南安一中 2015~2016 学年度下学期期末考 高二数学(文科)试卷
本试卷考试内容为:三角函数、三角恒等变换、解三角形、选考 4-4、4-5,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分150分,考试时 间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚 4.保持答题纸纸面清洁,不 破损。考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题, 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 (1) cos 75 cos15 +sin 75 sin15 的值为 (A) 0 (B) 1 (C)
0 0 0 0
1 2
(D) ?
1 2
(2)不等式 | 4 ? 3x |? 5 的解集是 (A) {x | ? (C) {x |
1 ? x ? 3} 3
(B) {x | ?
1 ? x ? 3} 3
1 3 ? x? ? 2 x (3)在同一平面直角坐标系中,将曲线 y ? 3sin 2 x 按伸缩变换 ? 后,所得曲线为 ? y? ? 3 y (A) y ? sin x (B) y ? 9sin 4 x (C) y ? sin 4 x (D) y ? 9sin x
(D) {x | x ? ? 或x ? 3} (4)在 ? ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 2 3, ?B ? 60? ,则 BC 的长为 (A) 2 (5)函数 f ( x) ? sin( (A) 3, ? (B) 3 2 (C) 2 7 (D) 3 3
1 ? x ? 3} 3
?
6
? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是
(B) 3,
?
2
(C) 2,
?
2
(D) 2, ?
(6)在周长为 16 的扇形中,当扇形的面积取最大值时,扇形的半径为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (7)在极坐标系中,圆 ? ? 3 cos? ? sin ? (0 ? ? ? 2? ) 的圆心的极坐标是 (A) ?1,
? ?? ? ? 6?
(B) ?1,
(8)函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
?
? 5? ? ? ? 6 ?
(C) ?1,
? 7? ? ? ? 6 ?
(D) ?1,
? 11? ? ? ? 6 ?
4
) 的一个单调减区间是
1
(A) [
5? 9? , ] 8 8
(B) [ ?
? 3?
8 , 8
]
(C) [
3? 7? , ] 8 8
(D) [
? 5?
8 , 8
]
(9)已知 ? ? 0 , ? ?
? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示.为了得到函数 g ( x) ? sin ? x 2
的图象,只要将 f ? x ? 的图象 (A)向右平移
? 个单位长度 4
(B)向右平移
? 个单位长度 8
? ? 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度 4 8 ? (10) 直线 l 的倾斜角为 , 且过点 P(1, 2) , 若直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 10 交于 A, B 两点, 则 PA ? PB 的 6
(C)向左平移 值为 (A) 2 3 (B) 5 (C) 2 3 ? 2 (D) 2 2 ? 3
(11)已知 a ? 1, b ? 2 ,且 (A) 8
1 1 ? ? 3 ,则 a ? 4b 的最小值为 a ?1 b ? 2 (B) 9 (C) 10
(D) 12
(12)已知 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin 2 x ,若 ?t ? R, x ? R , a sin t ? 3a ? 1 ? f ( x) 恒成立,则实数 a 的 取值范围是 (A) ? 0, +? ? (B) [
2 , ??) 2
(C) ?
? 2 ? , +? ? ? ? 4 ?
(D) [ 2, ??)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设 ? ? (0,
?
2
) , sin ? ?
6 ,则 tan ? ? 3
) 到直线 ? sin ? ? 3 的距离等于________
D
(14)在极坐标系中,点 (2,
?
6
(15)已知 x, y ? R ,若 x ? y ?1 ? x ?1 ? y ? 2 ? 4 ,则 x+y 的取值范围为________ (16)如右图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑物 CD .为
0
了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ? ,在山坡的 A 处测得 ?DAC ? 15 ,沿山坡前进
25m 到达 B 处,又测得 ?DBC ? 450 .根据以上数据计算可得 cos ? ? __________.
C
B
θ
A
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2 x ?1 (Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,
?
2
] 上的最大值和最小值.
(1 8)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 3sin 2 B ?1 ? cos2 B 。 (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)若 BC = 2, A ?
