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北京市海淀区2017年高三二模数学理科试题(word版含答案)


北京市海淀区高三二模

数学(理科)2017.5
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.若集合 A ? {?2,0,1} , B ? {x | x ? ?1 或 x ? 0} ,则 A ? B ? A. {?2} B. {1} C. {?2,1} D. {?2,0,1}

2 2.二项式 (x ? )6 的展开式的第二项是 x

A. 6 x 4 B. ?6 x 4 C. 12 x 4

D. ?12 x 4

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3, ?

A. 11B. 5 C. 4

D. 2

4.圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 与曲线 y= x ? 1 的公共点个数为 A.4 B.3C.2 D.0

5.已知 {an } 为无穷等比数列,且公比 q ? 1 ,记 Sn 为 {an } 的前 n 项和,则下面结论正确的是 A. a3 ? a2 B. a1 +a2 ? 0 C. {an 2 } 是递增数列 D. Sn 存在最小值

6.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,则“ x1 ? x2 ? 0 ”是“ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置) ,俯视图分别为图 1、图 2、图 3,则至少存在 .... 一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是

图1
A. ①B.①②

图2
C.②③D.①②③

图3

8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心) ,两圆盘上分

y2 x 2 x1 x3 x 4 y3

y1

y4

别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为 x1 , x2 , x3 , x4 ,大圆盘上所写 的 实 数 分 别 记 为 y1 , y2 , y3 , y4, 如 图 所 示 . 将 小 圆 盘 逆 时 针 旋 转 i(i ? 1, 2,3, 4) 次 , 每 次 转 动 90? , 记 为 转 动 i 次 后 各 区 域 内 两 数 乘 积 之 和 , 例 如 T1 ? x1 y2 ? x2 y3 ? x3 y4 ? x4 y1 . 若 Ti (i ? 1, 2, 3, 4)
x1 +x2 +x3 ? x4 ? 0 , y1 +y2 +y3 +y4 ? 0 ,则以下结论正确的是

A. T1 , T2 , T3 , T4 中至少有一个为正数 B. T1 , T2 , T3 , T4 中至少有一个为负数 C. T1 , T2 , T3 , T4 中至多有一个为正数 D. T1 , T2 , T3 , T4 中至多有一个为负数

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.在极坐标系中,极点到直线 ? cos? ? 1 的距离为. 10.已知复数 z ?
1? i ,则 | z |? ____. i

11.在 ?ABC 中, A ? 2B , 2a ? 3b ,则 cos B _______.
1 1 n ?1 n ) ; f ( x) 在区间 ( ? 2x ,则 f ( ) ____ f (1) (填“ ? ”或“ ? ” , ) 上存在零点, x n n ?1 2 则正整数 n ? _____. ??? ? ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 13.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 . 若 DA ? (CA ? CB) ,则 AB ? DC =____. 2

12.已知函数 f ( x) ?

14.已知椭圆 G:

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 6) 的两个焦点分别为 F1 和 F2 ,短轴的两个端点分别为 B1 和 B2 , 6 b2

点 P 在椭圆 G 上,且满足 PB1 ? PB2 ? PF1 ? PF2 . 当 b 变化时,给出下列三个命题: ①点 P 的轨迹关于 y 轴对称; ②存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个; ③ | OP | 的最小值为 2 , 其中,所有正确命题的序号是_____________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2x cos
3π 3π ? cos 2x sin . 5 5

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和对称轴的方程;
π (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值. 2

16.(本小题满分 13 分) 为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程, 并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与, 每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程). 本次调查结果整理成条形图如下.
人数 400

300

200

100

0

课程A 课程B 课程C 课程D 课程E 课程F 课程G 课程H 课程

上图中,已知课程 A, B, C , D, E 为人文类课程,课程 F , G , H 为自然科学类课程.为进一步研究学生 选课意向, 结合上面图表, 采取分层抽样方法从全校抽取 1% 的学生作为研究样本组(以下简称 “组 M” ). (Ⅰ)在“组 M”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少? (Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动,从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取 4 名 同学前往,其中选择课程 F 或课程 H 的同学参加本次活动,费用为每人 1500 元,选择课程 G 的 同学参加,费用为每人 2000 元. (ⅰ)设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程 G 的人数,求随机变量 X 的分布列; (ⅱ)设随机变量 Y 表示选出的 4 名同学参加科学营的费用总和,求随机变量 Y 的期望.

