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浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016 学年浙江省宁波市余姚三中高二(上)期中数学试卷
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.直线 x+1=0 的倾斜角是( ) A.0° B.90° C.45° D.不存在 2.若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 3.如果 AB<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )
2 2



4.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 EF 所成的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 5.在空间,下列命题正确的是( ) A.平行于同一平面的两条直线平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 6.直线 x﹣y+3=0 被圆(x+2) +(y﹣2) =2 截得的弦长等于(
2 2



A.

B.

C.2

D.

7.若实数 x,y 满足不等式组合 A.9 B. C.1 D.

,则 x+y 的最大值为(



8.过点(﹣2,4)且在两坐标轴上截距相等的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
2 2



9.若直线 ax+by+1=0 与圆 x +y =1 相离,则点 P(a,b)的位置是( A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能
2 2



10.已知圆 C 的方程是 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0,直线 l:y=﹣x,则圆 C 上有几个点到直线 l 的距离为 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.直线
2 2

与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 相切,则实数 m=

2

2

. .

12.圆 x +y =20 的弦 AB 的中点为 P(2,﹣3) ,则弦 AB 所在直线的方程是

13.若点 p(m,3)到直线 4x﹣3y+1=0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2x+y<3 表示的平面 区域内,则 m= . 14.如果两条直线 l1:x+a y+6=0 与 l2: (a﹣2)x+3ay+2a=0 平行,则实数 a 的值 是 . 15.过点 P(1,1)的直线与圆(x﹣2) +(y﹣3) =9 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小 值为 . 16.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(﹣1,1)和 Q(2,2) ,若直线 l:mx+y﹣m=0 与线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是 . 17.设 m,n 是两条不重合的直线,α,β,γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β ③若 m、n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β ④若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β 其中正确的命题的序号是 .
2 2 2

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分) (2013 秋?秦州区校级期末)已知直线 l 的倾斜角为 135°,且经过点 P(1,1) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求点 A(3,4)关于直线 l 的对称点 A′的坐标. 19. (15 分) (2010?如皋市校级模拟)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BB1, AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由.

20. (15 分) (2010 秋?杭州校级期末)如图,已知△ BCD 中,∠BCD=90°,AB⊥平面 BCD, BC=CD=1, 分别为 AC、AD 的中点.

(1)求证:平面 BEF⊥平面 ABC; (2)求直线 AD 与平面 BEF 所成角的正弦值.

21. (15 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知平面区域
2 2 2

恰好被面积最小的圆

C: (x﹣a) +(y﹣b) =r 及其内部所覆盖. (1)作出该不等式组所确定的平面区域试,并求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B,满足 CA⊥CB,求直线 l 的方程.

22. (15 分) (2009 秋?下城区校级期末) 已知圆 C: 与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点. (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

2015-2016 学年浙江省宁波市余姚三中高二(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题:每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.直线 x+1=0 的倾斜角是( ) A.0° B.90° C.45° D.不存在 【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题;函数思想;直线与圆. 【分析】直接利用直线方程求出直线的倾斜角即可. 【解答】解:直线 x+1=0 的倾斜角是 90°. 故选:B. 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法,考查计算能力. 2.若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】待定系数法.
2 2 2 2



【分析】把圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心为(﹣1,2)代入直线 3x+y+a=0,解方程求得 a 的值. 2 2 【解答】解:圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心为(﹣1,2) , 代入直线 3x+y+a=0 得:﹣3+2+a=0, ∴a=1, 故选 B. 【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法,用待定系数法求参数的取值范围. 3.如果 AB<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】直线的截距式方程;确定直线位置的几何要素. 【专题】直线与圆. )

【分析】先把 Ax+By+C=0 化为 y=﹣ x﹣ ,再由 AB<0,BC<0 得到﹣ >0,﹣ >0, 数形结合即可获取答案 【解答】解:∵直线 Ax+By+C=0 可化为 y=﹣ x﹣ ,又 AB<0,BC<0 ∴AB>0,∴﹣ >0,﹣ >0, ∴直线过一、二、三象限,不过第四象限. 故选:D. 【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化,以及学生数形结合的能力,属 容易题

4.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 EF 所成的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】连接 BC1,A1C1,A1B,根据正方体的几何特征,我们能得到∠A1C1B 即为异面直 线 AC 和 EF 所成的角,判断三角形 A1C1B 的形状, 即可得到异面直线 AC 和 EF 所成的角. 【解答】解:连接 BC1,A1C1,A1B,如图所示:

