解析] 由题可知圆心到直线的距离 d=
2

|3k-2+3| 1+k2



|3k+1| 1+k2

,则 MN=

? 3k+1? 4- 1+k2

≥2

3 3,解得- ≤k≤0. 4

7. [解析] 圆 C 的圆心 C 的坐标为(2,3), 4 半径 r=1.点 A(-1,1)关于 x 轴的对称点 A′ 的 坐 标 为 ( - 1 , - 1) . 因 A′ 在 反 射 线 上 , 所 以 最 短 距 离 为 |A′C| - r , 即 [2-? -1? ]2+[3-? -1? 8.1.22 ]2-1=4. [解析] 建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为 x2+(y-b)2=r2.

? ? ?100+b2=r2, ?b=-10.5, ∵圆经过点(10,0),(0,4),∴? 解得? ?? 4-b? 2=r2, ?r=14.5. ? ?
4

∴圆的方程是 x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4).令 x=4.5,得 y≈3.28( m). 故当水位暴涨 1.5 m 后,船身至少应降低 1.5-(3.28-3)=1.22 m,船才能通过桥洞. 9.[解答] (1)∵m2-8+n=0 且 2m-m-1=0, ∴m=1,n=7. (2)由 m·m-8×2=0 得 m=±4, 由 8×(-1)-nm≠0,n≠±2, 即 m=4,n≠-2 或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 2m+8m=0, 即 m=0 时 l1⊥l2,又- =-1,∴n=8. 8 [点评] 如果将直线的方程转化为斜截式, 则需要讨论字母系数, 但用 l1∥l2? A1B2=A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B2C1≠B1C2)和 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0 更便捷. 10.[解答] (1)设 P(2m,m),由题可知|MP|=2, 所以(2m)2+(m-2)2=4, 4 解之得 m=0 或 m= . 5

n

?8 4? 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P? , ?. ?5 5?
(2)易知 k 存在, 设直线 CD 的方程为 y-1=k(x-2), 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离 为 2 2 ,所以 2 2 = |-2k-1| 1 ,解得 k=-1 或 k=- , 7 1+k2

故所求直线 CD 的方程为 x+y-3=0 或 x+7y-9=0. 11.[解答] (1)∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0, ∴(x+a)2+(y-a)2=4a. ∴圆心为 C(-a,a),半径为 r=2

a.

设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d.

m=4 时,直线 l:x-y+4=0.
圆心 C 到直线 l 的距离 d= |-a-a+4| = 2 2|a-2|.

t2=(2 a)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10.
∴当 a=3 时,直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值为 2 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 |-a-a+m| 2 = |2a-m|, 2 2 10.

d=

|m-2a| ∵直线 l 是圆 C 的切线,∴d=r,即 =2 2
5

a.

∴m=2a±2 ∴m=2a-2

2a. 2a=( 2a-1)2-1. 2].

∵直线 l 在圆 C 的下方,

∵a∈(0,4],∴m∈[-1,8-4

12.[解答] (1)分别以 l1、l2 为 y 轴和 x 轴建立坐标系, 1 由已知得 M(0,3),N(4,5),故 kMN= ,又线段 MN 的中点为(2,4), 2 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y-4=-2(x-2), 令 y=0 得 x=4,故圆心 A 的坐标为(4,0),半径 r= ? 因此所求的圆 A 的方程为(x-4)2+y2=25, 故所求圆弧的方程为(x-4)2+y2=25(0≤x≤4,y≥3). (2)设校址选在 B(a,0)(a>4),则 ?
2≥

4-0?

2+?

0-3?

2=5,

x-a?

2+y2≥

26对 0≤x≤4 恒成立,

即 ?

x-a?

2+25-?

x-4?

26对 0≤x≤4 恒成立,

整理得(8-2a)x+a2-17≥0 对 0≤x≤4 恒成立, 令 f(x)=(8-2a)x+a2-17,由 a>4 可得 8-2a<0, 所以 f(x)在区间[0,4]上为减函数, 要使得(8-2a)x+a2-17≥0,当且仅当 a>4 和 f(4)≥0, 即 a>4 和(8-2a)×4+a2-17≥0,解之得 a≥5, 即校址应选在距 O 点最近 5 km 的地方.

6


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