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高中数学第三章指数函数和对数函数3.2.2指数运算的性质课件北师大必修1

新课标导学

数 学
必修① ·北师大版

第三章
指数函数和对数函数 §2 指数扩充及其运算性质
2.2 指数运算的性质

1

自主预习学案

2
3

互动探究学案

课时作业学案

自主预习学案

2010年11月1日,全国人口普查全面展开,而2000年我国约有13亿人口.我 国政府现在实行计划生育政策,人口年增长率较低.若按年增长率1%计算,到

2015年底,我国人口将增加多少?到2020 年底,我国人口总数将达到多少?如
果我们放开计划生育政策,年增长率是2%,甚至是5%,那么结果将会是怎样的 呢?会带来灾难性后果吗?

1.正整数指数幂的运算性质
am+n ; (1)am· an=_______
amn ; (2)(am)n=_______ anbn (3)(ab)n=_______.
m-n a ? _______ ,当m>n时 m ? a 1 ,当m=n时, (4)当 a≠0 时,有 n =?_______ a ? -(n-m) a ,当m<n时; ?_______

an an bn b≠0). (5)( ) =_______( b

以上 m,n∈N+ 2.实数指数幂的运算法则 a>0,b>0,m,n∈R,则
am+n ; (1)am· an=_______ amn ; (2)(am)n=_______ anbn (3)(ab)n=_______.

-x3 1.化简 的结果是 导学号 00814598 ( A ) x A.- -x C.- x B. x D. -x

[解析] 要使式子有意义,需-x3>0,故 x<0,所以原式=- -x.

81 -1 2.( ) 4 的值是 导学号 00814599 ( B ) 625 3 A. 5 3 C. 25 5 B. 3 25 D. 9 625 1 541 5 4 4 =( ) =[( ) ] = . 81 3 3

81 -1 [解析] ( ) 4 625

3.把根式化为幂的形式: a b
[解析] 4 a b =(a b
2 3 2 3

4

2 3

1 3 a2 b4 导学号 =_______.
1 =a2 3 b4

00814601

1 )4

2 =a4

3 b4

.

1 14 4.已知 m+ =4,则 m2+m-2 等于_______. 导学号 00814602 m
1 1 2 [解析] 由 m+ =4 得(m+ ) =16, m m 即 m2+m-2+2=16,所以 m2+m-2=14.

互动探究学案

命题方向1 ?利用指数的运算性质化简、求值
计算或化简. 导学号 00814603 (1)a3b2(2ab-1)3; (2)(0.064) 3 (3)
9 a2


1 3

4 1 70 -0.75 3 - -(- ) +[(-2) ] 3 +16 +|-0.01|2 ; 8

a ÷

-3

3

3 13 a · a (a>0).
-7

[ 思路分析 ]

先算乘方,开方,再算乘除,最后进行加减运算,含有根式

时,应先化为分数指数幂,再根据指数幂的运算性质计算.

[规范解答]

(1)原式=a3b223a3b-3=8a6b-1.
3


(2)原式=[(0.4) ] 143 . 80
1 (3)原式=[a3
×

1 3

-1+(-2) +2 +[(0.1)

-4

-3

2

1 ]2

1 1 =(0.4) -1+ + +0.1= 16 8
-1

9 1 2 · a3

×(-

3 1 ) 2 ]÷ [a2

×(-

7 1 ) 3 · a2

×

13 3 ]

9 =a6



3 6



7 6



13 6

=a0=1.

『规律总结』

在进行指数及根式的运算时,要熟练掌握指数的运算性

质,并能灵活运用,要注意以下几点:
(1)有括号先算括号里的,无括号先做指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分 数,先化成假分数.

(4)含有根式时,通常先将根式转化为分数指数幂再运算.
(5)尽可能用幂形式表示.

〔跟踪练习 1〕 导学号 00814604
1 计算:0.00814

+(4



3 4

) +( 8)


2



4 3

-16-0.75.
)

[解析]

1 4× 原式=(0.3) 4

3 3 4 3 - ×(- 2 +(2 2 ) +(22 ) 3 -24 4

=0.3+2-3+2-2-2-3 =0.3+0.25 =0.55.

命题方向2 ?利用分数指数幂进行条件求值
已知
1 a2

+a



1 2

=3,求下列各式的值. 导学号 00814605
3 3 - a2 -a 2
1 a2 1 - -a 2

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)

.

[思路分析] 从已知条件中解出 a 值代入后进行求值,显然很繁琐,我们设法 利用整体之间联系去求解.

