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北京市2006年高级中等学校招生统一考试(课标A卷)数学试卷参考答案


年高级中等学校招生统一考试(课标A 北京市 2006 年高级中等学校招生统一考试(课标A卷) 数学试卷答案及评分参考
) 一,选择题(本题共 32 分,每小题 4 分. 选择题 1 2 3 4 题号 答案 题号 答案 A 9 C A 10 D ) 二,填空题(本题共 16 分,每小题 4 分. 填空题 11 10 26 12 30 5 B 6 C 7 D 8 B

m≤

9 4

2

) 三,解答题(本题共 30 分,每小题 5 分. 解答题

1 13.解: 12 + 3 ( 2006) + 2
0

1

= 2 3 + 3 1 + 2 4 分 = 1 + 3 3 . 5 分
14.解:由不等式 3 x 1 < 5 解得 x < 2 . 2 分 由不等式 2 x + 6 > 0 解得 x > 3 . 4 分 则不等式组的解集为 3 < x < 2 . 5 分 15.解: ( x + 1) + 2 x ( x 1) = 2( x + 1)( x 1) . 2 分

x + 1 + 2 x 2 2 x = 2 x 2 2 . 3 分 x = 3 . 4 分 经检验 x = 3 是原方程的解. 所以原方程的解是 x = 3 . 5 分 16.证明:因为 AB ‖ ED , 则 ∠A = ∠D . 1 分 又 AF = DC , 则 AC = DF . 2 分 在 △ ABC 与 △DEF 中,

AB = DE, 3 分 ∠A = ∠D, AC = DF,
所以 △ ABC ≌△DEF . 4 分 所以 BC = EF . 5 分 17.解: x( x 2 x) + x 2 (5 x) 9

= x3 x 2 + 5 x 2 x 3 9 2 分

= 4 x 2 9 . 3 分
当 2 x 3 = 0 时,原式 = 4 x 2 9 = (2 x + 3)(2 x 3) = 0 . 5 分 18.解:如图,过点 D 作 DF ‖ AB 交 BC 于点 F . 1 分 因为 AD ‖ BC , 所以四边形 ABFD 是平行四边形. 2 分 所以 BF = AD = 1 . D 由 DF ‖ AB , A

E

得 ∠DFC = ∠ABC = 90 .
o

在 Rt△DFC 中, ∠C = 45 , CD = 2 2 ,
o

B F CF 由 cos C = , CD 求得 CF = 2 . 3 分 所以 BC = BF + FC = 3 . 4 分
在 △BEC 中, ∠BEC = 90 ,
o

C

sin C =
求得 BE =

BE . BC

3 2 . 5 分 2

) 四,解答题(本题共 20 分,第 19 题 6 分,第 20 题 5 分,第 21 题 5 分,第 22 题 4 分. 解答题 19.解: (1)证明:如图,连结 OA . 因为 sin B =

1 , 2
o

B O C D

所以 ∠B = 30 . 故 ∠O = 60 . 1 分
o

又 OA = OC , 所以 △ ACO 是等边三角形.
o

A

故 ∠OAC = 60 . 2 分 因为 ∠CAD = 30 ,
o

所以 ∠OAD = 90 .
o

O 的切线. 3 分 (2)解:因为 OD ⊥ AB , 所以 OC 垂直平分 AB . 则 AC = BC = 5 . 4 分 所以 OA = 5 . 5 分

所以 AD 是

在 △OAD 中, ∠OAD = 90 ,
o

由正切定义,有 tan ∠AOD =

AD . OA

所以 AD = 5 3 . 6 分 . 20.解: (1) 1536 1382 = 154 (万人) 1 分 故从 2000 年到 2005 年北京市常住人口增加了 154 万人. (2) 1536 ×10.2% = 156.672 ≈ 157 (万人) . 故 2005 年北京市常住人口中,少儿( 0 14 岁)人口约为 157 万人. 3 分 (3)例如:依数据可得,2000 年受大学教育的人口比例为 16.86% ,2005 年受大学教 育的人口比例为 23.57% .可知,受大学教育的人口比例明显增加,教育水平有所提高. 5 分 21.解:依题意得,直线 l 的解析式为 y = x . 2 分 因为 A( a, 在直线 y = x 上, 3) 则 a = 3 . 3 分 即 A(3, . 3) 又因为 A(3, 在 y = 3)

可求得 k = 9 . 4 分 所以反比例函数的解析式为 y = 22.解:所画图形如图所示.

k 的图象上, x

9 . 5 分 x

图4

图5 说明:图 4 与图 5 中所画图形正确各得 2 分.分割方法不唯一,正确者相应给分.

