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四川省成都市六校协作体2012-2013学年高一数学下学期期中试题


四川省成都市六校协作体 2012-2013 学年高一数学下学期期中试 题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分 钟。 注意事项: 1.请将第Ⅰ卷选择题答案涂在机读卡上对应栏内。 2.请将第Ⅱ卷非选择题答案写在答题卡相应的位置内。 3.交卷时只交机读卡和答题卡。 第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目的要求) 1、数列 1,-3,5,-7,9,……的一个通项公式为 A. an ? 2n ? 1 C. an ? (?1)n (2n ? 1) 2、 (文科做 )不等式 x ? 1≤0 的解集为 ... B. an ? (?1)n (1 ? 2n) D. an ? (?1)n (2n ? 1)

(-?, 1] A.

B. [-1,1]

(-?,0] C.

D. [0,1]

2、 (理科做 )不等式 x x ? 1≤0 的解集为 ...

(-?, 1] A.

B. [-1,1]

(-?,0] C.

D. [0,1]

3、已知 ?ABC 中,AB=AC=5,BC=6,则 ?ABC 的面积为 A.12 B.15 C.20 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A. a ? 1, b ? 2, c ? 3 C. a ? 1, b ? 2, ?A ? 90

D.25

B. a ? 1, b ? 2, ?A ? 30 D. b ? c ? 1, ?B ? 45

5、制作一个面积为 1 m 2 ,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经 济(够用,又耗材最少)的是 A. 4.6 m B. 4.8 m

C. 5 m

D. 5.2 m

6、设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 : S5 ? 1: 2 ,则 S15 : S5 的值为

1 3 D. 2 4 1 7、 (文科做 )在数列 ?an ? 中, a1 ? ?2 , an ?1 ? 1 ? ,则 a2013 的值为 ... an
A. B. C.

1 3

2 3

-1-

A. ?2

B.

3 2

C.

1 3

D.

7、 (理科做 )已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?2 , an ?1 ? 1 ? ...

1 ,则 S2013 的值为 an
D. ?

1 2

A.

671 6

B. ?

671 6

C.

671 3

671 3

8、 飞机沿水平方向飞行, 在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30°, 向前飞行 10000 米, 到达 B 处,此时测得目标 C 的俯角为 75°,这时飞机与地面目标的距离为 A.5000 米 B.5000 2 米 C.4000 米 D. 4000 2 米

9、 (文科做 )已知 ?3 ? a ? ?2 , 3 ? b ? 4 ,则 ...

a2 的取值范围为 b
C. ( , )

A. (1, 3)

B. ( , )

4 9 3 4

2 3 3 4

D. ( , 1) ) D. ( ? , )

1 2

9、 (理科做 )已知 ?3 ? a ? 2 , 3 ? b ? 4 ,则 ... A. ( ?1,

a 的取值范围为( b
C. ( ?1,

1 ) 2

B. ( ? , )

3 2 4 3

2 ) 3

3 1 4 2

10、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 且满足 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,则

S1 S2 , , a1 a2

,

S15 中最大 a15

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 注意事项: 请用黑色签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则 ?an ? 的通项 an = 12、已知 a,b 为正实数,且 a ? 2b ? 1 ,则 .

1 1 ? 的最小值为 a b

-2-

? y ? 2x ? 13、已知实数 x , y 满足 ? y ? ?2 x ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?x ? 3 ?
14、 (文科做 )已知 Δ ABC 中,A:B:C=1:2:3,a=1,则 ... 14、 (理科做 )已知 Δ ABC 中,A:B:C=1:2:3,a=1,则 ... 15、下列说法中: ①在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 cos A ? cos B ; ②已知数列 ?an ? 为等差数列,若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则有 am ? an ? a p ? aq ; ③已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则数列 ?an ? bn ?、 ?an ? bn ? 也为等比数列; ④若 0 ? x ?

a = sin A a ? 2b ? c = sin A ? 2sin B ? sin C

?
2

,则函数 f ( x ) ? cos2 x ?

3 的最大值为 1 ? 2 3 ; 2sin 2 x

其中正确的是________________(填正确说法的序号) 三、解答题(共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

A、 P 两棵树之间的距离各为多少?

17、 (本小题满分 12 分)等差数列 ?an ? 中, a1 ? 23 ,公差 d 为整数,若 a6 ? 0 , a7 ? 0 . (1)求公差 d 的值; (2)(文 科做 )求通项公式 an 。 . ..

(2)(理科做 )求前 n 项和 Sn 的最大值; ...

-3-

18 、 ( 本 小 题 满 分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足

c sin A ? a cosC.
(1)求角 C 的大小; (2)求 3sin A ? cos( B ? C) 的取值范围.

