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广东省江门市2012高中高三第一次模拟数学(理)


绝密★启用前

试卷类型:B

年普通高中高三第一次模拟测试( 广东省江门市 2012 年普通高中高三第一次模拟测试(


参考公式:1.锥体的体积公式 V =

学(理科)
1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

) 2.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b =

∑x y
i =1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

∑x
i =1

,a = y ?b x .

)

)

2 i

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知复数 z = 1 ? i ( i 是虚数单位) ,若 a ∈ R 使得 A.
a + z ∈ R ,则 a = z

1 1 B. ? C. 2 2 2 ⒉已知函数 f ( x) = lg | x | , x ∈ R 且 x ≠ 0 ,则 f (x) 是

D. ? 2

A.奇函数且在 (0 , + ∞) 上单调递增 C.奇函数且在 (0 , + ∞) 上单调递减

B.偶函数且在 (0 , + ∞) 上单调递增 D.偶函数且在 (0 , + ∞) 上单调递减

⒊从一个五棱锥的顶点和底面各顶点(共 6 个点)中随机选取 4 个点,这 4 个点 共面的概率等于
1 1 1 1 B. C. D. 2 3 4 5 o ⒋如图 1, ?ABC 中, AC = 3 , BC = 4 , ∠C = 90 , D 是 BC

A.

B
D C
图1

的中点,则 BA ? AD = A. 0 B. 5 13 C. 17 D. ? 17
A

⒌有人收集了春节期间平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有关数据如下表: 平均气温(℃) 销售额(万元)
?2 ?3 ?5 ?6

20

23

27

30

根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额 y 与平均气温 x 之间线性回

? ? ? 归方程 y = bx + a 的系数 b = ?2.4 .则预测平均气温为 ? 8 ℃时该商品销售额为

第1页

A. 34.6 万元

B. 35.6 万元

C. 36.6 万元

D. 37.6 万元

⒍下列命题中,真命题的个数是 .. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ①不等式 | x ? 3 |> 1 的解集是 (4 , + ∞) . ②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数” . ③平行于同一平面的两平面互相平行. ④抛物线 y = 2x 2 的焦点坐标是 (0 , 1 ). 2
3
侧视图 正视图

4

⒎如图 2,某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别 为 4 和 3 的菱形,俯视图是对角线长为 3 的正方形,则 该几何体的体积为 A. 36 C.12 B.18 D. 6
俯视图

3
图2

⒏定义

a b a b = ad ? bc , 其中 a , , , ∈ {? 1 , 1 , 2 , 3 , 4} , b c d 且互不相等. 则 c d c d B. ? 2012

的所有可能且互不相等的值之和等于 A. 2012 C. 0 D.以上都不对

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n = (?1) n n ,则 a n = .

⒑在平面直角坐标系 xOy 中, 以点 M (1 , ? 1) 为圆心, 且与直线 x ? 2 y + 2 = 0 相切 的圆的方程是 .
开始

⒒以初速度 40m / s 垂直向上抛一物体, t 时刻(单位: s ) 的速度为 v = 40 ? 10t (单位: m / s ),则物体能达到的 最大高度是 (提示:不要漏写单位) .

i = 1, s = 2
i = i +1

?2 ≤ x + y ≤ 4 ⒓已知 x 、 y 满足 ? , ?? 2 ≤ x ? y ≤ 0 则 2 x ? y 的最大值是 .

s= s>
否 输出 i 图3

1 2

s s +1



结束

第2页

⒔执行如图 3 所示的程序框图,输出的 i =


A

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)如图 4, AD 是 ?ABC 的高,
AE 是 ?ABC 外接圆的直径。若 AB = 6 , AC = 5 , AD = 4 ,则图中与 ∠BAE 相等的角是 AE =

O?

C



B E

D
图4



⒖(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? x = cos α ( α 为参数) ,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? ? y = 1 + sin α 则曲线 C 的极坐标方程为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = sin(ωx + ⑴求 f (
7π ) 的值; 12

π
3

) ? 3 cos(ωx +

π
3

) ( ω > 0 )的最小正周期为 π .

⑵若 ?ABC 满足 f (C ) + f ( B ? A) = 2 f ( A) ,证明: ?ABC 是直角三角形.