[规范解答]

1 (1)a2

+a



1 2

=3 将两边平方得

a1+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将上式平方,有 a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47.
3 3 1 1 - - 3 (3)由于 a2 -a 2 =(a2 ) -(a 2 )3 所以有 3 3 - a2 -a 2
1 a2 1 - -a 2 1 ?a2



-a



1 2

??a+a
1 a2

-1

1 +a2

· a



1 2

?

-a



1 2

=a+a-1+1=8.

『规律总结』 1.在该类求值化简中,要注意式子的整体变形,整体代换是数 学重要的思想方法.同时对平方差,完全平方,立方和,立方差,和立方等公式 要熟练使用,起到化繁为简、化难为易的效果. 2.本题也可将 的因式.
1 a2

作变元,设

1 a2

=t,首先用 t 表示因式然后再化简关于 t

〔跟踪练习 2〕 导学号 00814606 已知 2x-2-x=2,则 8x 的值为 7+5 2 .
[解析] 由已知条件可解得 2x= 2+1, 于是 8x=(2x)3=( 2+1)3=7+5 2.

幂的综合问题
有关条件等式的证明问题,首先对条件进行化简或变形,对于连等式,有
时要引进字母参数,设而不求,通过转化,证明等式的左右两端相等,要注意 引用分数指数幂的运算性质.

1 1 1 已知:ax =by =cz ,且 + + =1. 导学号 00814607 x y z
3 3 3

求证:(ax +by +cz

2

2

2

1 )3

1 =a3

1 +b3

1 +c3

.

[思路分析 ]

令 ax3 =by3 =cz3 =k,用等量代换分别表示出所证等式左右两

边的量,最后化简判断.

k k k 2 2 [规范解答] 设 ax =by =cz =k,则 ax = ,by = ,cz = . x y z
3 3 3 2

1 k k k1 1 1 1 1 于是左边=( + + )3 =[k( + + )]3 =k3 . x y z x y z 1 1 1 k 1 k 1 k 1 1 1 右边=( 3)3 +( 3)3 +( 3)3 =k3 ( + + )=k3 . x y z x y z

左边=右边, ∴(ax +by +cz
2 2 2

1 )3

1 =a3

1 +b3

1 +c3

.

『规律总结』 (1)设辅助未知数是对数学问题的“深层次”认识的表现, 把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要方法.

(2)对于“连等式”,常令它等于一个常数k,然后以k为“媒介”化简,这
样可以很容易地解决问题.

求值[(1- 2)

2

1 ]2

-(1+ 2)-1-1+213÷ 47 导学号 00814608

1 [错解] 原式=1- 2- -1+213÷ 214 1+ 2 =1- 2-( 2-1)-1+2-1 3 = -2 2 2

[辨析] 错解的原因是忽略了[(1- 2)

2

1 ]2
-1

= ?1- 2?2=|1- 2|= 2-1.

1 [正解] 原式= 2-1-( 2-1)-1+2 =- . 2

1.计算(2a b 3 2 A.- b 2 3 7 C.- b3 2

-3



2 3

)· (-3a b)÷ (4a b

-1

-4



5 3

)的结果为 导学号 00814609 ( A )

3 2 B. b 2 3 7 D. b3 2
+1+

2×?-3? -3-1+4 -2 [解析] 原式= · a b 3 4 3 0 2 3 2 =- a b =- b . 2 2

5 3

2.将( A.x C.x


1 x3

3 -2 -8 · x ) 5 化成分数指数幂的形式是 导学号 00814610 ( B )
4 B.x15 3 D.x5

1 2



4 15
1 原式=[(x3


[解析]
1 =[(x3

· x



2 3

1 )2

]



8 5

2 3

1 )2
×(-

]



8 5

=x



1 3

×

1 2

8 ) 5

4 =x15

.

3.若(x4)3=e4,则 x 等于 导学号 00814611 ( C )
1 A.e3 1 C.± e3 1 B.-e3 1 D.e4

[解析] ∵(x4)3=(x3)4=e4,∴x3=± e,
1 ∴x=± e3

,故选 C.

1 -4 1 -1 0 -4 4.计算:0.25×(- ) -4÷ 2 -( ) 2 =_______. 导学号 00814612 2 16

1 2 1 -4 1 4×(-1 2 [解析] 原式=( ) (- ) -4-( ) 2 2 2 12 4 1 -2 2 =( ) · 2 -4-( ) =2 -4-22=-4. 2 2

)


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