19、 (本小题满分 12 分) 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米 ? 50 ? x ? 100 ?(单位:千米/小时) .假设 汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 (2 ? (Ⅰ)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 20、 (本小题满分 13 分)已知不等式 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 (?1, n) ,
2

x2 ) 升,司机的工资是每小时 14 元. 360

(1)求 m ? 2 n 的值; (2) (文科做 )解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? n) x ? 3ma ? 0 (a ? R) ... (2) (理科做 )解关于 x 的不等式: ax2 ? n ? 1 ? (m ? 1) x ? 2ax( a ? 2) ... 21、 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: a1 ? (1)求 a2 , a3 ; (2) 证明数列 ?

1 bn . , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 1 ? an 2

?1? ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; a ? n?

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,求实数 ? 为何值时 4? Sn ? bn 恒成立。 成都市六校协作高 2012 级第二学期期中考试 参考答案

由正弦定理:

AP 100 ? sin 60 sin 45

? AP ? 50 6,

…………… 5 分

(2) ?QAB 中, ?ABQ ? 90 , ∴ AQ ? 100 2,
-4-

?PAQ ? 75 ? 45 ? 30 ,
由余弦定理: PQ2 ? (50 6)2 ? (100 2)2 ? 2 ? 50 6 ?100 2 cos30 ∴ PQ ? 5000 ? 50 2 . …………… 10 分

? 5000,

答:P、Q 两棵树之间的距离为 50 2 米,A、P 两棵树之间的距离为 50 6 米。……12 分 17、解: (1)

a6 ? 0 , a7 ? 0

23 ? d ? ? ? 23 ? 5d ? 0 23 ? 5 ? 23 ?? ?d ?? ,解得: ? , ? ? 5 6 ?23 ? 6d ? 0 ? d ? ? 23 ? 6 ?
公差 d 为整数,? d ? ?4

18、 解: (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C ,因为 0 ? A ? ? 所以 sin A ? 0 ,从而 sin C ? cos C ,又 cos C ? 0 ,所以 tan C ? 1 ,则 C ? (2) 3sin A ? cos( B ? C) ? 3sin A ? cos(? ? A) = 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ?

?
4

) 6 3? ? ? 11? , ? A? ? 又0 ? A ? , 4 6 6 12
综上所述, 3sin A ? cos( B ? C ) 的取值范围 ( 19、解: (Ⅰ)由题意得,行驶时间为

?

6? 2 ,2] . 2

130 小时, x

?y? ?

130 ? x2 ? 130 ?? 2 ? x ? ?50,100? ? ? 2 ? 14 ? x ? 360 ? x

2340 13x ? ? x ? ?50,100?? x 18
13 x 2340 ? 0, 18 x
-5-

(Ⅱ)由题意得,

由基本不等式可得, y ? 当且仅当

2340 13x 2340 13x ? ?2 ? ? 26 10 x 18 x 18

13 x 130 ?18 ? 即 x ? 18 10 ??50,100? 时等号成立 18 x
2

20、解: (1)由不等式 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 (?1, n) 知

(2) (文科做)由(1)知关于 x 不等式 x2 ? (a ? n) x ? 3ma ? 0 (a ? R) 可以化为

x2 ? (a ? 3) x ? 3a ? 0 (a ? R) ,
即 ( x ? 3)( x ? a ) ? 0 故当-a>3,即 a<-3 时,不等式的解集为 x | x ? 3, 或x ? ?a ; 当-a<3,即 a>-3 时,不等式的解集为 x | x ? ?a, 或x ? 3 ; 当-a=3,即 a=-3 时,不等式的解集为 ?x | x ? 3? (2) (理科做)解:原不等式化为 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 , ① 当 a ? 0 时,原不等式化为 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 ;

?

?

?

?

2 2 ,解得 ? x ? 2 ; a a 2 2 2 ③ 当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ? ,解得 x ? 或 x ? 2 ; a a a
② 当 a ? 0 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ?
2 ④ 当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2) ? 0 ,解得 x ? R 且 x ? 2 ;

2 a

⑤当 1 ? a ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ? 综上所述,当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ?x | x ? 2? ;

2 a

2 2 ,解得 x ? 或 x ? 2 ; a a

-6-

当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? x |

? ?

2 ? ? x ? 2? ; a ?



1 1 ? ?1 an ?1 an
∴数列{

1 }是以 4 为首项,1 为公差的等差数列 an

……………6 分



1 ? 4 ? ( n ? 1) ? 3 ? n an
1 n?3
an ?
∴ bn ? 1 ?

an ?
(3)

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

1 n?3

∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an?1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ? 4 ?5 5?6 ( n ? 3)( n ? 4) 4 n ? 4 4( n ? 4)
……………10 分

∴ 4? Sn ? bn ?

?n
n?4

?

n ? 2 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? n?3 ( n ? 3)( n ? 4)

由条件可知 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件 设

f (n) ? (? ? 1)n2 ? 3(? ? 2)n ? 8

当 ? ? 1 时, f ( n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立,

-7-

-8-


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