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河南省许昌市三校许昌高中长葛一高襄城高中2016_2017学年高二数学下学期第一次联考试题理

许昌市三校联考高二下期第一次考试 数学(理科)
考试时间:120 分钟 分值:150 分 本试题卷分第 I 卷(选择题)和 第 II 卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在答题卡 上,在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1. 命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为( )
2

2 A.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0. 2 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0.

B.对任意 x ? R ,都有 x ? 0 .
2

D.不存在 x ? R ,使得 x ? 0 .
2

2. 椭圆

4 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为( 5 9 4?k
B. 21 C. ?



A. ?21

19 或 21 25

D.

19 或 21 25

3. 如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 2, AA 1 ? 1, 则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( A. ) D.

2 2 3

B.

2 3
x

C.

2 4

1 3

4. 已知命题 p : f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 是单调增函数;命题 q : ?x ? (

? 5?
4 , 4

),

sin x ? cos x ,则下列命题为真命题的是(
A. p ? q B. p ? (?q )

) D. (?p) ? q

C. (?p) ? (?q) )

5.“ (m ? 1)(a ? 1) ? 0 ”是“ log a m ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .若 a ? 2, c ? 2 3, cos A ?

3 ,且 2

b ? c ,则 b =(
A.3

) B. 2 2 C.2 D. 3 )

7. 已知数列 ?an ? 满足

ln an 3n ln a1 ln a2 ln a3 ? ? ????? ? (n ? N * ) ,则 a10 ? ( 3 6 9 3n 2

1

A. e

30

B. e

100 3

C. e

110 3

D. e

40

8. 若实数 x, y 满足条件 ? A.9 B.11

? y ? 2 | x | ?1 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为( ) ? y ? x ?1
C.12 D.16

9. 在 ?ABC 中,若 sin( A ? B) ? 1 ? 2cos( B ? C )sin( A ? C ) ,则 ?ABC 的形状一定是 ( ) B.不含 60 的等腰三角形 D.直角三角形
?

A.等边三角形 C.钝角三角形

x2 y 2 10.已知斜率为 3 的直线 l 与双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于 A,B 两点,若点 a b
P(6, 2) 是 AB 的中点,则双曲线 C 的离心率为(
A. 2 B. 3 C.2 ) D. 2 2

11.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 4 a1 , 则

1 4 ? 的 最小值为( m n



A.

3 2

B.

5 3

C.

25 6

D.不存在

12.如图, F1 , F2 是双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦 b2

点,若直线 y ? x 与双曲线 C 交于 P,Q 两点,且四边形 PFQF 1 2 为矩 形,则双曲线的离心率为( A. 2+ 2 C. 2+ 2 ) B. 2 ? 6 D. 2+ 6 第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知点 A(2, ?5,1), B(2, ?2, 4), C (1, ?4,1) ,则向量 AB 与 AC 的夹角为 14.若关于 x 的不等式 ax ? 6 x ? a ? 0 的解集为 (1, m) ,则实数 m ?
2 2

??? ?

??? ?

. .

15.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 82, a3 ? an?2 ? 81, 且数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 121 , 则等比数列 ?an ? 的项数 n= 16.椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A,B,当 ?FAB 的周长 4 3
2

最大时, ?FAB 的面积是

.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分) ?ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值.

12 . 13

??? ? ??? ?

18.(12 分)已知 p : ?x ? R,cos 2 x ? sin x ? 2 ? m ; q : 函数 y ? ( )

1 3

2 x 2 ? mx ? 2

在 [2, ??) 上

单调递减,若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

19.(12 分)在公比为正数的等比数列 ?an ? 中, a3 ? a1 ? n 项和 Sn =n . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn .
2

16 2 , a2 ? ? ,数列 ?bn ? 的前 27 9

x2 y 2 20.(12 分)如图, F1,F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是椭 a b

3

? 圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F 1 AF 2 ? 60 .

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知 ?AF1B 面积为 40 3 ,求 a , b 的值.