⒘(本小题满分 14 分) 甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如图 5 的茎叶图所示. ⑴现要从中选派一人参加英语口语 赛,从两同学的平均成绩和方差分析, 谁参加更合适; ⑵若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测, 记这三次成绩中高于 80 分的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ . (注:样本数据 x1 , x 2 ,…, xn 的方差 s 2 = 示样本均值)
2 2 2 1 x1 ? x + x2 ? x +L+ xn ? x ,其中 x 表 n





竞 派

[(

) (

)

(

)]

第3页

7 3

5 5 0

7 8 9
图5

7 3 7

6

7

⒙(本小题满分 14 分) 如图 6,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且 AB = 1 ,
BC = 2 , ∠ABC = 60 0 , E 为 BC 的中点,

A1 B1 C1
A B
C
图6

D1

AA1 ⊥ 平面 ABCD .
⑴证明:平面 A1 AE ⊥ 平面 A1 DE ; ⑵若 DE = A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值.

D E

⒚(本小题满分 12 分) x2 y2 已知直线 x ? 3 y + 3 = 0 经过椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的一个顶 a b 点 B 和一个焦点 F . ⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 是椭圆 C 上动点,求 || PF | ? | PB || 的取值范围,并求 || PF | ? | PB || 取 最小值时点 P 的坐标. ⒛(本小题满分 14 分) 某学校每星期一供应 1000 名学生 A、B 两种菜。调查表明,凡在这星期一

第4页

选 A 种菜的, 下星期一会有 20% 改选 B 种菜; 而选 B 种菜的, 下星期一会有 30% 改选 A 种菜.设第 n 个星期一选 A、B 两种菜分别有 a n 、 bn 名学生. ⑴若 a1 = 500 ,求 a 2 、 a3 ; ⑵求 a n ,并说明随着时间推移,选 A 种菜的学生将稳定在 600 名附近. 21(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) = x 2 , g ( x) = ln x ,直线 l : y = kx + b (常数 k 、 b ∈ R )使得函 数 y = f ( x) 的图象在直线 l 的上方,同时函数 y = g ( x) 的图象在直线 l 的下方, 即对定义域内任意 x , ln x < kx + b < x 2 恒成立. 试证明:⑴ k > 0 ,且 ? ln k ? 1 < b < ? ⑵“ e
? 1 2

k2 ; 4

< k < e ”是“ ln x < kx + b < x 2 ”成立的充分不必要条件.

理科数学评分参考
一、选择题 二、填空题 CBBD AADC

⒐ (?1) n (2n ? 1) (列式完整但未化简扣 1 分;列式不完整扣 2 分) ⒑ ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 5 (或等价方程) ⒒ 80 m(数值对 4 分,全对 5 分;数值错 0 分) ⒕ ∠CAD (3 分) ,
15 (2 分) 2

⒓2

⒔3

⒖ ρ = 2 sin θ

三、解答题 ⒗⑴ f ( x) = 2 sin ωx ……2 分(振幅 1 分,角度 1 分) T = ,


ω

= π ……3 分,

ω = 2 ……4 分,所以 f (
扣 2 分)

7π 7π ) = 2 sin = ?1 ……6 分. (未化简 f (x) 而求 T , 12 6

⑵ 由 f (C ) + f ( B ? A) = 2 f ( A) 得 sin 2C + sin(2 B ? 2 A) = 2 sin 2 A … … 7 分 ,
? sin(2 A + 2 B ) + sin(2 B ? 2 A) = 2 sin 2 A ……8 分,

得 cos 2 B sin 2 A = 0 ……9 分,

第5页

所以 cos B = 0 或 sin 2 A = 0 ……10 分,因为 0 < A , B < π ,所以 B =
?ABC 是直角三角形……12 分.“ B = (

π
2

或A=

π

2

π
2

或A=

π
2

”只得到一个,扣 1 分)

⒘⑴ x甲 =
x乙 =

75 + 85 + 87 + 90 + 93 = 86 ……1 分, 5 77 + 83 + 86 + 87 + 97 = 86 ……2 分, 5

1 (75?86)2 + (85?86)2 + (87?86)2 + (90?86)2 + (93?86)2 = 37.6……3 分, 5 1 2 2 2 2 2 2 s乙 = (77?86) + (83?86) + (86?86) + (87?86) + (97?86) = 42.4 ……4 分, 5 s甲 =
2

[

]

[

]

因为 x甲 = x乙 , s甲 < s乙 ,所以派甲去更合适……5 分.
2 2

⑵甲高于 80 分的频率为

4 4 ,从而每次成绩高于 80 分的概率 p = ……6 分, 5 5 4 ) ……7 分, 5

ξ 取值为 0,1,2,3, ξ ~ (3 ,

1 1 1 12 0 4 1 4 直接计算得 P(ξ = 0) = C 3 ( ) 0 ( ) 3 = , P(ξ = 1) = C 3 ( )1 ( ) 2 = , 5 5 125 5 5 125 4 1 48 1 64 3 4 P(ξ = 2) = C 32 ( ) 2 ( )1 = , P(ξ = 3) = C 3 ( ) 3 ( ) 0 = ……11 分,分布列为 5 5 125 5 5 125