17.(本小题满分 14 分) 如图, 三棱锥 P ? ABC , 侧棱 PA ? 2 , 底面三角形 ABC 为正三角形, 边长为 2 , 顶点 P 在平面 ABC 上的射影为 D ,有 AD ? DB ,且 DB ? 1. P (Ⅰ)求证: AC // 平面 PDB ; (Ⅱ)求二面角 P ? AB ? C 的余弦值; (Ⅲ)线段 PC 上是否存在点 E 使得 PC ⊥平面 ABE , 如果存在,求
CE 的值;如果不存在,请说明理由. CP

A D B

C

18.(本小题满分 14 分) 已知动点 M 到点 N (1,0) 和直线 l: x ? ?1 的距离相等.

(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)已知不与 l 垂直的直线 l ' 与曲线 E 有唯一公共点 A,且与直线 l 的交点为 P ,以 AP 为直径作圆
C .判断点 N 和圆 C 的位置关系,并证明你的结论.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? eax ? x . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求证:存在实数 x0 使 f ( x0 ) ? 1 .

20.(本小题满分 13 分) 对于无穷数列 {an } ,记 T ? {x | x ? a j ? ai , i ? j} ,若数列 {an } 满足: “存在 t ? T ,使得只要 am ? ak ? t ( m, k ? N* 且 m ? k ) ,必有 am?1 ? ak ?1 ? t ” ,则称数列 {an } 具有性质 P (t ) .
n ? 2, ?2n, (Ⅰ)若数列 {an } 满足 an ? ? 判断数列 {an } 是否具有性质 P(2) ?是否具有性质 P(4) ? ? 2n ? 5, n ? 3,

(Ⅱ)求证: “ T 是有限集”是“数列 {an } 具有性质 P(0) ”的必要不充分条件; (Ⅲ) 已知 {an } 是各项为正整数的数列, 且 {an } 既具有性质 P(2) , 又具有性质 P(5) , 求证: 存在整数 N , 使得 aN , aN ?1 , aN ? 2 ,?, aN ? k ,? 是等差数列.

北京市海淀区高三二模参考答案
数学(理科) 2017.5 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

C

D

B

D

C

A

B

A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 1 12. ? , 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2x cos
3π 3π 3π ? cos 2 x sin ? sin(2 x ? ) 5 5 5 2π ?π, 2

10. 2 13. 2

11.

3 4

14.①③

所以 f ( x) 的最小正周期 T ?

因为 y ? sin x 的对称轴方程为 x ? kπ ?

π ,k ?Z , 2

3π π ? ? kπ, k ? Z , 5 2 11π 1 得x? ? kπ, k ? Z . 20 2
令 2x ?

11π 1 ? kπ, k ? Z . 20 2 3π π 3π π 或者: f ( x) 的对称轴方程为 2 x ? ? ? 2kπ 和 2 x ? ? ? ? 2kπ, k ? Z , 5 2 5 2 11π π 即x? ? kπ 和 x ? ? kπ, k ? Z . 20 20
所以 f ( x) 的对称轴方程为 x ?
π (Ⅱ)因为 x ?[0, ] , 2

所以 2 x ? [0, π] , 所以 2x ? 所以,当 2 x ?
3π 3π 2π ?[? , ] 5 5 5 3π π π 时, ?? 即x? 5 2 20

π f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 ?1 . 2

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300) ? 1%=12(人); 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300) ? 1%=8(人). (Ⅱ)(ⅰ)依题意,随机变量 X 可取 0,1,2.
p( X ? 0) ?
0 3 1 2 C64C2 C6 C2 4 C62C2 3 3 ? p ( X ? 1) ? ? p ( X ? 2) ? ? . ; ; C84 14 C84 14 C84 7

故随机变量 X 的分布列为

X p

0
3 14

1
4 7

2
3 14

(ⅱ)法 1:依题意,随机变量 Y =2000 X +1500 (4 ? X ) =6000+500 X , 所以随机变量 Y 的数学期望为 E( Y )=6000+500E( X ) =6000+500( 0 ?
3 4 3 ? 1? ? 2 ? ) 14 7 14

=6500. (ⅱ)法 2:依题意,随机变量 Y 可取 6000,6500,7000. 所以随机变量 Y 的分布列为 Y p 所以随机变量 Y 的数学期望为 E( Y )= 6000 ? =6500. 17.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 AD ? DB ,且 DB ? 1, AB ? 2 ,所以 AD ? 3 , 所以 ?DBA ? 60? . 因为 ?ABC 为正三角形,所以 ?CAB ? 60? , 又由已知可知 ACBD 为平面四边形,所以 DB // AC . 因为 AC ? 平面 PDB , DB ? 平面 PDB , 所以 AC // 平面 PDB . (Ⅱ)由点 P 在平面 ABC 上的射影为 D 可得 PD ? 平面 ACBD , 所以 PD ? DA , PD ? DB . 如图,建立空间直角坐标系,则由已知可知 B(1,0,0) ,
z
P y A

