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1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)教学设计

1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)教学设计
常德市二中 教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性,单调性,最值和对称性; 能力目标:理解正、余弦函数的奇、偶性单调性,最值和对称性,并能初 步运用正、余弦函数 的单调性比较大小,求正、余弦函数型的复合函数单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学 生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精 神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性,单调性和最值; 教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程: 一、 复习引入: 1.正、余弦函数的周期是多少?最小正周期呢? 2.函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ ) 的最小正周期是多少? 3.偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称 性呢? 二、探究新知: 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点 是什么? 薛湘惠

(1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如:f(- )= ,f( )=
? 3
1 2

? 3

1 ? ? ,即 f(- )=f( );…… 2 3 3

(多媒体演示)

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的 任一点,那么,与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上, 这时, 我们说函数 y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值 有什么关系?(多媒体演示) 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图 象关于原点对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关 于原点对称的点 (-x,-y) 也在函数 y=sinx 的图象上, 这时, 我们说函数 y=sinx 是奇函数。 思考:让学生用偶函数、奇函数的定义加以理论证明。 (由于 cos(-x)=cosx ∴f(-x)= f(x) ∴f(-x)= f(x)。 ) 2.单调性和最值 从 y=sinx,x∈[- ,
2

由于 sin(-x)=—sinx

? 3?
2

]的图象上可看出: (引导:为什么选这一段

图像,不选[0,2π ]?) 当 x∈[- , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 当 x∈[ ,
? 2
3? ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2

? 2

? 2

结合上述周期性可知:
? 2 ? 3? 其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上 2 2

正弦函数在每一个闭区间[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,

? 2

都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴和对称中心 引导学生认真观察正、余弦函数的图形,可知(多媒体演示引导): y=sinx 的对称轴为 x= k? ?
?
2

k∈Z ;

对称中心(kπ ,0) k∈Z

思考:正弦函数图像与余弦函数图像有什么关系,我们能通过这种关系直 接得出余弦函数的单调性, 最值和对称性吗?(由 sin(x+π /2)=cosx 可

知向左平移π /2 个单位可得出余弦函数图像) (学生分析得出后,再引导学生运用多媒体通过图形加以验证) 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从 -1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数, 其值从 1 减小到-1. y=cosx 的对称轴为 x= k? 4.理论迁移 例 3.例 1 求下列函数的最大值和最小值,并写出取最大值、最小值时自变 量 x 的集合。 (1)y=cosx+1,x∈R; (略) 例 4 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?
?
18 ) ? sin( ?

k∈Z, 对称中心为(π /2 +kπ ,0) k∈Z

(2)y=-3sin2x,x∈R。

?
10

)

② cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

(引导学生灵活运用诱导公式把角转化到一个单调区间内。一题多解,对比分 析) 例 5 求函数 y ? 2 sin( x ? ) 择) (小结复合函数单调性的判断的处理方案) 课外探究:你能求 y ? sin( ? x)
3
1 2

?

3 ,

x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间(视时间可选

?

1 2

x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间吗?

三、小 结:本节课学习了以下内容:正弦、余弦函数的性质 1、学习了正弦、余弦函数奇偶性,单调性,最大最小值 和对称性。 2、初步运用换元法解决正弦、余弦型函数的单调区间,最值,以及运用单调 性比较大小等问题。 四、课后作业:P46 A 组 2、4、5 五、10 分钟速测:奇数小组: P40 练习 1 (1)(3) , 3 (1),5(3), 6 偶数小组:P40 练习 1 (2)(4) , 3 六:教学反思: 三角函数教学两个难点:诱导公式的巧用与周期性的理解,始终贯穿整 章的教学内容。故我们在教学中要有意识的引导学生运用这两个武器去理解 和思考我们所学的教学内容,在此过程中精心的设计问题,引发学生的深入 思考,在有针对性地理性思维训练过程中,逐步突破难点,从而达到数学思 想方法的突破与发展。 (2),5(4), 6


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