ξ
p

0
1 125

1
12 125

2
48 125

3
64 125

……12 分

所以, Eξ = 0 ×

1 12 48 64 12 + 1× + 2× + 3× = 125 125 125 125 5 4 12 = )……14 分(列式 1 分,计算 1 分) 5 5 1 BC = AB = CD ……1 分,所以 ?ABE 是正三角形, 2
1 × (180 0 ? 120 0 ) = 30 0 … … 3 分 , 所 以 2

(或 Eξ = np = 3 ×

⒙⑴依题意, BE = EC =

∠AEB = 60 0 … … 2 分 , 又 ∠CED =

∠AED = 90 0 ,DE ⊥ AE ……4 分, 因为 AA1 ⊥ 平面 ABCD ,DE ? 平面 ABCD ,

第6页

所以 AA1 ⊥ DE ……5 分,因为 AA1 I AE = A ,所以 DE ⊥ 平面 A1 AE ……6 分, 因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ⊥ 平面 A1 DE ……7 分. ⑵取 BB1 的中点 F , 连接 EF 、AF ……8 分, 连接 B1C , EF // B1C // A1 D …… 则 9 分,所以 ∠AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角……10 分。因为 DE = 3 ,
A1 E = A1 A 2 + AE 2

, 所 以 A1 A = 2

… … 11

分 , BF =

2 2



AF = EF =

1 6 +1 = 2 2
AE 2 + EF 2 ? AF 2 6 = ……14 分(列式计算各 1 2 × AE × EF 6

……12 分,所以 cos ∠AEF = 分) .

(方法二)以 A 为原点,过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、

AA1 所在直线为 z 建立右手系空间直角坐标系……1 分,设 AA1 = a ( a > 0 ) ,则
A(0 , 0 , 0) , D (0 , 2 , 0) , A1 (0 , 0 , a) , E ( 3 1 , , 0) ……3 分. 2 2

? 3 1 m+ n =0 ?n1 ? AE = ⑴设平面 A1 AE 的一个法向量为 n1 = (m , n , p ) ,则 ? 2 2 ?n ? AA = ap = 0 1 ? 1

……4 分, p = 0 ,取 m = 1 ,则 n = ? 3 ,从而 n1 = (1 , ? 3 , 0) ……5 分,同理 可得平面 A1 DE 的一个法向量为 n 2 = ( 3 , 1 , 所以平面 A1 AE ⊥ 平面 A1 DE ……8 分. ⑵由 DE = A1 E 即 (
3 2 1 3 1 ) + (2 ? ) 2 + 0 = ( ) 2 + ( ) 2 + a 2 ……9 分,解得 2 2 2 2
2 ) ……7 分, 直接计算知 n1 ? n2 = 0 , a

a = 2 ……10 分。 AE = (

3 1 , , 0) ……11 分, A1 D = (0 , 2 , ? 2 ) ……12 分, 2 2 | AE ? A1 D | 6 所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值 cos θ = ……14 分. = 6 | AE | ? | A1 D | 注:由于给分板按方法一设置,即第⑴问 7 分,第⑵问 7 分。若学生按方法

二答题,得分 ≤ 7 时,得分记在第⑴问;得分 > 7 的部分,记在第⑵问。

第7页

⒚ ⑴ 依 题 意 , B (0 , 1) , F (? 3 , 0) , 所 以 b = 1 , c = 3 … … 2 分 ,
c 3 = ……4 分. a 2 ⑵ 0 ≤|| PF | ? | PB ||≤| BF | , 当且仅当 | PF |=| PB | 时, PF | ? | PB ||= 0 ……5 分, ||

a = b 2 + c 2 = 2 ……3 分,所以椭圆的离心率 e =

当 且 仅 当 P 是 直 线 BF 与 椭 圆 C 的 交 点 时 , || PF | ? | PB ||=| BF | … … 6 分 ,
| BF |= 2 ,所以 || PF | ? | PB || 的取值范围是 [0 , 2] ……7 分。

