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2.2.1双曲线及其标准方程(第1课时)


2.2.1 双曲线及其标准方程

高二数学组

杜强

复习旧知 导入新知

椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离的 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 提出问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 的点的轨迹是什么呢? 差 等于常数 和 等于常数

实验探究 生成定义

(一)用心观察,小组共探
(要求:请同学们认真观察图中动画,对比椭圆第一定义的生成,思考点M 在运动过程中那些量没有发生变化?在试验中能否找到一种等量关系?)
[1]取一条拉链; 数学试验演示 [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2; [3] 拉动拉链(M)。 思考:拉链运动的 轨迹是什么?

实验探究 生成定义

(一)用心观察,小组共探
观察AB两图探究双曲线的定义 ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图 (B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 数学试验演示
[1]取一条拉链; [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2; [3] 拉动拉链(M)。 思考:拉链运动的 轨迹是什么?

由①②可得: (差的绝对值)

| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面 两条合起来叫做双曲线

根据以上分析,试给双曲线下一个 完整的定义?

实验探究 生成定义

双曲线的几何定义:平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的 轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. (0<2a<2c) 双曲线定义的符号表述:
F1

M

o F2

思考:

| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|)
定义中需要注意什么?

讨论:定义当中条件2a<|F1F2 |=2c如果去掉,那么点的
轨迹还是双曲线吗?

群策群力 深化概念

(1)若2a=2c,则轨迹是什么?
P Q

M F1

F2

M

两条射线F1P、F2Q。 (2)若2a>2c,则轨迹是什么?

无轨迹。
(3)若2a=0,则轨迹是什么?
F1 M F2

|MF1|=|MF2| 线段F1F2的垂直平分线。

生活中的双曲线

双曲线型自然通风冷却塔

灯影双曲线

生活中的双曲线

可口可乐的下半部

玉枕的形状

生活中的双曲线

生活中的双曲线

理解概念 探求方程

(一)齐思共想,推导方程

建系标准:简洁、对称
以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的 中点为原点建立直角坐标系,设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0)

y
M
O

|MF1| - |MF2|=±2a
求点M轨迹方程。

F1

F2

x

理解概念 探求方程

(二)自我展示,大家共赏 _ 2a } P= {M ||MF1 | - | MF2| = +

y
M

(x ? c)2 ? y 2 ? (x ? c)2 ? y 2 ? ?2a

F1

o

F2 x

再次平方,得: (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 由双曲线的定义知,2c>2a,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得:

x2 - y2 1 = (a>0,b>0) 2 2 b a

理解概念 探求方程

(三)提炼精华,总结方程

y
M
F1

方程 叫做双曲线的标准方程
x2 - y2 = 1 (a>0,b>0) a2 b2
它表示的双曲线焦点在x轴上, 焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2 思考: 当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程 是怎样的呢?

o

F2

x

理解概念 探求方程

(三)提炼精华,总结方程

(1)焦点在x轴上
y

(2)焦点在y轴上
y F2

F1
2

o
2

F2

x

o

x F1
2

F1(-c, 0)、F2( c , 0)

x y - 2 2 =1 a b

c2=a2+b2
(a>0, b>0)

F1(0, -c)、F2( 0, c )

y x - 2 2 =1 a b

2

根据系数正负来判断焦点位置。

知识迁移 深化认知

例1:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值 等于6,求双曲线的标准方程.
解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,

x2 y2 所以设它的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b
∵ ∴ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5 b2 = 52-32 =16

x2 y2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 9 16

知识迁移 深化认知

变式:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6 解:
∴由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. 2 2 x y ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

知识迁移 深化认知

例2.(课本第47页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点 的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的 轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB 的中点重合 设爆炸点P的坐标为(x,y),则

y

P

PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680
即 2a=680,a=340

A

o

B

x

? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 115600 44400

归纳比较 强化新知
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?

答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定 爆炸点在某条曲线上,但不能确定爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为 了安全,我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸点 的准确位置呢?

答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的 时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程 组,就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

知识迁移 深化认知
x2 y2 1、a=4,b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 16 ? 9 ? 1

课堂练习

2、焦点为(2 0, -6) ,(0,6),经过点(2,-5)的双曲线的标 2 准方程是 y ? x ? 1
20 16

x y2 ? ? 1上的点P到(5,0)的距离是15,则P到 3、设双曲线 16 9

2

(-5,0)的距离是 7或23 .
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则m的取值范围 4、如果方程 2 ? m m ?1

m | m>-1或m< -2 是 __________

知识迁移 深化认知

? ? 双曲线: ? ? ?

(1)定义:| |MF1|-|MF2| | =2a(0<2a<|F1F2|) 2 2 ?x y ? 2 ?1 ? 2 a b ?2?标准方程 : ? (a ? 0, b ? 0) ? 2 2 y x ? ? ? 1 2 2 (3)应用 ? b ?a

由方程定焦点:椭 圆看大小 双曲线看符号


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