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高中数学必修2 圆与方程复习(教师版 正稿 2015.11.26)


高中数学人教 A 版

必修二

第四章

圆的方程复习巩固与提高

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当D
2
2

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆 心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为
d? Aa ? Bb ? C ,则有 d A2 ? B 2

? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半 径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 d ? R ? r 当 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
第 1 页 共 6 页

例 1、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 解:依题意得,弦心距 d ? 弧所对的圆心角为 ?AOB ?

3 ,故弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣

?
3

例 2、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 解:∵曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

4 ? x 2 表示半圆 x 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) ,∴利用数形结合法,可得实数 m 的取值范围是

?2 ? m ? 2 或m ? 2 2 .
例 3、 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l 2 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的圆心为 O1 (3 , 3) ,半径 r ? 3 . 设圆心 O1 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 3 ?4
2 2

? 2 ? 3.

如图,在圆心 O1 同侧,与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行且距离为 1 的直线 l1 与圆有两个交点,这两个交 点符合题意.

又 r ? d ? 3 ? 2 ? 1. ∴与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有 3 个. 解法二:符合题意的点是平行于直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ,且与之距离为 1 的直线和圆的交点.设所求直 线为 3x ? 4 y ? m ? 0 ,则 d ?

m ? 11 32 ? 42

? 1,

∴ m ? 11 ? ?5 ,即 m ? ?6 ,或 m ? ?16 ,也即

l1: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,或 l2: 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .
设圆 O1: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d 2 ,则
2 2

第 2 页 共 6 页

d1 ?

3? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42

? 3 , d2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 16 32 ? 42

? 1.

∴ l1 与 O1 相切,与圆 O1 有一个公共点; l 2 与圆 O1 相交,与圆 O1 有两个公共点.即符合题意的点共 3 个. 例 4、圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的公切线共有
2 2 2 2

条。

2 2 2 2 解:∵圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的圆心为 O1 (1,0) ,半径 r1 ? 1 ,圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心为 O2 (0,?2) ,半径

r2 ? 2 , ∴ O1O2 ? 5 , r1 ? r2 ? 3, r2 ? r1 ? 1 .∵ r2 ? r1 ? O1O2 ? r1 ? r2 , ∴两圆相交.共有 2 条公切线。

例 5、两圆 C1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、 B 两点,求 它们的公共弦 AB 所在直线的方程. 分析: 首先求 A 、B 两点的坐标, 再用两点式求直线 AB 的方程, 但是求两圆交点坐标的过程太繁. 为 了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 解:设两圆 C1 、 C2 的任一交点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有:

x0 ? y0 ? D1x0 ? E1 y0 ? F1 ? 0 x0 ? y0 ? D2 x0 ? E2 y0 ? F2 ? 0
2 2

2

2

① ②

①-②得: ( D1 ? D2 ) x0 ? ( E1 ? E2 ) y0 ? F1 ? F2 ? 0 . ∵ A 、 B 的坐标满足方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 . ∴方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 是过 A 、 B 两点的直线方程. 又过 A 、 B 两点的直线是唯一的. ∴两圆 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 例 6、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动, ?AOB的平分线交 AB 于点 M ,则点 M 的轨迹
2 2

方程是

.

解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ OM 是 ?AOB的平分线,∴ AM ? OA ? 1 , ∴ AM ? 1 MB .由变式 1 可 3 MB OB 3 得点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ?

3 4

9 . 16

2 2 例 7、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 2 2 解 : ∵ 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 18 的 圆 心 为 ( 2 , 2 ) ,半径 r ?3 2 ,∴圆心到直线的距离

第 3 页 共 6 页

d?

10 2

?5 2 ? r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 .
y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最 x?2

例 8、已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.(1)求
2 2

大值与最小值. 解: (1)设

y ?1 ? k ,则 k 表示点 P ( x, y ) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k 取得最大 x?2
2k k 2 ?1 ? 1 ,解得 k ? ?
3 3 y ?1 3 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? . 3 3 x?2 3

值与最小值.由

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得最大值

与最小值.由

1? m 5

? 1,解得 m ? 1 ? 5 ,∴ 2 x ? y 的最大值为 1 ? 5 ,最小值为 1 ? 5 .

