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2.3等差数列的前n项和(3)教师版


2.3 等差数列的前 n 项和(三) 教学目标分析: 知识目标:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式 Sn 研究的最值; 过程与方法:经历公式应用的过程; 情感目标:通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生 活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题。 重难点分析: 重点:等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用; 难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题; 互动探究: 一、课堂探究: 1、复习巩固: (1)等差数列的前 n 项和公式: Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2 2 (2)等差数列的前 n 项和公式的推导方法:高斯算法、倒序相加法 例 1、 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n ? 如果是,它的首项与公差分别是什么? 1 n, 求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗? 2 注意:数列 {an } 的前 n 项和 S n 与 an 的关系:由 S n 的定义可知, 当 n ? 1 时, S1 = a1 ;当 n ? 2 时, an = S n - S n ?1 ,即 an = ? ?S1 ( n ? 1) ?S n ? S n ?1 ( n ? 2) 变式 1:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 3 ,求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列 吗? 1 探究二、等差数列的的前 n 项和为 Sn 可以看成序号 n 的二次函数;反之,若一个数列的前 n 项 和为 Sn 可以看成序号 n 的二次函数,那么这个数列一定是等差数列吗?由此,我们可以类比研究函 数来研究等差数列的哪些性质? 类型 1、 一般地, 如果一个数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? An2 ? Bn , 其中 A、B 为常数, 且A?0, 那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 由 Sn ? An2 ? Bn ,得 S1 ? a1 ? A ? B 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 = ( An2 ? Bn) ? [ A(n ?1)2 ? B(n ?1)] = 2 An ? ( A ? B) ?d ? an ? an?1 ? [2 An ? ( A ? B)] ? [2 A(n ?1) ? ( A ? B)] ? 2 A 数列 {an } 是以 a1 ? A ? B 为首项, 2 A 为公差的等差数列. 类型 2、一般地,如果一个数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? An2 ? Bn ? C ,其中 A、B、C 为常数, 且 A ? 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 由 Sn ? An2 ? Bn ? C ,得 S1 ? a1 ? A ? B ? C 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 = ( An2 ? Bn ? C) ? [ A(n ?1)2 ? B(n ?1) ? C] = 2 An ? ( A ? B) ?d ? an ? an?1 ? [2 An ? ( A ? B)] ? [2 A(n ?1) ? ( A ? B)] ? 2 A 若 n ? 1, a1 ? A ? B ? A ? B ? C ,所以数列 {an } 不是等差数列, an ? ? 变式 2

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