21.(12 分)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE / /CF ,

?BCF ? ?CEF ? 90? , AD ?
(1)求证: AE / / 平面 DCF;

3, EF ? 2 .

(2)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60 .

?

y 2 x2 22.(12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上下两个焦点分别为 F1,F2 ,过点 F 1 a b
与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M,N 两点, ?MNF2 的面积为 3 ,椭圆 C 的离心率 为

3 . 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知 O 为坐标原点, 直线 l : y ? kx ? m 与 y 轴交于点 P, 与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点, 若存在实数 ? ,使得 OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围.

??? ?

??? ?

??? ?

4

1-6 ACDDBC 13、 60
?

许昌市三校联考高二下期第一次考试 数学(理)试题答案 7-12 BBDAAC 15. 5 16. 3 ∴ sin A ?

14. 2

17.(1)∵ cos A ? 由S ?

12 , A ? (0, ? ) 13

5 13

1 bc sin A ? 30 得 bc=156 2 ??? ? ??? ? ∴ AB ? AC ? bc cos A ? 144
(2)由 ?

5分

?c ? b ? 1 ?c ? 13 ,可得 ? ?b ? 12 ?bc ? 156
b2 ? c 2 ? a 2 得: a ? 5 或 a ? ?5 (舍去) 2bc
10 分

由余弦定理 cos A ? ∴a 的值为 5

18、由 cos 2 x ? sin x ? 2 ? ?2(sin x ? ) +
2

1 4

25 8

当 sin x ? 1 时, cos 2 x ? sin x ? 2 取最小值 0. 若 P 为真命题,则 m ? 0 3分 若 q 为真命题,则

m ?2 4

m?8

6分

由题意知, p, q 中有且只有一个为真命题, 若 p 真 q 假,则 m ? 8 ; 若 p 假 q 真,则 m ? 0 8分 10 分 12 分

综上,实数 m 的取值范围为 (??,0) ? (8, ??) 19.(1)设数列 ?an ? 的公比为 q

16 ? 2 a1q ? a1 ? ? 1 2 ? 27 由? ,可得 q ? 或 q ? ?3 (舍去) ,则 a1 ? 3 3 ?a q ? ? 2 1 ? 9 ?
∴ an ? ?

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? ?2( ) n 3 3 3

∵ Sn ? n

2

∴当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ∴ bn ? 2n ? 1

当 n ? 1 时, b1 ? 1 也符合上式

5

综上, an ? ?2 ? ( )

1 3

n

, bn ? 2n ? 1

6分
n

(2)由(1)知 anbn ? ?2(2n ? 1) ? ( )

1 3

∴ Tn ? ?2 ?1? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? ??? ? (2n ? 1) ? ( ) n ? ?????????????① 3 3 3 3

? ?

1

1

1

1 ? ?

1 ? Tn ? ?2 ? 3 ? 2 3

1 1 1 1 ? 1? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? (2n ? 3) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n?1 ? ?????② 3 3 3 3 ? ?1 ?3 1 3 1 3 1 3 1 3 ? ?

①-②得: Tn ? ?2 ? ? 2 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? 2 ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ?

1 ? ?2 ? ?2 ? ? (2n ? 2) ? ( ) n?1 ? 3 ? ?3
∴ Tn ? ?2 ? (2n ? 2) ? ( ) ??????????????????????(12 分)
n

1 3

a ? 2c , 20.解: (1)由题意可知, ?AF 1F 2 为等边三角形,
所以 e ?

1 . 2

4分

(2)解法 1: a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2, 直线 AB 的方程可为 y ? ? 3( x ? c) . 将其代入椭圆方程 3x ? 4 y ? 12c ,得 B( c, ?
2 2 2

8 5

3 3 c) . 5

所以 | AB |? 1 ? 3? | 由 S?AF1B ?

8 16 c ? 0 |? c . 5 5

1 1 16 3 | AF1 | ? | AB | sin ?F1 AB ? a ? c ? = 2 2 5 2
12 分

2 3 2 a =40 3 ,解得 a ? 10, b ? 5 3 . 5
解法 2:设 | AB |? t . 因为 | AF2 |? a ,所以 | BF2 |? t ? a .

