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高中数学 2.3等差数列的前n项和(一)导学案新人教版必修5


2.3 等差数列的前 n 项和 学习目标 (1)探索等差数列的前 n 项和公式的推导方法; (2)掌握等差数列的前 n 项和公式; (3)能运用公式解决一些简单问题。 【课前导学】预习教材第 42 页~第 44 页。 1.数列 {an } 的前 n 项和的概念:一般地,称 用 Sn 表示,即 Sn = 2.等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ( m, n, p , q 为常数)则有: 一般地, a1 ? an ; 为数列 {an } 的前 n 项的和, ? = ...... 问题一:一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最 上面一层放 100 支。 这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 思考: (1)阅读课本后回答,高斯是如何快速求和的?他抓住了问题的什么特征? (2)如果换成 1+2+3+…+n=?我们能否快速求和? 探 究:能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前 n 项和吗? 问题二:已知等差数列 {an } 中,首项为 a1 ,公差为 d ,第 n 项为 an ,如何计算前 n 项和 S n ? S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ① 又 Sn ? n个 .②(上式倒序相加的和) 由①+②,得 (a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) 2Sn ? = . 新知:等差数列前 n 项和公式: 公式一: 公式二: 【课中导学】 例 1.已知等差数列 {an } 中, (1) a1 ? 75 , a7 ? 105, 求 S7 ; (2) a1 ? ?10 , d ? 4 , Sn ? 54 ,求 n ; (3) S5 ? 25 , S10 ? 100 ,求 a1 及 d 。 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定这个等差 数列的前 n 项和的公式吗?并求数列 {an } 前 30 项的和. 思考, S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 有什么关系, 【总结】 【反馈检测】 1、等差数列 ? 2,1,4,? 的前 n 项和为 A. ( ) 1 1 1 n?3n ? 7 ? C. n?3n ? 4? D. n?3n ? 7 ? 2 2 2 2、在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a5 ? 12 ,那么它的前 8 项之和 S8 等于 ( B. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 3、在等差数列 ?an ? 中, an ? 11 , d ? 2, S n ? 35,则 a1 等于 A. 5 或 7 B. 3 或 5 C. 7 或 ? 1 D. 3 或 ? 1 4、数列 ?an ? 是等差数列,它的前 n 项和可以表示为 ( A. S n ? An ? Bn ? C 2 1 n?3n ? 4? 2 ) ( ) ) B. D. S n ? An2 ? Bn ?a ? 0? S n ? An ? Bn ? C ?a ? 0? 5.已知 一个 n 项的等差数列的前四项和为 21,末四项的和为 67,前 n 项的和为 286,求项数 n . C. 2 S n ? An ? Bn 2 6、设等差 数列 ?an ? 的第 10 项为 23,第 25 项为 ? 22 ,求: (1)数列 ?an ? 的通项公

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