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延庆县2014-2015学年高二下学期期末考试数学理科试题


延庆县 2014—2015 学年度第二学期期末考试 高二数学(理科)
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡内) 1.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

2015.7

1 ? 3i 对应的点位于 1 ? 2i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.现有高一学生 9 人,高二学生 12 人,高三学生 7 人,自发组织参加数学课外活动 小组,从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人,共有不同的选法 A.756 种 A. ? sin ? ? 2 B.56 种 B. ? cos? ? 2 C.28 种 C. ? cos? ? 4 D.255 种 D. ? cos ? ? ?4

3.在极坐标中,与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线方程为

4.若变量 y 与 x 之间的相关系数 r ? ?0.9362 ,则变量 y 与 x 之间 A.不具有线性相关关系 C.它们的线性相关关系还需要进一步确定 5.下列求导数运算正确的是 A. ( x ? B. 具有线性相关关系 D.不确定

1 1 )? ? 1 ? 2 x x

B. ( x2 cos x)? ? ?2 x sin x D. (log 2 x)? ?

C. (3x )? ? 3x log3 e 6. 由曲线 y ? A.

1 x ln 2

x ,直线 y ? x ? 2 及 x 轴所围成的图形的面积为
B.4
x

10 3

C.
?

16 3

D.6
?

7.“指数函数 y ? a (a ? 1) 是增函数, y ? x (? ? 1) 是指数函数,所以 y ? x

(? ? 1) 是增函数”,在以上演绎推理中,下列说法正确的是
A.推理完全正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.推理形式不正确

8.直线 ?

?x ? 3 ? t , ( t 为参数)上与点 P(3, 4) 的距离等于 2 的点的坐标是 y ? 4 ? t ?
B. (?4,5) 或 (0,1) C. (2,5) D. (4,3) 或 (2,5)

A. (4,3)

9.袋中有大小相同的 4 个红球,6 个白球,每次从中摸取一球,每个球被取到的可能 性相同,现不放回地取 3 个球,则在前两次取出的是白球的前提下,第三次取出红球 的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

10.已知 f ?( x ) 是奇函数 f ( x) 的导函数, f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时,xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 A. (??,?1) ? (0,1) C. (?1,0) ? (0,1) B. (?1,0) ? (1,??) D. (??,?1) ? (1,??)

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案涂在答题卡上) 11. ( x ?
3

1 5 ) 展开式中的常数项是 x2

. ? 10
2

12.已知某电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布 N (1000,50 ) ,那么该 电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 13.已知函数 f ( x) ? tan x , 则 f ( x ) 在 点 P ( .

1 ; 2

2x ? y ? 1 ?

?
2

?0
.

?

, f ( )处 ) 的线方程为 4 4

?

14.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取 2 件,若 X 表示取到次品的件数,则

EX ?



3 5

15.用 18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 则该长方体的最大体积是_____ m . 3 16. “整数对” 按如下规律排成一列: (1,1) , (1, 2) , (2,1) , (1,3) , (2, 2) , (3,1) , (1, 4) ,
3

(2,3) , (3, 2) , (4,1) ,……,则第 50 个数对是

. (5,6)

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:

sin ? 1 ? cos ? ? . 1 ? cos ? sin ? sin ? 1 ? cos ? ? 证明:欲证 , 1 ? cos ? sin ?
只需证 sin 2 ? ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) , 即证 sin ? ? 1 ? cos ? , 上式显然成立,故原等式成立.
2 2

……5 分

(Ⅱ)已知圆的方程是 x2 ? y 2 ? r 2 ,则经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程为

x0 x ? y0 y ? r 2 ,类比上述性质,试写出椭圆

x2 y 2 ? ? 1 类似的性质. a 2 b2

解:圆的性质中,经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与

x2 y 2 ? ? 1 类似的性质为: a 2 b2 xx y y x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1 一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为 02 ? 02 ? 1 . ……10 分 a b a b
y 分别用 M ( x0 , y0 ) 的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆
18.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 3
? f ?(?1) ? 0 即 ?3a ? 2b ? 3 ? 0 ? , ?3a ? 2b ? 3 ? 0 ? ? f ?(1) ? 0

……1 分

解得 a ? 1, b ? 0 , 此时 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1)

……4 分

在 x ? ?1 两边(附近) f ?( x ) 符号相反,所以 x ? ?1 处函数 f ( x) 取得极值,

同理,在 x ? 1 处函数 f ( x) 取得极值. (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) .
2 则切线方程为 y ? y0 ? (3x0 ? 3)( x ? x0 ) 3 2 16 ? x0 ? 3x0 ? (3x0 ? 3)(?x0 )

……5 分

……7 分

化简,得

3 x0 ? ?8 ,即 x0 ? ?2 ,

……9 分 ……10 分

所求的切线方程为: 9 x ? y ? 16 ? 0 .

19.(本小题满分 12 分) 已知一个袋子中有 3 个白球和 3 个红球,这些球除颜色外完全相同. (Ⅰ)每次从袋中取出一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次 数 ? 的分布列和数学期望 E (? ) ; (Ⅱ)每次从袋中取出一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出 红球次数? 的数学期望 E (? ) . 解: (Ⅰ) ? 的所有可能值为 1,2,3,4. ……2 分

P(? ? 1) ?