设 P (m , n) ,由 | PF |=| PB | 得 3m + n + 1 = 0 ……9 分,
? 8 3 ?m2 2 ?m = ? + n =1 ?m = 0 ? ? 13 ……11 分, 由? 4 ……10 分,解得 ? 或? n = ?1 ? 11 ? ? 3m + n + 1 = 0 n= ? ? 13 ? 8 3 11 所求点 P 为 P (0 , ? 1) 和 P (? , ) ……12 分. 13 13

⒛⑴ a 2 = 500 × (1 ? 20%) + (1000 ? 500) × 30% = 550 ……2 分,
a 3 = 550 × (1 ? 20%) + (1000 ? 550) × 30% = 575 ……4 分。

⑵ ?n ∈ N + , n > 1 , a n = a n ?1 × (1 ? 20%) + bn ?1 × 30% ……5 分;
= a n ?1 × (1 ? 20%) + (1000 ? a n ?1 ) × 30% = 1 a n ?1 + 300 ……7 分 2

所以 a n ? 600 =

1 (a n?1 ? 600) ……9 分, 2 {a n ? 600}是以 a1 ? 600 为首项, 1 为公比的等比数列……10 分, 2 a n ? 600 = (a1 ? 600) × 1 2
n ?1

……11 分, a n = 600 + (a1 ? 600) ×

1 2 n ?1

……12 分,

1 1 随着时间推移, n 越来越大时, n ?1 趋于 0 ……13 分, 即 所以 (a1 ? 600) × n ?1 2 2

趋于 0 , a n 趋于 600 并稳定在 600 附近……14 分.
ln x ? b ……1 分,因为 k 、b x

21.⑴依题意 ?x > 0 , kx + b > ln x 恒成立,所以 k > 是常数,所以当 x 充分大时, ln x > b ,从而 k >

ln x ? b > 0 ……2 分。 (用反证法 x

第8页

亦可) 因为 kx + b < x 2 即 x 2 ? kx ? b > 0 恒成立,所以 ? = (? k ) 2 + 4b < 0 ……3 分, 所以 b < ?
k2 ……4 分。 4

因 为 kx + b > ln x 即 kx + b ? ln x > 0 恒 成 立 , 设 h( x) = kx + b ? ln x , 则
h / ( x) = k ? 1 1 1 ……5 分, h / ( x) = 0 得 x = > 0 , 0 < x < 时,h / ( x) < 0 ,h(x) 由 且 x k k 1 时, h / ( x) > 0 , h(x) 单调递增……7 分,所以 h(x) 的极小值从 k

单调递减, x >

1 1 而也是最小值为 h( ) = 1 + b ? ln = 1 + b + ln k ……8 分, k k 1 1 因 为 kx + b ? ln x > 0 恒 成 立 , 所 以 h( ) = 1 + b ? ln = 1 + b + ln k > 0 , 即 k k k2 b > ? ln k ? 1 ,从而 ? ln k ? 1 < b < ? ……9 分. 4 k2 k2 ,从而 < ln k + 1 ,其中 k > 0 ……10 分, 4 4 y k2 如图,根据幂函数与对数函数单调性, k 介于 y= 4 2 k 曲线 y = ln k + 1 与 y = 的两个交点的横坐标 4

⑵方法一,由⑴知 ? ln k ? 1 < ?

之间……11 分,因为 k = e 2 时,

?

1

k2 1 < = ln k + 1 , 4 2
O
1 2

y = ln k + 1

k 2 e2 k = e 时, = < 2 = ln k + 1 ……13 分,所以, 4 4

e

?

e

k

“e

?

1 2

< k < e ”是“ ln x < kx + b < x 2 ”成立的充分不必要条件……14 分.

k2 k2 ,从而 < ln k + 1 ,其中 k > 0 ……10 分, 4 4 k2 1 k 2?k2 设 p (k ) = ln k + 1 ? , p / (k ) = ? = ,解 p / (k ) = 0 得 k = 2 ……11 分, 4 k 2 2k 1 ? 1 / p ( 2 ) = ln 2 + 1 ? > 0 , 0 < k < 2 时 , p (k ) > 0 , k = e 2 ∈ (0 , 2 ) , 且 2

方法二,由⑴知 ? ln k ? 1 < ?

第9页

p (e 2 ) > 0 ……12 分;k > 2 时, p / (k ) < 0 ,k = e > 2 ,且 p (e) > 0 ……13 分; 所以 ?k ∈ (e
? 1 2

?

1

? , e) , ln k ? 1 < ?

? k2 , “ e 2 < k < e ” “ ln x < kx + b < x 2 ” 从而 是 4

1

成立的充分不必要条件……14 分.

第 10 页


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