根据正方体的结构特征,可得 EF∥BC1,AC∥A1C1, 则∠A1C1B 即为异面直线 AC 和 EF 所成的角 BC1=A1C1=A1B, ∴△A1C1B 为等边三角形 故∠A1C1B=60° 故选 C 【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中利用平移的方法,构造∠A1C1B 为异面直线 AC 和 EF 所成的角,是解答本题的关键. 5.在空间,下列命题正确的是( ) A.平行于同一平面的两条直线平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【解答】解:平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面,故 A 错误; 平行于同一直线的两个平面平行或相交,故 B 错误; 垂直于同一平面的两个平面平行或相交,故 C 错误;

由直线与平面垂直的性质得:垂直于同一平面的两条直线平行,故 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 6.直线 x﹣y+3=0 被圆(x+2) +(y﹣2) =2 截得的弦长等于(
2 2



A.

B.

C.2

D.

【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】计算题. 【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距 OD,然后根据垂径定理 得到垂足为弦长的中点 D,根据勾股定理求出弦长的一半 BD,乘以 2 即可求出弦长 AB. 【解答】解:连接 OB,过 O 作 OD⊥AB,根据垂径定理得:D 为 AB 的中点, 根据(x+2) +(y﹣2) =2 得到圆心坐标为(﹣2,2) ,半径为
2 2



圆心 O 到直线 AB 的距离 OD=

=

,而半径 OB=



则在直角三角形 OBD 中根据勾股定理得 BD= 故选 D.

=

,所以 AB=2BD=

【点评】 考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题, 以及理解直线和圆相交所截 取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形.灵活运用垂径定理解决数学问题.

7.若实数 x,y 满足不等式组合 A.9 B. C.1 D. 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用.

,则 x+y 的最大值为(



【分析】先根据条件画出可行域,设 z=x+y,再利用几何意义求最值,将最大值转化为 y 轴 上的截距,只需求出直线 z=x+y,过可行域内的点 A(4,5)时的最大值,从而得到 z 最大 值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=x+y, ∵直线 z=x+y 过可行域内点 A(4,5)时 z 最大,最大值为 9, 故选 A.

【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题. 8.过点(﹣2,4)且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【考点】直线的截距式方程. 【专题】分类讨论;方程思想;直线与圆. 【分析】对直线截距分类讨论即可得出. 【解答】解:当直线经过原点时,满足条件,其方程为:y=﹣2x. 当直线不经过原点时,设要求的直线方程为:x+y=a,代入点(﹣2,4)可得 a=2,此时直 线方程为 x+y=2. 综上可得:满足条件的直线有两条. 故选:B. 【点评】本题考查了直线的截距式,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档 题. 9.若直线 ax+by+1=0 与圆 x +y =1 相离,则点 P(a,b)的位置是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】根据直线与圆的位置关系,得到圆心到直线的距离大于半径,得到关于 a,b 的关 系式,这个关系式正好是点到圆心的距离,得到圆心与点到距离小于半径,得到点在圆的内 部. 2 2 【解答】解:∵直线 ax+by+1=0 与圆 x +y =1 相离,
2 2

∴ ∴

, ,

∴点 P(a,b)到圆心的距离小于半径, ∴点在圆内, 故选 C. 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系, 本题解题的关键是正确利用点 到直线的距离公式,本题是一个基础题. 10.已知圆 C 的方程是 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0,直线 l:y=﹣x,则圆 C 上有几个点到直线 l 的距离为 ( )
2 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】点到直线的距离公式;圆的一般方程. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】先把圆的方程转化为标准形式,求出圆心和半径;再根据点到直线的距离公式求出 圆心到直线的距离即可得出结论. 2 2 【解答】解:圆 C 的方程是 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0, 即(x﹣2) +(y﹣2) =18,圆心为(2,2) ,r=3
2 2



又因为(2,2)到直线 y=﹣x 的距离 d= 所以圆与直线相交, 而到直线 l 的距离为

<3



的点应在直线两侧, 且与已知直线平行的直线

上 . 两平行线与圆相交的只有一条. 故满足条件的点只有两个. 故选 B. 【点评】本题主要考查圆的标准方程和一般方程的相互转化以及点到直线的距离公式的应 用.解决本题需要有很强的分析能力. 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.直线 与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 相切,则实数 m=
2 2





【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆.

