福建省南安第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 文

南安一中 2015～2016 学年度下学期期末考 高二数学（文科）试卷
本试卷考试内容为：三角函数、三角恒等变换、解三角形、选考 4-4、4-5，分第 I 卷（选择题）和第 II 卷，共 4 页，满分１５０分，考试时 间１２０分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效。 3．答案使用 0．5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4．保持答题纸纸面清洁，不 破损。考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题， 每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 （1） cos 75 cos15 +sin 75 sin15 的值为 （A） 0 （B） 1 （C）
0 0 0 0

1 2

（D） ?

1 2

（2）不等式 | 4 ? 3x |? 5 的解集是 （A） {x | ? （C） {x |

1 ? x ? 3} 3

（B） {x | ?

1 ? x ? 3} 3

1 3 ? x? ? 2 x （3）在同一平面直角坐标系中，将曲线 y ? 3sin 2 x 按伸缩变换 ? 后，所得曲线为 ? y? ? 3 y （A） y ? sin x （B） y ? 9sin 4 x （C） y ? sin 4 x （D） y ? 9sin x
（D） {x | x ? ? 或x ? 3} （4）在 ? ABC 中，已知 AB ? 4, AC ? 2 3, ?B ? 60? ，则 BC 的长为 （A） 2 （5）函数 f ( x) ? sin( （A） 3, ? （B） 3 2 （C） 2 7 （D） 3 3

1 ? x ? 3} 3

?
6

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是
（B） 3,

?
2

（C） 2,

?
2

（D） 2, ?

（6）在周长为 16 的扇形中，当扇形的面积取最大值时，扇形的半径为 （A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5 （7）在极坐标系中，圆 ? ? 3 cos? ? sin ? (0 ? ? ? 2? ) 的圆心的极坐标是 （A） ?1,

? ?? ? ? 6?

（B） ?1,

（8）函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

? 5? ? ? ? 6 ?

（C） ?1,

? 7? ? ? ? 6 ?

（D） ?1,

? 11? ? ? ? 6 ?

4

) 的一个单调减区间是

1

（A） [

5? 9? , ] 8 8

（B） [ ?

? 3?
8 , 8

]

（C） [

3? 7? , ] 8 8

（D） [

? 5?
8 , 8

]

（9）已知 ? ? 0 ， ? ?

? ，函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示．为了得到函数 g ( x) ? sin ? x 2

的图象，只要将 f ? x ? 的图象 （A）向右平移

? 个单位长度 4

（B）向右平移

? 个单位长度 8

? ? 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度 4 8 ? （10） 直线 l 的倾斜角为 ， 且过点 P(1, 2) ， 若直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 10 交于 A, B 两点， 则 PA ? PB 的 6
（C）向左平移 值为 （A） 2 3 （B） 5 （C） 2 3 ? 2 （D） 2 2 ? 3

（11）已知 a ? 1, b ? 2 ，且 （A） 8

1 1 ? ? 3 ，则 a ? 4b 的最小值为 a ?1 b ? 2 （B） 9 （C） 10

（D） 12

（12）已知 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin 2 x ，若 ?t ? R, x ? R ， a sin t ? 3a ? 1 ? f ( x) 恒成立，则实数 a 的 取值范围是 （A） ? 0， +? ? （B） [

2 , ??) 2

（C） ?

? 2 ? , +? ? ? ? 4 ?

（D） [ 2, ??)

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. （13）设 ? ? (0,

?
2

) ， sin ? ?

6 ，则 tan ? ? 3
) 到直线 ? sin ? ? 3 的距离等于________
D

（14）在极坐标系中，点 (2,

?
6

（15）已知 x, y ? R ，若 x ? y ?1 ? x ?1 ? y ? 2 ? 4 ，则 x＋y 的取值范围为________ （16）如右图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑物 CD .为
0

了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ? ，在山坡的 A 处测得 ?DAC ? 15 ，沿山坡前进

25m 到达 B 处，又测得 ?DBC ? 450 .根据以上数据计算可得 cos ? ? __________.

C

B

θ

A

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

(17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2 x ?1 （Ⅰ）求 f ( x) 最小正周期； （Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

(1 8)（本小题满分 12 分） 在△ABC 中， 3sin 2 B ?1 ? cos2 B 。 （Ⅰ）求 B 的值； （Ⅱ）若 BC = 2， A ?

