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1.1.3导数的几何意义


1.1.3 导数的几何意义

1、理解导数的几何意义; 2、经历导数几何意义的学习过程,体会用导数的几 何意义分析图象上点的变化情况的方法。

重点:理解导数的几何意义; 难点:理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率 。

导数
函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作 f ?( x0 )或y? | x? x ,
0

即: 其中:⑴

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 表示平均变化率 ?x ?x

其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是曲线 的割线)的斜率。
?y 表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化 ?x ?0 ?x 率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况。

(2) f ?( x0 ) ? lim

其几何意义是?

观察:
如图,当点
y y=f(x) P1 T P

y

y=f(x) P2 P

Pn(xn, f(xn))
(n=1,2,3,4)沿着

T

曲线f(x)趋近于
点P(x0,f(x0))时,

O
(1) y

x

O (2) y

x

y=f(x)

y=f(x)

割线PPn的变化
趋势是什么?
P O (3) x O (4) P3 T P4 P x T

曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象,
y=f(x)
y

在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作

Q △y T P △x

割线,当点Q沿着曲线无限接近于点 P即△x→0时, 如果割线PQ有一
x

o

个极限位置PT, 那么直线PT叫做曲 线在点P处的切线。

此处切线定义与以前的定义有何不同?

y

圆的切线定义并不适用
l1
A

于一般的曲线。 通过逼近的方法,将 割线趋于的确定位置的

l2
B

直线定义为切线(交点
x

可能不惟一)适用于各
种曲线。所以,这种定

C

义才真正反映了切线的
直观本质。

割线与切线的斜率有何关系呢?
y y=f(x) Q(x1,y1) △y P(x0,y0) △x
o

k

PQ

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? ?x ?x

M
x

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
y=f(x)
y Q1 Q2 Q3 Q4

观察图像,可以发现, 在点P附近, P Q2比P Q1更贴紧曲线f ?x ?, P Q3比P Q2 更贴紧曲线f ?x ?, P Q4比P Q3 更贴紧曲线f ?x ?,

T ??? 过点P的切线P T最贴紧点P

P
o

曲线f ?x ?就可以用过点P的切线P T
x

附近的曲线f ?x ?。因此,在点P附近, 近似代替。这是微积分 中的重要思 想方法--以直代曲!

P

P

P

大多数函数曲线就一小范围来看,大致可看作直线, 所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替, 即“以直代曲” (以简单的对象刻画复杂的对象)

数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 ? . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .

归纳整理

y

y=f(x)

我们发现,当点Qn沿着曲线 T Q 趋近于点P即Δx→0时,割线PQ P 4 3 有一个极限位置PT.则我们把直 o x 线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

Q Q 1 Q2

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

这个概念:

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

要注意,曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.

导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率, 即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是f '(x0) .

故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 y ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x 1 y? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 3 ?x ? 0 ?x 2 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? ( ?x ) 2 ] ? x 2 . 1 3 ?x ? 0

1 3 8 P ( 2, ),求: 例1:如图已知曲线 y ? 3 x 上 一 点 3 (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.

3

P
x

? y? | x ?2 ? 22 ? 4.

-2 -1

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是 y ?

O -1 -2

1

2

8 ? 4( x ? 2) ,即12x-3y-16=0. 3

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. y Q f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) y = x 2 +1 ? lim ?x ? 0 ?x 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. P ?x ? 0 ?x ?x 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 1 j 即y=2x.
-1 O 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

?y

M

x

1

先利用切线斜率的定义求出切线的斜率, 然后利用点斜式求切线方程.

例2、如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象,请描述、比较曲线 h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。 h 解:我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处
的切线,刻画曲线h(t)在上述三 个时刻附近的变化情况。 (1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平 行于x轴. 所以,在t=t0附近曲线 比较平坦,几乎没有下降. l0

l1

(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的 斜率h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线 O 下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减

t0

t1

t2

t l2

(3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2 附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线 在t1附近下降得缓慢些.

根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t3,t4附近的变化情况。

函数在t 3、t 4 处的切线的 斜率均大于0,所以在两 点附近曲线上升,即函 数在两点附近单调递增。

h

o

t t4
3

t

但是t 3处切线的倾斜程度大于t 4 处切线的倾斜程度, 这说明曲线在t 3附近比在t 4附近上升的快速

例3:如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)(单位:mg/ml)
随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中药物浓度的瞬时变化率 ,把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度函数f(t)在 此时刻的导数, 从图象上看,它表示 曲线在该点处的 切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象

作t=0.8处的切线,并在切线上取两点, 如:(0.7,0.91),(1.0,0.48) 0.48 ? 0.91 ? f '(0.8) ? ?1.4 k切线 ? ? ?1.4 1.0 ? 0.7
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值,验证一下,这 些值是否正确。

t
药物浓度的 瞬时变化率

0.2
0 .4

0.4
0

0.6
? 0 .7

0.8
? 1 .4

什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时, f ?( x)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是

x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f ?( x) ? y? ? lim ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
函数y=f(x)在点x0处的导数f '(x0)等于函数f(x)的导 (函)数f '(x)在点x0处的函数值。

函数在点x0处的导数f '(x0) 、导函数f '(x) 、导数 之 间的区别与联系。 1)函数在一点x0 处的导数 f '(x0) ,就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一 个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f'(x) 3)函数在点x0 处的导数 f '(x0) 就是导函数f '(x)在 x=x0 处的函数值,这也是 求函数在点 x0处的导数的 方法之一。

求函数y=f(x)的导函数可分如下三步:
(1)求函数的增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ; ?x ?x ?y ( 3)求极限,得导函数 y? ? f ?( x ) ? lim . ?x ? 0 ? x

看一个例子:
例4:已知 y ? x ,求 y ? 。
解:?y ? x ? ?x ? x ?
?y ? ?x 1 x ? ?x ?

x x ? ?x ? x

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

利用导数的定义求下列函数的导数。

(1) y ? x ? ax ? b 1 (2) y ? x
2

1、函数f ( x) 在x ? x0 处的导数f ? ? x0 ? 的几何意义 ,就是函数 f ( x)
A?x0 , f ( x0 )? 的图像在点

处的切线

AD的斜率(数形结合)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

=切线AD的斜率

2.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数 形结合”,“以直代曲”的数学思想方法。

以简单对象刻画复杂的对象
f ( x ? ?x) ? f ( x) 3、导函数(简称导数) f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x

4.求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲 线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

1、课本课后练习。 2、课本习题 3、预习下一节课内容


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