由椭圆定义 | BF 1 | ? | BF 2 |? 2a 可知, | BF 1 |? 3a ? t .

6

再由余弦定理 (3a ? t )2 ? a2 ? t 2 ? 2at cos60? 可得, t ? 由 S ?AF1B ?

8 a. 5

1 8 3 2 3 2 a? a? ? a ? 40 3 知, a ? 10, b ? 5 3 . 2 5 2 5

21.(1)证明:过 E 作 EG⊥CF 于 G,连接 DG,则四边形 BCGE 为矩形. 又 ABCD 为矩形 所以 AD 平行且等于 EG ∴四边形 ADGE 为平行四边形. ∴AE∥DG ∵AE ? 平面 DCF,DG ? 平面 DCF,∴AE∥平面 DCF. 4分 (2)分别以直线 BE、BC 、BA 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,依题意可 得:B(0,0,0) ,C(0, 3 ,0) ,E(3,0,0) ,F(4, 3 ,0)设 AB= m ,则 A(0,0, m ). 可求得平面 CEF 的法向量 n1 ? (0,0,1) . 平面 AEF 的法向量 n2 ? (3m, ? 3m,9) 由 cos ? n1 , n2 ? ? cos 60 ?
?

??

?? ?

8分

?? ?? ?

1 2

得: m ?

9 . 2
12 分

∴当 AB=

9 ? 时,二面角 A—EF—C 的大小为 60 2

22.(I)根据已知设椭圆 C 的焦距为 2c,当 y=c 时, MN = x1 -x 2 =

2b 2 , a

由题意 ?MNF2的面积为

1 2b2c F1 F2 MN =c MN ? ? 3 ,????????(3 分) 2 a

由已知得

c 3 ? , ? b2 ? 1,a 2 ? 4, a 2
y2 ? 1. ????????????????????(5 分) 4

? 椭圆C的标准方程为x 2 ?

(I I)若 m=0,则 P( 0,0) ,由椭圆的对称性得 AP =PB,即OA ? OB= 0. ∴m=0 时,存在实数λ 使得 OA ? ?OB ? 4OP 成立.??????????????(7 分) 若 m≠0,由 OA ? ?OB ? 4OP ,得 OP ? 所以 1+λ =4,解得λ =3. 设 A( x1,kx1 ? m ) ,B( x2,kx2 ? m ) ,由 ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ??? ? 1 ??? OA ? OB ,因为 A,B,P 共线, 4 4

? y ? kx ? m
2 2 ?4 x ? y ? 4 ? 0



(k 2 ? 4) x2 ? 2mkx ? m2 ? 4 ? 0 ,

7

由已知得 ?=4m2k 2 ? 4(k 2 ? 4)(m2 ? 4) >0,即 k -m +4>0
2 2

?2km m2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ?????????????????????(9 分) k ?4 k ?4 .
2 由 AP ? 3PB 得-x1=3x 2,即 x1 ? ?3x2 ∴ 3(x1 ? x2) ? 4x1x2 ? 0 ,

??? ?

??? ?

12k 2 m2 4(m2 ? 4) ? 2 ? 0 ,即 m2 k 2 ? m2 ? k 2 ? 4 ? 0 ???????????(10 分) ∴ 2 2 (k ? 4) k ?4 .
当 m ? 1 时, m k ? m ? k ? 4 ? 0 不成立,∴ k ?
2 2 2 2 2

2

4 ? m2 m2 ? 1 ,

2 2 ∵ k ? m ? 4>0 ∴

4 ? m2 (4 ? m2)m2 2 ? m ? 4 > 0 >0 , ,即 m2 ? 1 m2 ? 1

∴ 1<m <4 ,解得 ?2<m< ? 1 或 1<m<2
2

综上所述,m 的取值范围为 m ? 2 ? m ? ?1或m ? 0或1 ? m ? 2

?

?

???????(12 分) .

8


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