?
4

，求△ABC 的面积．

(19)（本小题满分 12 分） 设函数 f ? x ? ? x ? a ． （Ⅰ）当 a ? 2 时，解不等式 f ? x ? ? x ?1 ； （Ⅱ）若 f ? x ? ? 1在 ?0,1? 上恒成立，求 a 的取值范围． (20)（本小题满分 12 分） 在直角坐标系中，曲线 C1 : ?

? x ? 3cos ? 3 （ ? 为参数, a ? 0 ）过点 P ( , 3) ，以坐标原点为极点， x 轴的 2 ? y ? a sin ?

正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为

cos? ? 2 sin ? ?

10

?

．

（Ⅰ）求曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）在 C1 上求一点 M ，使点 M 到直线 l 的距离最小，求出最小距离及点 M 的坐标．

(21)（本小题满分 12 分）
3

已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边， S 为 ?ABC 的面积， sin( B ? C ) ? （Ⅰ）证明： A ? 2C ； （Ⅱ）若 b ? 2 ，且 ?ABC 为锐角三角形，求 S 的取值范围．

2S ． a ? c2
2

(22)（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? （ ? 为参数） ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的 ? y ? sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? cos ? ，曲线 C3 的极坐标方程为 ? ? （Ⅰ）把曲线 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）曲线 C3 与曲线 C1 交于点 O 、

?
6

．

A ，曲线 C3 与曲线 C2 交于点 O 、 B ，求 AB

．

4

南安一中 2015～2016 学年度下学期期末考 高二数学科试卷（文科）参考答案及评分标准 说明： 1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分. 3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分． （1）C （2）B （3）D （4）A （5）A （6）C （7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分． （13） 2 （14） 2 （15） [?1,3] （16）

3 ?1 2

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）解答： （Ⅰ） 因为 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? cos 2x ?1

? sin 2 x ? cos 2 x …………2 分

? 2 sin(2 x ? ) …………4 分 4
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T＝ （Ⅱ） f ( x) ? 当 x ? [0,

?

2? ＝? .…………6 分 2

? 5? ? [ , ] …………8 分 2 4 4 4 ? 5? 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知， 4 4
?
] 时， 2 x ?
当 2x ? 时， f ( x) 取最大值 2 ；…………10 分 8 2 ? ? 5? 当 2x ? ? ，即 x ? 时， f ( x) 取最小值 ?1 . 4 4 4

2 sin(2 x ? ) 4

?

?

?

4

?

?

，即 x ?

?

综上， f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的最大值为 2 ，最小值为 0 .…………12 分

(18) 解： （I）解法 1：因为 3sin 2 B ?1 ? cos2 B ，所以 2 3sin B cos B ? 2sin 2 B ， 因为 0 ? B ? ? ，所以 sin B ? 0 ，从而 tan B ? 3 ，所以 B ? 解法 2：依题意得 3sin 2B ? cos2B ? 1 ，所以 2sin(2B ? 因为 0 ? B ? ? ，所以

?
3

。…………6 分

?

? 1 ) ? 1 ，即 sin(2B ? ) ? ， 6 6 2

?
6

? 2B ?

?
6

?

13? ? 5? ? ，所以 2B ? ? ，所以 B ? 。…………6 分 3 6 6 6

5

（II）解法 1：因为 A ? 所以 AC ?

?
4

，B?

?
3

，根据正弦定理得

AC BC ， ? sin B sin A

BC sin B ? 6 。…………8 分 sin A
5? ? ? 6? 2 5? ? sin( ? ) ? ，所以 sin C ? sin ，…………10 分 12 4 6 4 12 1 1 6 ? 2 3? 3 AC ? BC sin C ? ? 6 ? 2 ? ? 。…………12 分 2 2 4 2

因为 C ? ? ? A ? B ?

所以△ABC 的面积 S ?