?
4
,求△ABC 的面积.
(19)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? x ?1 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 1在 ?0,1? 上恒成立,求 a 的取值范围. (20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系中,曲线 C1 : ?
? x ? 3cos ? 3 ( ? 为参数, a ? 0 )过点 P ( , 3) ,以坐标原点为极点, x 轴的 2 ? y ? a sin ?
正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
cos? ? 2 sin ? ?
10
?
.
(Ⅰ)求曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)在 C1 上求一点 M ,使点 M 到直线 l 的距离最小,求出最小距离及点 M 的坐标.
(21)(本小题满分 12 分)
3
已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, S 为 ?ABC 的面积, sin( B ? C ) ? (Ⅰ)证明: A ? 2C ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,且 ?ABC 为锐角三角形,求 S 的取值范围.
2S . a ? c2
2
(22)(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的 ? y ? sin ?
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? cos ? ,曲线 C3 的极坐标方程为 ? ? (Ⅰ)把曲线 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)曲线 C3 与曲线 C1 交于点 O 、
?
6
.
A ,曲线 C3 与曲线 C2 交于点 O 、 B ,求 AB
.
4
南安一中 2015~2016 学年度下学期期末考 高二数学科试卷(文科)参考答案及评分标准 说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. (1)C (2)B (3)D (4)A (5)A (6)C (7)D (8)C (9)B (10)B (11)D (12)B 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 20 分. (13) 2 (14) 2 (15) [?1,3] (16)
3 ?1 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)解答: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? cos 2x ?1
? sin 2 x ? cos 2 x …………2 分
? 2 sin(2 x ? ) …………4 分 4
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T= (Ⅱ) f ( x) ? 当 x ? [0,
?
2? =? .…………6 分 2
? 5? ? [ , ] …………8 分 2 4 4 4 ? 5? 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知, 4 4
?
] 时, 2 x ?
当 2x ? 时, f ( x) 取最大值 2 ;…………10 分 8 2 ? ? 5? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取最小值 ?1 . 4 4 4
2 sin(2 x ? ) 4
?
?
?
4
?
?
,即 x ?
?
综上, f ( x) 在 [0,
?
2
] 上的最大值为 2 ,最小值为 0 .…………12 分
(18) 解: (I)解法 1:因为 3sin 2 B ?1 ? cos2 B ,所以 2 3sin B cos B ? 2sin 2 B , 因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 ,从而 tan B ? 3 ,所以 B ? 解法 2:依题意得 3sin 2B ? cos2B ? 1 ,所以 2sin(2B ? 因为 0 ? B ? ? ,所以
?
3
。…………6 分
?
? 1 ) ? 1 ,即 sin(2B ? ) ? , 6 6 2
?
6
? 2B ?
?
6
?
13? ? 5? ? ,所以 2B ? ? ,所以 B ? 。…………6 分 3 6 6 6
5
(II)解法 1:因为 A ? 所以 AC ?
?
4
,B?
?
3
,根据正弦定理得
AC BC , ? sin B sin A
BC sin B ? 6 。…………8 分 sin A
5? ? ? 6? 2 5? ? sin( ? ) ? ,所以 sin C ? sin ,…………10 分 12 4 6 4 12 1 1 6 ? 2 3? 3 AC ? BC sin C ? ? 6 ? 2 ? ? 。…………12 分 2 2 4 2
因为 C ? ? ? A ? B ?
所以△ABC 的面积 S ?
解法 2:同解法 1 得 AC ? 6 , 根据余弦定理得 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B , 化简为 AB 2 ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 ,…………10 分
1 1 3 3? 3 AB ? BC sin B ? ? 2 ? (1 ? 3) ? ? …………12 分 2 2 2 2 (19)解: (I)当 a ? 2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ,
所以△ABC 的面积 S ? 当 x ? 0 时,即 2 ? x ? ? x ? 1 ,即 2 ? 1 ,所以解为 x ? ? ??,0? ; 当 0 ? x ? 2 时,即 2 ? x ? x ? 1 ,即 x ? 当 x ? 2 时,即 x ? 2 ? x ? 1 ,解为 ? ; 所以该不等式的解为 x ? ? ??, ? …………6 分 2
1 ? 1? ,所以解 为 x ? ? 0, ? ; 2 ? 2?
