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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修1-1导学案 3.2.3 导数的四则运算法则

3.2. 3

导数的四则运算法则

学案编号:GEXX1-1T3-2-3

【学习要求】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合 运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单 函数的求导问题.要透彻理解函数求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内在联系及其规律, 通过对知识的重新组合,达到巩固知识、提升能力的目的. 导数的运算法则 设两个可导函数分别为 f(x)和 g(x) 两个函数的和的导数 两个函数的差的导数 两个函数的积的导数 两个函数的商的导数 [f (x)+g(x)]′= [f (x)-g(x)]′= [f(x)g(x)]′= fx [ ]′= gx

探究点一 导数的运算法则 问题 1 我们已经会求 f(x)=5 和 g(x)=1.05x 等基本初等函数的导数,那么怎样求 f(x)与 g(x) 的和、差、积、商的导数呢? 问题 2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点?

例 1 求下列函数的导数: (1)y=3 -lg x;
x

(2)y=(x +1)(x-1);

2

x5+ x7+ x9 (3)y= . x

跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)f(x)=x· tan x; x (2)f(x)=2-2sin2 ; 2 (3)f(x)= x-1 ; x+1 sin x (4)f(x)= . 1+sin x

探究点二 导数的应用 例 2 (1)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为________________. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为________.

-1-

t-1 (3)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)= 2 +2t2(位移单位:m,时间单位:s),求 t=3 s t 时物体的瞬时速度.

跟踪训练 2

π ? sin x 1 (1)曲线 y= - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为 sin x+cos x 2 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 2 2

( D. 2 2

)

1 a (2)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1, 3 2 确定 b、c 的值.

【达标检测】 1.设 y=-2exsin x,则 y′等于 A.-2excos x C.2exsin x

( B.-2e sin x D.-2ex(sin x+cos x) ( )
x

)

x 2.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为 x+2 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+2 3 2 3.已知 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,则 a 的值是( ) 19 A. 3 16 B. 3 13 C. 3 10 D. 3

1 4.已知 f(x)= x3+3xf′(0),则 f′(1)=________. 3 5.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求 a、b、c 的 值.

【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法 则求导数.在求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法则,联系基 本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形,转化为较易求导的 结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

3.2. 3
一、基础过关 1.下列结论不正确的是

导数的四则运算法则

练习题

(

)

-2-

A.若 y=3,则 y′=0 B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 C.若 y=- x+x,则 y′=- 1 +1 2 x

D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x x 2.函数 y= 的导数是 1-cos x 1-cos x-xsin x 1-cos x-xsin x A. B. 1-cos x ?1-cos x?2 1-cos x+sin x 1-cos x+xsin x C. D. 2 ?1-cos x? ?1-cos x?2 3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1

(

)

(

)

B.-2 C.2 D.0 x+1 4.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于 ( x-1 1 1 A.2 B. C.- D.-2 2 2 5.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且 f′(-1)=0,则 a=________. 6.若某物体做 s=(1-t)2 的直线运动,则其在 t=1.2 s 时的瞬时速度为________. 7.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=( x-2)2; x x (3)y=x-sin cos . 2 2

)

二、能力提升 8.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x) ( ) 1 1 A.4 B.- C.2 D.- 4 2 sin θ 3 3cos θ 2 5π 9.设函数 f(x)= x+ x +tan θ,其中 θ∈[0, ],则导数 f′(1)的取值范围是( 3 2 12 A.[-2,2] C.[ 3,2] B.[ 2, 3] D.[ 2,2] 1 3 10.若函数 f(x)= x -f′(-1)· x2+x+5,则 f′(1)=________. 3 11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的表达式. 在点(1,f(1))处切线的斜率为

)

-3-

b 12.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积 为定值,并求此定值.

三、探究与拓展 13.已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1 和 C2 都相切,求直线 l 的方程.

-4-


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