【分析】求出圆 x +y ﹣2x﹣2=0 的圆心为 C(1,0) 、半径 r=

2

2

,根据直线与圆相切可得

圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式列式,解之即可得到实数 m 的值. 2 2 2 2 【解答】解:∵将圆 x +y ﹣2x﹣2=0 化成标准方程,得(x﹣1) +y =3, ∴圆 x +y ﹣2x﹣2=0 的圆心为 C(1,0) ,半径 r= ∵直线 与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 相切,
2 2 2 2



∴点 C 到直线 解之得 m= 故答案为: 或 或 .

的距离等于半径,即

=



【点评】本题给出含有参数 m 的直线与已知圆相切,求参数 m 之值.着重考查了圆的标准 方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 12. 圆 x +y =20 的弦 AB 的中点为 P (2, ﹣3) , 则弦 AB 所在直线的方程是 2x﹣3y﹣13=0 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】先求得直线 OP 的斜率,可得弦 AB 的斜率,再用点斜式求得弦 AB 所在直线的方 程.
2 2

【解答】解:由于弦 AB 的中点为 P(2,﹣3) ,故直线 OP 的斜率为

=﹣ ,

∴弦 AB 的斜率为 ,故弦 AB 所在直线的方程是 y+3= (x﹣2) , 即 2x﹣3y﹣13=0, 故答案为:2x﹣3y﹣13=0. 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,用点斜式求直线的方程,属于基础题. 13.若点 p(m,3)到直线 4x﹣3y+1=0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2x+y<3 表示的平面 区域内,则 m= ﹣3 . 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由点 M 到直线 4x﹣3y+1=0 的距离等于 4 求得 m 的值,代入不等式 2x+y<3 验证 后得答案. 【解答】解:∵点 M(m,3)到直线 4x﹣3y+1=0 的距离为 4,





解得:m=7 或 m=﹣3. 当 m=7 时,2×7+3<3 不成立;

当 m=﹣3 时,2×(﹣3)+3<3 成立. 综上:m=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查了点到直线的距离公式,考查了二元一次不等式表示的平面区域,是基础 题. 14.如果两条直线 l1:x+a y+6=0 与 l2: (a﹣2)x+3ay+2a=0 平行,则实数 a 的值是 0 或 ﹣1 . 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题. 【分析】讨论直线的斜率是否存在,然后根据两直线的斜率都存在,则斜率相等建立等式, 解之即可. 【解答】解:当 a=0 时,两直线的斜率都不存在, 它们的方程分别是 x=﹣6,x=0,显然两直线是平行的. 当 a≠0 时,两直线的斜率都存在,故有斜率相等,
2

∴﹣

=



解得:a=﹣1, 综上,a=0 或﹣1, 故答案为:0 或﹣1. 【点评】本题主要考查了两直线平行的条件,要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况,属 于基础题. 15.过点 P(1,1)的直线与圆(x﹣2) +(y﹣3) =9 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小 值为 4 . 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】求出圆心坐标与半径,圆心 C 到直线距离的最大值为|CP|.由此结合垂径定理,即 可算出|AB|的最小值. 【解答】解:圆(x﹣2) +(y﹣3) =9 的圆心坐标为(2,3) ,半径为 3.点 P(1,1)在 圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=9 内部. ∵圆心到直线的距离的最大值为|CP|= ∴|AB|有最小值 2 =4, = ,
2 2 2 2

故答案为:4. 【点评】本题给出直线与圆相交于 A、B 两点,求截得弦长的最小值,着重考查了两点间的 距离公式和用垂径定理求弦长等知识,属于中档题. 16.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(﹣1,1)和 Q(2,2) ,若直线 l:mx+y﹣m=0 与线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是 m≤﹣2 或 m≥ 【考点】两条直线的交点坐标. .

【专题】计算题;数形结合;综合法;直线与圆. 【分析】利用直线 l:x+my+m=0 经过定点,A(0,﹣1) ,求得直线 AQ 的斜率 kAQ,直线 AP 的斜率 kAP 即可得答案. 【解答】解:直线 mx+y﹣m=0 等价为 y=﹣m(x﹣1)则直线过定点 A(1,0) , 作出对应的图象如图: 则由图象可知直线的斜率 k=﹣m, 满足 k≥kAQ 或 k≤kAP,

即﹣m≥

=2 或﹣m≤

=﹣ ,

则 m≤﹣2 或 m≥ , 故答案为:m≤﹣2 或 m≥ .