? ?
1? ?
(II)因为 f ? x ? ? 1即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,…………8 分 而 f ? x ? ? 1在 ?0,1? 上恒成立,所以 ? 所以 a ? [0,1] …………12 分 (20)解: (I)因为曲线 C1 : ?
?a ? 1 ? 0 ? a ?1 ? 1
? x ? 3cos ? 3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,因为 P( , 3) 在 ( ? 为参数)所以 2 9 a ? y ? a sin ?
2
曲线 C1 上,所以代入方程有 a ? 4 ,所以 C1 :
x2 y 2 ? =1…………4 分 9 4
,将极坐标方程两边同乘 ? :
因为直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 2 sin ? ?
10
?
? cos? ? 2? sin ? ? 10 ,所以直线 l 的直角坐标方程 x ? 2 y ?10 ? 0 …………6 分
6
(II)因为椭圆的参数方程为 ?
? x ? 3cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2sin ?
所以可设点 M (3cos ? , 2sin ? ) , 由点到直线的距离公式,点 M 到直线的距离为
d?
| 3cos? ? 4sin? ? 10 | | 5cos (? ? ? 0 ) ? 10 | …………8 分 ? 5 5
3 4 , sin ? 0 ? 由三角函数性质知,当 ? ? ?0 ? 0 时, 5 5
其中 cos ? 0 ?
d 取最小值为 dmin ? 5 …………10 分
此时 3cos ? ? 3cos ? 0 ?
9 8 , 2sin ? ? 2sin ? 0 ? 5 5
即点 M ( , ) …………12 分 (21)解: (Ⅰ)由 sin( B ? C ) ? 所以 sin A ?
9 8 5 5
2S 2S ,即 sin A ? 2 2 a ?c a ? c2
2
bc sin A 2 2 ,所以 a ? c ? bc ,…………2 分 2 2 a ?c
? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,所以 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A
所以 b ? 2bc cos A ? bc ,所以 b ? 2c cos A ? c
2
? sin B ? 2sin C cos A ? sin C …………4 分
?sin( A ? C ) ? 2sin C cos A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C ?sin( A ? C ) ? sin C ? A, B, C ? (0, ? ) A ? 2C …………6 分
(Ⅱ) 因为 A ? 2C 所以 B ? ? ? 3C ? sin B ? sin 3C
?
a b 2 sin 2C ? 且b ? 2 ?a ? sin A sin B sin 3C 2sin 2C sin C 1 2sin 2C sin C ? S ? ab sin C ? ? sin 2C cos C ? cos 2C sin C 2 sin(2C ? C ) 2 tan 2C tan C 4 tan C 4 , ? ? ? 2 3 tan 2C ? tan C 3 ? tan C ? tan C tan C ? ? ? A ? 2C ? (0, 2 ) ? ? ? ? ? 因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 ? B ? ? ? 3C ? (0, ) 所以 C ? ( , ) 6 4 2 ? ? ? C ? (0, ) ? 2 ?
? tan C ? (
3 ,1) ,因为 S ? 3
4 3 ? tan C tan C
为增函数,所以 S ? (
3 , 2) …………12 分 2
7
(22) 解 : (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,得 ? 2 ? 2? cos? ? 0 所以曲线 C1 的极坐标方程为 (Ⅱ)设点
? ? 2 cos ? …………5 分
? 6
A 的极坐标为 ( ?1 , ) ,点 B 的极坐标为 ( ? 2 , ) ,
?
6 ? 3 , ?2 ? sin
? 6
则 ?1 ? 2 cos
?
6
? cos
?
6
?
1 3 ? 2 2
所以 AB ?| ?1 ? ?2 |?
3 ?1 …………10 分 2
8