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我的错题本之高中数学(一)集合与函数:专题一 集合的概念与运算(含答案解析)


专题一 集合的概念与运算 雷区 1:对集合性质认识不清,忽视元素的互异性 例 1:已知集合 {x, xy, lg( xy)} ? {0, | x |, y} ,求 x ? y 的值. 错解:由 xy ? 0 且集合相等,只有 lg( xy) ? 0 即 xy ? 1 时满足题意,所以可得 | x |? 1 或 | y |? 1 , ∴? ? x ? 1 ? x ? ?1 或? ,所以 x ? y ? 2 或 x ? y ? ?2 . ? y ? 1 ? y ? ?1 当 x ? y ? 1时,两集合均有两个相等的元素 1,这与集合中元素的互易 性相悖. 1,0} ? {0, | x |, y} ,故 【分析】由 xy ? 0 且集合相等,可得 xy ? 1 ,此时集合 {x, x ? ?1, y ? ?1,所以 x ? y ? ?2 . b ? ? 1、已知 a∈R,b∈R,若?a,a ,1?={a2,a+b,0},则 a2017+b2017=________. ? ? 集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大, 特别是含有字母的集合, 在求出字母 易爆警示 的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 雷区 2:运用数轴图示法忽视端点是实心还是空心 P M∩N≠ ? Q ? ? ,则实数 a 的取值范围一 例 2:设集合 M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若 定是( ) B.(-∞,2] C.-1,+∞) D.(-1,+∞) A.-1,2) 错解:在数轴上标出两集合,如图, 足题意. ,可知当 a ? ?1 时,满 P M∩N= ?Q ? ?. 当 a ? ?1 时, 取 a ? ?1 , 由于 N={y|y<a}, 故 y ? ?1 , 此时 PM ?∩ QN ? 【分析】∵M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且 ≠ ? ,如图只要 a>-1 即可. 2、对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M,且 x? N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A= 9 ? ? ?x| x≥- ,x∈R?,B={x|x<0,x∈R},则 A⊕B=( 4 ? ? 9 - ,0? A.? ? 4 ? 9 -∞,- ?∪(0,+∞) D.? 4 ? ? 9 ? ? 【 分 析 】 依 题 意 得 A - B = {x|x≥0 , x∈R} , B - A = ?x| x<-4,x∈R? , 故 A⊕B = ? ? ) 9 -∞,- ? ∪0 , + ∞) C.? 4 ? ? 9 - ,0? B.? ? 4 ? ?-∞,-9?∪0,+∞). 4? ? 易爆警示 Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运 用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心, 时常可直接将端点值代入进行检验, 从而得 出结论. 雷区 3:对集合中的元素认识不清 2 例 3:已知集合 A ? { y | y ? x ? 3x ? 2, x ? R} , B ? { y | y ? x ? 6, x ? R} ,则 A? B ? . 错解:联立方程组 ? ? y ? x 2 ? 3x ? 2 ? x ? ?4 ? x ? 2 ,解得 ? 或? ,所以 ?y ? 2 ?y ? 8 ?y ? x ? 6 A ? B ? {(?4,2), (2,8)}. 未能辨认代表元素,误认为集合 A 与集合 B 为点集,实质是数集. 【分析】 A ? { y | y ? x ? 3x ? 2, x

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