【点评】本题考查:两条直线的交点坐标,考查恒过定点的直线,考查直线的斜率的应用, 考查作图与识图能力,属于中档题. 17.设 m,n 是两条不重合的直线,α,β,γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β ③若 m、n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β ④若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β 其中正确的命题的序号是 ②③ . 【考点】命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系. 【专题】规律型. 【分析】 由空间平面与平面之间位置关系的定义及判定方法, 可以判断①的正误; 若 m⊥α, m⊥β,则 α∥β,可由垂直同一条直线的两个平面的关系判断;对于③,利用反证法,可得 到 α∥β;对于④,α∩β=a,m?α,n?β,m∥a,n∥a,故 m∥n,从而可判断. 【解答】解:对于①,若 α⊥β,β⊥γ,则 α 与 γ 可能相交,也可能平行,故①错误; 对于②,因为由 m⊥α,m⊥β,可得出 α∥β,故命题正确; 对于③,若 α∩β=a,则因为 m?α,m∥β,n?β,n∥α,所以 m∥a,n∥a,∴m∥n,这与 m、n 是异面直线矛盾,故结论正确 对于④,α∩β=a,m?α,n?β,m∥a,n∥a,∴m∥n,故结论不正确 故正确的命题为:②③

故答案为:②③ 【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系判定及命题的真假判断与应 用,其中熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定方法是解答本题的关键. 三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分) (2013 秋?秦州区校级期末)已知直线 l 的倾斜角为 135°,且经过点 P(1,1) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求点 A(3,4)关于直线 l 的对称点 A′的坐标. 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程;直线的点斜式方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (I)算出直线 l 的斜率 k=tan135°=﹣1,利用直线方程的点斜式列式,化简即得直线 l 的方程; (II)设所求对称点 A'的坐标为(a,b) ,根据轴对称的性质建立关于 a、b 的方程组,解出 a、b 之值,可得所求对称点 A'的坐标. 【解答】解: (Ⅰ)∵直线 l 的倾斜角为 135°, ∴直线 l 的斜率 k=tan135°=﹣1, 由此可得 l 直线 l 的方程为:y﹣1=﹣(x﹣1) ,化简得 x+y﹣2=0; (Ⅱ)设点 A(3,4)关于直线 l 的对称点为 A'(a,b) , ∵AA'与直线 l 相互垂直,且 AA'的中点( , )在直线 l 上,





解得

,可得 A'的坐标为(﹣2,﹣1) .

【点评】本题求经过定点且倾斜角为 135°的直线方程,并依此求对称点的坐标.着重考查 了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识,属于基础题. 19. (15 分) (2010?如皋市校级模拟)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BB1, AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由.

【考点】直线与平面平行的判定;集合的含义;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的 判定. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)连接 AB1 与 A1B 相交于 M,由三角形中位线定理,我们易得 B1C∥MD,结 合线面平行的判定定理,易得 B1C∥平面 A1BD; (2)由于已知的几何体 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,结合 AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,根 据正方形的几何特征,我们易得到 AB1⊥B1C1,BB1⊥B1C1,根据线面垂直的判定定理,即 可得到 B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)由图可知,当点 E 为 CC1 的中点时,平面 A1BD⊥平面 BDE,由已知易得 DE∥AC1, 结合 AC1⊥平面 AB1D,我们易得到 DE⊥平面 AB1D,进而根据面面垂直的判定定理得到 结论. 【解答】解: (1)证明:连接 AB1 与 A1B 相交于 M,

则 M 为 A1B 的中点,连接 MD, 又 D 为 AC 的中点, ∴B1C∥MD, 又 B1C?平面 A1BD, ∴B1C∥平面 A1BD. (4 分) (2)∵AB=BB1, ∴四边形 ABB1A1 为正方形, ∴AB1⊥A1B, 又∵AC1⊥面 A1BD, ∴AC1⊥A1B,

∴A1B⊥面 AB1C1, ∴A1B⊥B1C1, 又在直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1. (8 分) (3)当点 E 为 CC1 的中点时, 平面 A1BD⊥平面 BDE, ∵D、E 分别为 AC、CC1 的中点, ∴DE∥AC1, ∵AC1⊥平面 A1BD, ∴DE⊥平面 AB1D,又 DE?平面 BDE, ∴平面 A1BD⊥平面 BDE. (14 分) 【点评】本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,平面与平面 垂直的判定,熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此 类问题的根本. 20. (15 分) (2010 秋?杭州校级期末)如图,已知△ BCD 中,∠BCD=90°,AB⊥平面 BCD, BC=CD=1, 分别为 AC、AD 的中点.

