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2018-2019学年高中数学人教A版选修1-1课件:第三章 3.3 第1课时函数的单调性与导数_图文

第 1 课时 函数的单调性与导数 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲, 预习教材 P89~P93 的内容, 回答下列问题. (1)观察教材 P89 图 3.3-1,回答下列问题: ①函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 在区间(0, a)上的单调性是 什么?h′(t)的符号是正还是负? 提示: h(t)在(0,a)上为增函数,h′(t)>0. ②函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 在区间(a,b)上的单调性是 什么?h′(t)的符号是正还是负? 提示: h(t)在(a,b)上为减函数,h′(t)<0. (2)观察教材 P90 图 3.3-2. 函数的单调性与其导函数的正负有什么关系? ①在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=1>0,y(x)是增函数; 提示: ②在区间(-∞,0)内,y′(x)=2x<0,y(x)是减函数;在区间 (0,+∞)内,y′(x)=2x>0,y(x)是增函数; ③在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=3x2≥0,y(x)是增函数; 1 ④在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′(x)=- 2<0,y(x) 是 x 减函数. (3)观察教材 P93 图 3.3-7,函数 f(x)在(0,a)和(a,+∞) 上都是单调递增的,但在(0,a)内的图象“陡峭”,在(a,+ ∞)内的图象“平缓”,试比较 f(x)在(0,a)和 (a,+∞)内导 数的大小有什么关系? 提示: 在(0,a)上的导数值大于在(a,+∞)上的导数值. 1 (4)观察函数 f(x)= ,x∈(0,+∞)的图象,试比较图 x 象在(0, 1)和(1, +∞) 上的“陡峭”或“平缓”与 f′(x)在(0, 1)和 (1,+∞)内的大小有什么关系? 提示: 在(0,1)内图象“陡峭”,在(1,+∞)内图象 “平缓”,导函数 f′(x)在(0,1)内的绝对值大于在(1, +∞)内的绝对值. 2.归纳总结,核心必记 (1)函数的单调性与其导数正负的关系 一般地, 在区间(a, b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调 递增 单调 递减 常数函数 (2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上: 导数的绝对值 函数值变化 越大 越小 函数的图象 比较“ 陡峭 ”(向上或向下) 比较“ 平缓 ”(向上或向下) 快 慢 [问题思考] (1)如果在区间(a,b)内恒有 f′(x)=0,则 f(x)有什么特性? 提示: f(x)为常数函数,不具有单调性. (2)在区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 f(x)在此区间上单调递 增,反之也成立吗? 3 不一定成立.比如 y = x 在 R 上为增函数,但其 提示: 在 x=0 处的导数等于零.也就是说 f′(x)>0 是 y=f(x) 在某个区间上单调递增的充分不必要条件. (3)下图为导函数 y=f′(x)的图象,则函数 y=f(x)的单调区间 是什么? 提示: 单调递增区间:(-∞,-3],[-2,1],[3,+∞); 单调递减区间:[-3,-2],[1,3]. [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系? ; (2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系? . 讲一讲 1. (1)设函数 f(x)在定义域内可导, y=f(x)的图象如图所示, 则导函数 y=f′(x)的图象可能为( ) (2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数, f′(x)的图象如图所示, 则 f(x) 的图象只可能是( ) [尝试解答] (1)由函数的图象可知:当 x<0 时,函数单 调递增,导数始终为正;当 x>0 时,函数先增后减再增,即 导数先正后负再正,对照选项,应选 D. (2)从 ? a+b? ? ? f′(x)的图象可以看出,在区间?a, ?内, 2 ? ? 导数 f(x) ?a+b ? ? ? 单调递增;在区间? ,b?内,导数单调递减.即函数 ? 2 ? ? ?a+b ? a+b? ? ? ? ? 的图象在?a, 内越来越陡,在 内越来越平缓, , b ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 由此可知,只有选项 D 符合. [答案] (1)D (2)D 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注 意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个 区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数, 则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于 零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 练一练 1. (1)函数 y=f(x)的图象如图所示, 则导函数的图象大致是( ) 解析:选 D 因为函数 f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上都是 单调递减的,即 f′(x)<0. (2)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数, f′(x)的图 象如图所示, 则 f(x)的递增区间是________. 解析: 由图象可知,f′(x)>0 的解集为(-∞,0)∪(2,+∞), 故 f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞). 答案:(-∞,0),(2,+∞) [思考 1] 若函数 f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单 调递增(或递减)函数,则 f′(x)满足什么条件? 名师指津: f′(x)≥0(或 f′(x)≤0) . [思考 2] 若函数 f(x)在(a,b)上满足 f′(x)>0(或 f′(x)<0), 则 f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性? 名师指津: 若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上为增函数;若 f′ (x)<0,则 f(x)在(a,b)上为减函数 . [思考 3] 如何判断(证明)可导函数 f(x)在(a

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