) 五,解答题(本题共 22 分,第 23 题 6 分,第 24 题 8 分,第 25 题 8 分. 解答题 23.解:图略.画图正确得 1 分. (1) FE 与 FD 之间的数量关系为 FE = FD . 2 分 (2)答: (1)中的结论 FE = FD 仍然成立. 证法一:如图 4,在 AC 上截取 AG = AE ,连结 FG . 3 分 因为 ∠1 = ∠2 , AF 为公共边, B 可证 △ AEF ≌△ AGF . 所以 ∠AFE = ∠AFG , FE = FG . 4 分 由 ∠B = 60 , AD,CE 分别是 ∠BAC,∠BCA 的平分线,
o

E 1 2 A

G

F 4 3

D H

可得 ∠2 + ∠3 = 60 .
o

C 图4

所以 ∠AFE = ∠CFD = ∠AFG = 60 .
o o

所以 ∠CFG = 60 . 5 分 由 ∠3 = ∠4 及 FC 为公共边,可得 △CFG ≌△CFD . 所以 FG = FD . 所以 FE = FD . 6 分 证法二:如图 5, 过点 F 分别作 FG ⊥ AB 于点 G , FH ⊥ BC 于点 H . 3 分 因为 ∠B = 60 ,且 AD , CE 分别是 ∠BAC , ∠BCA 的平分线,
o

B 所以可得 ∠2 + ∠3 = 60 , F 是 △ ABC 的内心. 4 分
o

所以 ∠GEF = 60 + ∠1 , FG = FH .
o

E 1 2

G
F 4

D H

又因为 ∠HDF = ∠B + ∠1 , 3 A 所以 ∠GEF = ∠HDF . 5 分 图5 因此可证 △EGF ≌△DHF . 所以 FE = FD . 6 分 24.解: (1)根据题意, c = 3 , 所以

C

a + b + 3 = 0, 25a + 5b + 3 = 0.

3 a = 5, 解得 b = 18 . 5
所以抛物线解析式为 y =

3 2 18 x x + 3 . 2 分 5 5

1) 2) (2)依题意可得 OA 的三等分点分别为 (0, , (0, .

设直线 CD 的解析式为 y = kx + b .

1 x + 1 ; 3 分 5 2 当点 D 的坐标为 (0, 时,直线 CD 的解析式为 y = x + 2 . 4 分 2) 5
当点 D 的坐标为 (0, 时,直线 CD 的解析式为 y = 1) (3)如图,由题意,可得 M 0, . 点 M 关于 x 轴的对称 点为 M ′ 0, 3 M



3 2

y A

A′
x



3 , 2

F OB E 3 C M′

点 A 关于抛物线对称轴 x = 3 的对称点为 A′(6, . 3) 连结 A′M ′ . 根据轴对称性及两点间线段最短可知, A′M ′ 的长就是所求点 P 运动的最短总路径的 长. 5 分 所以 A′M ′ 与 x 轴的交点为所求 E 点,与直线 x = 3 的交点为所求 F 点. 可求得直线 A′M ′ 的解析式为 y =

3 3 x . 4 2

可得 E 点坐标为 (2, , F 点坐标为 3, . 7 分 0) 由勾股定理可求出 A′M ′ =



3 4

15 . 2 15 . 8 分 2
o o

所以点 P 运动的最短总路径 ( ME + EF + FA) 的长为

25.解: (1)略.写对一种图形的名称给 1 分,最多给 2 分. (2)结论:等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 60 时,这对 60 角所对的两边 之和大于或等于一条对角线的长. 3 分 已知:四边形 ABCD 中,对角线 AC , BD 交于点 O , AC = BD , 且 ∠AOD = 60 .
o

求证: BC + AD ≥ AC . 证明:过点 D 作 DF ‖ AC ,在 DF 上截取 DE ,使 DE = AC . 连结 CE , BE . 4 分 故 ∠EDO = 60 ,四边形 ACED 是平行四边形.
o

所以 △BDE 是等边三角形, CE = AD . 6 分 D 所以 DE = BE = AC . A ①当 BC 与 CE 不在同一条直线上时(如图 1) , 在 △BCE 中,有 BC + CE > BE . O E B C 图1 F

所以 BC + AD > AC . 7 分 ②当 BC 与 CE 在同一条直线上时(如图 2) , 则 BC + CE = BE . 因此 BC + AD = AC . 8 分 综合①,②,得 BC + AD ≥ AC .

A O B

D

E C F

图2 o o 即等对角线四边形中两条对角线所夹角为 60 时,这对 60 角所对的两边之和大于或等

于其中一条对角线的长.


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