解法 2：同解法 1 得 AC ? 6 ， 根据余弦定理得 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ， 化简为 AB 2 ? 2 AB ? 2 ? 0 ，解得 AB ? 1 ? 3 ，…………10 分

1 1 3 3? 3 AB ? BC sin B ? ? 2 ? (1 ? 3) ? ? …………12 分 2 2 2 2 （19）解： （I）当 a ? 2 时，不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ，
所以△ABC 的面积 S ? 当 x ? 0 时，即 2 ? x ? ? x ? 1 ，即 2 ? 1 ，所以解为 x ? ? ??,0? ； 当 0 ? x ? 2 时，即 2 ? x ? x ? 1 ，即 x ? 当 x ? 2 时，即 x ? 2 ? x ? 1 ，解为 ? ； 所以该不等式的解为 x ? ? ??, ? …………6 分 2

1 ? 1? ，所以解 为 x ? ? 0, ? ； 2 ? 2?

? ?

1? ?

（II）因为 f ? x ? ? 1即 x ? a ? 1 ，解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ，…………8 分 而 f ? x ? ? 1在 ?0,1? 上恒成立，所以 ? 所以 a ? [0,1] …………12 分 （20）解： （I）因为曲线 C1 : ?

?a ? 1 ? 0 ? a ?1 ? 1

? x ? 3cos ? 3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ，因为 P( , 3) 在 （ ? 为参数）所以 2 9 a ? y ? a sin ?
2

曲线 C1 上，所以代入方程有 a ? 4 ，所以 C1 :

x2 y 2 ? =1…………4 分 9 4
，将极坐标方程两边同乘 ? ：

因为直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 2 sin ? ?

10

?

? cos? ? 2? sin ? ? 10 ，所以直线 l 的直角坐标方程 x ? 2 y ?10 ? 0 …………6 分
6

（II）因为椭圆的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? （ ? 为参数） ? y ? 2sin ?

所以可设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ， 由点到直线的距离公式，点 M 到直线的距离为

d?

| 3cos? ? 4sin? ? 10 | | 5cos (? ? ? 0 ) ? 10 | …………8 分 ? 5 5
3 4 , sin ? 0 ? 由三角函数性质知，当 ? ? ?0 ? 0 时， 5 5

其中 cos ? 0 ?

d 取最小值为 dmin ? 5 …………10 分
此时 3cos ? ? 3cos ? 0 ?

9 8 , 2sin ? ? 2sin ? 0 ? 5 5

即点 M ( , ) …………12 分 （21）解： （Ⅰ）由 sin( B ? C ) ? 所以 sin A ?

9 8 5 5

2S 2S ，即 sin A ? 2 2 a ?c a ? c2
2

bc sin A 2 2 ，所以 a ? c ? bc ，…………2 分 2 2 a ?c

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ，所以 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A
所以 b ? 2bc cos A ? bc ，所以 b ? 2c cos A ? c
2

? sin B ? 2sin C cos A ? sin C …………4 分

?sin( A ? C ) ? 2sin C cos A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C ?sin( A ? C ) ? sin C ? A, B, C ? (0, ? ) A ? 2C …………6 分

（Ⅱ） 因为 A ? 2C 所以 B ? ? ? 3C ? sin B ? sin 3C

?

a b 2 sin 2C ? 且b ? 2 ?a ? sin A sin B sin 3C 2sin 2C sin C 1 2sin 2C sin C ? S ? ab sin C ? ? sin 2C cos C ? cos 2C sin C 2 sin(2C ? C ) 2 tan 2C tan C 4 tan C 4 ， ? ? ? 2 3 tan 2C ? tan C 3 ? tan C ? tan C tan C ? ? ? A ? 2C ? (0, 2 ) ? ? ? ? ? 因为 ?ABC 为锐角三角形，所以 ? B ? ? ? 3C ? (0, ) 所以 C ? ( , ) 6 4 2 ? ? ? C ? (0, ) ? 2 ?

? tan C ? (

3 ,1) ，因为 S ? 3

4 3 ? tan C tan C

为增函数，所以 S ? (

3 , 2) …………12 分 2
7

（22） 解 ： （Ⅰ）曲线 C1 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ，即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ，得 ? 2 ? 2? cos? ? 0 所以曲线 C1 的极坐标方程为 （Ⅱ）设点

? ? 2 cos ? …………5 分
? 6

A 的极坐标为 ( ?1 , ) ，点 B 的极坐标为 ( ? 2 , ) ，
?
6 ? 3 ， ?2 ? sin

? 6

则 ?1 ? 2 cos

?
6

? cos

?
6

?

1 3 ? 2 2

所以 AB ?| ?1 ? ?2 |?

3 ?1 …………10 分 2

8