6000
3 14

6500
4 7

7000
3 14

3 4 3 ? 6500 ? ? 7000 ? 14 7 14

A(0, 3,0) , P(0,0,1) , C(2, 3,0) .
平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1) , 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 PAB 的一个法向量,则
??? ? ? ?? x ? 3 y ? 0, ? ? BA ? m ? 0, 由 ? ??? 可得 ? ? ? ? ? ? x ? z ? 0, ? BP ? m ? 0
D

C
B

x

令 y ? 1 ,则 x ? 3, z ? 3 ,所以平面 PAB 的一个法向量 m ? ( 3,1, 3) ,

所以 cos ? m, n ??

m?n 3 21 , ? ? | m || n | 7 7 ?1

21 . 7 uuu r uuu r (Ⅲ)由(Ⅱ)可得 AB ? (1, ? 3,0) , PC ? (2, 3, ?1) ,

所以二面角 P ? AB ? C 的余弦值为 ?

uuu r uuu r 因为 PC ? AB ? (2, 3, ?1) ? (1, ? 3,0) ? ?1 ? 0 ,
所以 PC 与 AB 不垂直, 所以在线段 PC 上不存在点 E 使得 PC ⊥平面 ABE .

18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设动点 M ( x, y ) , 由抛物线定义可知点 M 的轨迹 E 是以 N (1,0) 为焦点,直线 l: x ? ?1 为准线的抛物线, 所以轨迹 E 的方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)法 1:由题意可设直线 l ' : x ? my ? n ,

? ? x ? my ? n, 由? 2 可得 y 2 ? 4my ? 4n ? 0 (*) , ? ? y ? 4x
因为直线 l ' 与曲线 E 有唯一公共点 A, 所以 ? ? 16m2 ? 16n ? 0 ,即 n ? ? m 2 . 所以(*)可化简为 y 2 ? 4my ? 4m2 ? 0 , 所以 A(m2 ,2m) , 令 x ? ?1 得 P(?1, ? 因为 n ? ? m 2 ,
uuu r uuu r 1? n 所以 NA ? NP ? (m2 ? 1, 2m) ? (?2, ? ) ? ?2m2 ? 2 ? 2 ? 2n ? 0 m 1? n ), m

所以 NA ? NP , 所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上. 法 2:依题意可设直线 l ' : y ? kx ? b,(k ? 0) ,

? ? y ? kx ? b, 由? 2 可得 k 2 x2 ? 2(bk ? 2) x ? b2 ? 0 (*) , ? ? y ? 4x
因为直线 l ' 与曲线 E 有唯一公共点 A,且与直线 l 的交点为 P ,

? k ? 0, ? k ? 0, 所以 ? 即? ? ? ? 0, ?bk ? 1,

所以(*)可化简为 k 2 x2 ? 4x ? 所以 A(

1 ?0, k2

1 2 , ). k2 k

1 令 x ? ?1 得 P(?1, ? k ) , k uuu r uuu r 1 2 1 ?2 2 因为 NA ? NP ? ( 2 ? 1, ) ? (?2, ? k ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , k k k k k

所以 NA ? NP , 所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上.

19.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? aeax ? 1 , 因为曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直, 所以切线 l 的斜率为 2, 所以 f '(0) ? 2 , 所以 a ? 3 . (Ⅱ)法 1:当 a ? 0 时,显然有 f (1) ? ea ? 1 ? 0 ? 1 ,即存在实数 x0 使 f ( x0 ) ? 1 ; 当 a ? 0, a ? 1 时,由 f '( x) ? 0 可得 x ?
1 1 ln , a a

1 1 1 1 所以在 x ? (??, ln ) 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??, ln ) 上递减; a a a a 1 1 1 1 x ? ( ln , ??) 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( ln , ??) 上递增 a a a a 1 1 1 所以 f ( ln ) ? (1 ? ln a) 是 f ( x) 的极小值. a a a

由函数 f ( x) ? eax ? x 可得 f (0) ? 1,
1 1 由 a ? 1 可得 ln ? 0 , a a 1 1 所以 f ( ln ) ? f (0) ? 1 , a a

综上,若 a ? 1 ,存在实数 x0 使 f ( x0 ) ? 1 . (Ⅱ)法 2:当 a ? 0 时,显然有 f (1) ? ea ? 1 ? 0 ? 1 ,即存在实数 x0 使 f ( x0 ) ? 1 ;

当 a ? 0, a ? 1 时,由 f '( x) ? 0 可得 x ? 1 ln 1 , a a 所以在 x ? (??, 1 ln 1 ) 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??, 1 ln 1 ) 上递减; a a a a
1 1 1 1 x ? ( ln , ??) 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( ln , ??) 上递增. a a a a

所以 f ( 1 ln 1 ) ? 1 ? ln a 是 f ( x) 的极小值. a a a
x 设 g ( x) ? 1 ? ln x ,则 g '( x) ? ? ln ( x ? 0) ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 x x2

x
g '( x) g ( x)

(0,1)

1
0 极大值

(1, ??)