(1)求证:平面 BEF⊥平面 ABC; (2)求直线 AD 与平面 BEF 所成角的正弦值.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1) 通过证明 CD⊥平面 ABC, CD∥EF, 说明 EF?平面 BEF, 即可证明平面 BEF⊥ 平面 ABC; (2)过 A 作 AH⊥BE 于 H,连接 HF,可得 AH⊥平面 BEF,推出∠AFH 为直线 AD 与平 面 BEF 所成角.在 Rt△ AFH 中,求直线 AD 与平面 BEF 所成角的正弦值. 【解答】解: (1)证明:∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BC, ∴CD⊥平面 ABC. ∵E、F 分别为 AC、AD 的中点, ∴EF∥CD. ∴EF⊥平面 ABC, ∵EF?平面 BEF,

∴平面 BEF⊥平面 ABC. (2)过 A 作 AH⊥BE 于 H,连接 HF, 由(1)可得 AH⊥平面 BEF, ∴∠AFH 为直线 AD 与平面 BEF 所成角. 在 Rt△ ABC 中, ∴∠ABE=30°, 为 AC 中点,





在 Rt△ BCD 中,BC=CD=1, ∴ .

∴在 Rt△ ABD 中,





∴在 Rt△ AFH 中,



∴AD 与平面 BEF 所成角的正弦值为



【点评】证明两个平面垂直,关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直;利用三垂线 定理找出二面角的平面角,解三角形求出此角,是常用方法.

21. (15 分) (2015 秋?余姚市校级期中)已知平面区域
2 2 2

恰好被面积最小的圆

C: (x﹣a) +(y﹣b) =r 及其内部所覆盖. (1)作出该不等式组所确定的平面区域试,并求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B,满足 CA⊥CB,求直线 l 的方程. 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】计算题;作图题;数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)作平面区域,从而可得 C(2,1) ,r= (2)由题意作图,从而可得 CB∥x 轴,从而解得 B(2+ 解得. 【解答】解: (1) 、作平面区域如下, = ,从而解得; ,1) ;从而

,1)或 B(2﹣

, 结合图象可知, 点 C(2,1) ,r=
2

=


2

故圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5; (2)由题意作图如右图, 结合图象可知,CB∥x 轴, 故由(x﹣2) +(1﹣1) =5 解得, x=2+ 或 x=2﹣ ; ,1) ; 或 y﹣1=x﹣2+ =0. ;
2 2

故 B(2+

,1)或 B(2﹣

故 l 的方程为 y﹣1=x﹣2﹣ 即 x﹣y﹣1﹣

=0 或 x﹣y﹣1+

【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用.

22. (15 分) (2009 秋?下城区校级期末) 已知圆 C: 与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点. (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)由题意知 A(2t,0) , ,进而表示出面积即可得到答案. (2)由 OM=ON,CM=CN 可得 OC 垂直平分线段 MN,根据题意得到直线 OC 的方程是 ,所以 t=2 或 t=﹣2,再分别验证 t 的数值是否正确,进而得到答案. 【解答】解: (1)由题意知 A(2t,0) , ∴ 所以△ OAB 的面积为定值. (2)∵OM=ON,CM=CN, ∴OC 垂直平分线段 MN. ∵kMN=﹣2, ∴ , . ,

∴直线 OC 的方程是 又因为圆心 C(t, ) ,

所以

,解得:t=2 或 t=﹣2. ,

①当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) ,

此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离

,圆 C 与直线 y=﹣2x+4 相交于两点. ,

②当 t=﹣2 时,圆心 C 的坐标为(﹣2,﹣1) ,

此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离

,圆 C 与直线 y=﹣2x+4 不相交,∴t=﹣2 不符

合题意舍去. 2 2 ∴圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5. 【点评】本题主要考查圆与直线的方程,以及直线与圆的位置关系,并且熟练掌握运用点到 直线的距离公式判断直线与圆的位置关系,是一道中档题.

2016 年 1 月 15 日


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