课后自测练习题

1.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). 2 2 2 2 2 2 2 2 A、(x-3) +(y+4) =16 B、(x+3) +(y-4) =16 C、(x-3) +(y+4) =9 D(x+3) +(y-4) =19 解析:B 解析:∵与 x 轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4),∴圆方程为(x+3)2+(y-4)2=16. 2.若直线 x+y+m=0 与圆 x +y =m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C. 2
2 2

). D.无解
m 2

解析:B 解析:∵x+y+m=0 与 x2+y2=m 相切,∴(0,0)到直线距离等于 m .∴ =2. 3.圆(x-1) +(y+2) =20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B.6 C.6 2
2 2

= m ,∴m

). D.4 3

解析:A 解析:令 y=0,∴(x-1)2=16.∴ x-1=±4,∴x1=5,x2=-3.∴弦长=|5-(-3)|=8. 4.圆 x +y -2x-5=0 与圆 x +y +2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( ). A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 2 2 2 2 解析:A 解析:对已知圆的方程 x +y -2x-5=0,x +y +2x-4y-4=0,经配方,得(x-1)2+y2=6, (x+1)2+(y-2)2=9.圆心分别为 C1(1,0),C2(-1,2).直线 C1C2 的方程为 x+y-1=0.
2 2 2 2

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5.圆 x +y -2x=0 和圆 x +y +4y=0 的公切线有且仅有( ). A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 2 2 2 2 解析:C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1) +y =1 和 x +(y+2) =4,两圆圆心分别为 O1(1,0), O2(0,-2),r1=1,r2=2,|O1O2|= 12+22 = 5 ,又 1=r2-r1< 5 <r1+r2=3,故两圆相交,所以 有两条公切线,应选 C. 6.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c);点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( ). A.3 B.2 C.1 D.0 解析: C 解:①②③错,④对.选 C. 7.圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 . 3+4+8 解析:圆心到直线的距离 d= =3,∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2. 5 8.两圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,试确定常数 a 的值
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2



解析:0 或±2 5 .解析:当两圆相外切时,由|O1O2|=r1+r2 知 42+a 2 =6,即 a=±2 5 . 当两圆相内切时,由|O1O2|=r1-r2(r1>r2)知 42+a 2 =4,即 a=0.∴a 的值为 0 或±2 5 . 9.设圆 x +y -4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 . 2 2 解析:x+y-4=0.解析:圆 x +y -4x-5=0 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所以直 线 AB 与直线 CP 垂直,即 kAB·kCP=-1,解得 kAB=-1,又直线 AB 过 P(3,1),则直线方程为 x+y-4 =0.
2 2

10.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0). 解析:x2+y2-ax-by=0. 解析:∵圆过原点,∴设圆方程为 x2+y2+Dx+Ey=0.∵圆过(a,0)和(0,b), ∴a2+Da=0,b2+bE=0. 又∵a≠0,b≠0,∴D=-a,E=-b.故所求圆方程为 x2+y2-ax-by=0. 11. 求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程. 解析:x2+y2=36.解析:设直线与圆交于 A,B 两点,则∠AOB=120° ,设 r 15 所求圆方程为:x2+y2=r2,则圆心到直线距离为 ? ,所 2 5 以 r=6,所求圆方程为 x2+y2=36.

y 4 2 -2 -4

A -5

O r B

5 x

第 17 题

12.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程. 解析:x2+y2-2x-12=0. 解析:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
第 5 页 共 6 页

∵A,B 两点在圆上,代入方程整理得: D-3E-F=10 ① 4D+2E+F=-20 ② 设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2.在圆的方程中, 令 x=0 得 y2+Ey+F=0,∴b1+b2=-E; 令 y=0 得 x2+Dx+F=0,∴a1+a2=-D. 由已知有-D-E=2.③①②③联立方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 所以圆的方程为 x2+y2-2x-12=0.

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