+ ↗



所以当 x ? 1 时 g ( x) ? g (1) ? 1 ,
1 1 所以 f ( ln ) ? 1 , a a

综上,若 a ? 1 ,存在实数 x0 使 f ( x0 ) ? 1 .

20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)数列 {an } 不具有性质 P(2) ; 具有性质 P(4) . T ? {?1, 0,1} 是有限集, (Ⅱ) (不充分性) 对于周期数列 1,1, 2, 2,1,1, 2, 2,L , 但是由于 a2 ? a1 ? 0, a3 ? a2 ? 1 , 所以不具有性质 P(0) ; (必要性)因为数列 {an } 具有性质 P(0) , 所以一定存在一组最小的 m, k ? N* 且 m ? k ,满足 am ? ak ? 0 ,即 am ? ak 由性质 P(0) 的含义可得 am?1 ? ak ?1 , am? 2 ? ak ? 2 ,L , a2m?k ?1 ? am?1 , a2m?k ? am ,L 所以数列 {an } 中,从第 k 项开始的各项呈现周期性规律: ak , ak ?1 ,L , am?1 为一个周期中的各项, 所以数列 {an } 中最多有 m ? 1 个不同的项,
2 所以 T 最多有 Cm ?1 个元素,即 T 是有限集.

(Ⅲ)因为数列 {an } 具有性质 P(2) ,数列 {an } 具有性质 P(5) , 所以存在 M ', N ' ? N* ,使得 aM '? p ? aM ' ? 2 , aN '?q ? aN ' ? 5 ,其中 p, q 分别是满足上述关系式的最小的 正整数, 由性质 P (2), P(5) 的含义可得 ?k ? N , aM '? p?k ? aM '?k ? 2, aN '?q?k ? aN '?k ? 5 , 若 M ' ? N ' ,则取 k ? N '? M ' ,可得 aN '? p ? aN ' ? 2 ; 若 M ' ? N ' ,则取 k ? M '? N ' ,可得 aM '?q ? aM ' ? 5 . 记 M ? max{M ', N '} ,则对于 aM ,有 aM ? p ? aM ? 2 , aM ?q ? aM ? 5 ,显然 p ? q ,

由性质 P (2), P(5) 的含义可得 ?k ? N , aM ? p?k ? aM ?k ? 2, aN ?q?k ? aN ?k ? 5 , 所以 aM ?qp ? aM ? (aM ?qp ? aM ?(q?1) p ) ? (aM ?(q?1) p ? aM ?(q?2) p ) ?L ? (aM ? p ? aM ) ? 2q

aM ?qp ? aM ? (aM ? pq ? aM ?( p?1)q ) ? (aM ?( p ?1)q ? aM ?( p ?2)q ) ?L ? (aM ?q ? aM ) ? 5 p
所以 aM ?qp ? aM ? 2q ? aM ? 5 p . 所以 2q ? 5 p , 又 p, q 是满足 aM ? p ? aM ? 2 , aM ?q ? aM ? 5 的最小的正整数, 所以 q ? 5, p ? 2 , aM ? 2 ? aM ? 2, aM ?5 ? aM ? 5 , 所以 ?k ? N , aM ? 2? k ? aM ? k ? 2, aM ?5? k ? aM ? k ? 5 , 所以 ?k ? N , aM ?2k ? aM ?2( k ?1) ? 2 ?L ? aM ? 2k , aM ?5k ? aM ?5(k ?1) ? 5 ? L ? aM ? 5k , 取 N ? M ? 5 ,则 ?k ? N , 所以,若 k 是偶数,则 aN ? k ? aN ? k ; 若 k 是奇数,则 aN ?k ? aN ?5?(k ?5) ? aN ?5 ? (k ? 5) ? aN ? 5 ? (k ? 5) ? aN ? k , 所以 ?k ? N , aN ? k ? aN ? k 所以 aN , aN ?1 , aN ? 2 ,?, aN ? k ,? 是公差为 1 的等差数列.


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