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我的错题本之高中数学(一)集合与函数:专题一 集合的概念与运算(含答案解析)

专题一 集合的概念与运算 雷区 1:对集合性质认识不清,忽视元素的互异性 例 1:已知集合 {x, xy, lg( xy)} ? {0, | x |, y} ,求 x ? y 的值. 错解:由 xy ? 0 且集合相等,只有 lg( xy) ? 0 即 xy ? 1 时满足题意,所以可得 | x |? 1 或 | y |? 1 , ∴? ? x ? 1 ? x ? ?1 或? ,所以 x ? y ? 2 或 x ? y ? ?2 . ? y ? 1 ? y ? ?1 当 x ? y ? 1时,两集合均有两个相等的元素 1,这与集合中元素的互易 性相悖. 1,0} ? {0, | x |, y} ,故 【分析】由 xy ? 0 且集合相等,可得 xy ? 1 ,此时集合 {x, x ? ?1, y ? ?1,所以 x ? y ? ?2 . b ? ? 1、已知 a∈R,b∈R,若?a,a ,1?={a2,a+b,0},则 a2017+b2017=________. ? ? 集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大, 特别是含有字母的集合, 在求出字母 易爆警示 的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 雷区 2:运用数轴图示法忽视端点是实心还是空心 P M∩N≠ ? Q ? ? ,则实数 a 的取值范围一 例 2:设集合 M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若 定是( ) B.(-∞,2] C.-1,+∞) D.(-1,+∞) A.-1,2) 错解:在数轴上标出两集合,如图, 足题意. ,可知当 a ? ?1 时,满 P M∩N= ?Q ? ?. 当 a ? ?1 时, 取 a ? ?1 , 由于 N={y|y<a}, 故 y ? ?1 , 此时 PM ?∩ QN ? 【分析】∵M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且 ≠ ? ,如图只要 a>-1 即可. 2、对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M,且 x? N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A= 9 ? ? ?x| x≥- ,x∈R?,B={x|x<0,x∈R},则 A⊕B=( 4 ? ? 9 - ,0? A.? ? 4 ? 9 -∞,- ?∪(0,+∞) D.? 4 ? ? 9 ? ? 【 分 析 】 依 题 意 得 A - B = {x|x≥0 , x∈R} , B - A = ?x| x<-4,x∈R? , 故 A⊕B = ? ? ) 9 -∞,- ? ∪0 , + ∞) C.? 4 ? ? 9 - ,0? B.? ? 4 ? ?-∞,-9?∪0,+∞). 4? ? 易爆警示 Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运 用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心, 时常可直接将端点值代入进行检验, 从而得 出结论. 雷区 3:对集合中的元素认识不清 2 例 3:已知集合 A ? { y | y ? x ? 3x ? 2, x ? R} , B ? { y | y ? x ? 6, x ? R} ,则 A? B ? . 错解:联立方程组 ? ? y ? x 2 ? 3x ? 2 ? x ? ?4 ? x ? 2 ,解得 ? 或? ,所以 ?y ? 2 ?y ? 8 ?y ? x ? 6 A ? B ? {(?4,2), (2,8)}. 未能辨认代表元素,误认为集合 A 与集合 B 为点集,实质是数集. 【分析】 A ? { y | y ? x ? 3x ? 2, x ? R} ? { y | y ? ? 2 17 }, 4 17 B ? { y | y ? x ? 6, x ? R} ? R ,所以 A ? B ? { y | y ? ? } . 4 例 4:设集合 P ? { y | y ? ax ? b, a, b ? R, a ? 0} , Q ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? r 2 , r ? 0} ,则 P ? Q 中元素的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.不能确定 错解:由已知集合 P 为直线上的点集,Q 为圆上的点集,而直线与圆有相交、相 切、相离三种情况,故 P ? Q 中元素的个数不能确定. 未注意到集合 P 中的代表元素的含义,误认为是直线(一次函数) ,而 直线与圆有相交、相切、相离三种情况,从而致误. 要注意准确把握集合中元素所具有的性质特征, 如集合 {x | y ? f ( x)}表示函数 y ? f ( x) 的 易爆警示 定义域,{ y | y ? f ( x)}表示函数 y ? f ( x) 的值域,{( x, y) | y ? f ( x)} 表示函数 y ? f ( x) 图象上的点. x 3 、 已 知 全 集 U ? R , 设 集 合 A ? {x | y ? lg( x ? 1)} , 集 合 B ? y y ? 2 , x ? 1 , 则 ? ? A (CU B) ( A. ?1, 2? ) B. ?1, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2? 【 ∴A 分 析 】 ∵ A ? {x | x ? 1} , B ? y y ? 2x , x ? 1 , ? ? ? { y | y ? 2} , (CU B) ? {x |1 ? x ? 2} ,选 C. 2 2 2 4 、 设 A ? {x y ? x ? 1}, B ? { y y ? x ? 1},C ? {( x, y ) y ? x ? 1} , 则 下 列 关 系 : ① A ? C ? ? ;② A ? C ;③ A ? B ;④ B ? C ,其中不正确的个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.3 【分析】集合 A 中的代表元素是,满足条件 y ? x 2 ? 1 中的 x ? R ,所以实质上 A

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