3 1 ? , 6 2

1 1 A3 A 3? 3 3 P(? ? 2) ? 2 3 ? ? , A6 6 ? 5 10 1 A32 A3 3? 2 ? 3 3 , ? ? 3 A6 6 ? 5 ? 4 20 3 1 A3 A3 3? 2 ? 3 1 ? ? . 4 A6 6 ? 5 ? 4 ? 3 20

P(? ? 3) ?

P(? ? 4) ?

……6 分

故 ? 的分布列为

?
p

1

2

3

4

1 2

3 10

3 20

1 20
……8 分

1 3 3 1 7 E (? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 2 10 20 20 4
(Ⅱ)取出后放回,取 3 次球,可看做 3 次独立重复试验,所以? 以 E (? ) ? 3 ?

1 B(3, ) ,所 2
……12 分

1 3 ? . 2 2

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a 2 x ? a (a ? R ) . 3 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,函数 g ( x) ? f ? x ? ? b 恰有 3 个零点,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若对任意 x ??0, ??? ,有 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 解:解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? x2 ?1 ? ( x ?1)( x ?1) 令 f ? ? x ? ? 0, x1 ? ?1, x2 ? 1 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如下: ……1 分 ……2 分

x
f ? ? x?
f ( x)
f ? ?1? ?

(??, ?1)

?1
0 极大值

(?1,1)
— 减

1
0 极小值

(1, ??)

?


?


7 , 6

f ?1? ? ?

1 , 6

……5 分

所以,实数 b 的取值范围是 ( ? , ) . (Ⅱ) f ? ? x ? ? ( x ? a)( x ? a) ,令 f ? ? x ? ? 0, x1 ? ?a, x2 ? a

1 7 6 6

……6 分

……7 分

(1)当 a ? 0 时, f ( x) 在 [0, ??) 上为增函数,

? f ? x ?min ? f (0) ? 0 不合题意;
(2)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上是减函数,在 (a, ??) 上为增函数,

……8 分

? f ? x ?min ? f (a) ? 0 ,得 0 ? a ?

3 ; 2

……10 分

(3)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ?a) 上是减函数,在 (?a, ??) 上为增函数,

? f ? x ?min ? f (?a) ? f (0) ? 0 ,不合题意.
综上, 0 ? a ?

……12 分

3 . 2

……13 分

21.(本小题满分 12 分) 某项选拔共有四轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一轮考核, 否则即被淘汰 . 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率依次 为

4 3 2 1 , , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 5 5 5
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 解: (Ⅰ)记“选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件记为 Ai (i ? 1, 2,3, 4) , 则 P ( A1 ) ?

4 3 2 1 , P ( A2 ) ? , P ( A3 ) ? , P ( A4 ) ? , 5 5 5 5

……2 分

所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:

4 3 2 1 96 . P ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 ) ? ? ? ? ? 5 5 5 5 625
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率

……6 分

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 )
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125

……8 分 ……10 分 ……12 分

22.(本小题满分 13 分)
已知函数

f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)求 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上的最小值; (Ⅱ)试探究能否存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性?若 能存在,说明区间 M 的特点,并指出 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上的单调性;若不能存在, 请说明理由. (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R ,且 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) .

f ?( x) ? e x ? a .
……2 分

若 ln(?a) ? 0 , 即 ?1 ? a ? 0 时 , f ?( x ) ? 0, f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上 为 增 函 数 ,

? f ( x)min ? f (0) ? 1;
2

……3 分

若 ln(?a) ? 2 , 即 a ? ?e 时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上 为 减 函 数 ,

? f ( x)min ? f (2) ? e2 ? 2a ;
2

……4 分

(a )时 ) , f ?( x ) ? 0 ; 若 0 ? ln(?a) ? 2 , 即 ?e ? a ? ?1 时 , 由 于 x ? [ 0, l n?

x ? (ln(?a), 2] 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x)min ? f (ln(?a)) ? a ln(?a) ? a
综上可知 f ( x) min

……5 分

1, ?1 ? a ? 0 ? ? 2 ?? e ? 2a , a ? ?e 2 ? a ln(?a) ? a, ?e 2 ? a ? ?1 ?
1 ax ? 1 ? . x x

……6 分

(Ⅱ) g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 g ?( x ) ? a ?

a ? 0 时,? g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减.
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a)

……8 分

(1) ?1 ? a ? 0 时, ln(?a) ? 0 ,在 (ln(?a), ? ?) 上 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 单调递增, 由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减, 所以不能存在区间 M , 使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性;

……10 分

(2)若 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,在 (??, ln(?a)) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 在 (ln(?a), ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. 由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减, ?存

在区间 M ? (0,ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数.

……12 分

综上,当 ?1 ? a ? 0 时,不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相 同的单调性;当 a ? ?1 时,存在区间 M ? (0,ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上 均为减函数.

……13 分


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