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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.62.6.1曲线与方程学案苏教选修2_1201901155123

2.6.1 曲线与方程 学习目标: 1.了解曲线与方程的对应关系, 了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概 念.(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题.(重点) [自 主 预 习·探 新 知] 教材整理 曲线的方程 方程的曲线 阅读教材 P60 例 1 以上的部分,完成下列问题. 1.方程与曲线的定义 在直角坐标系中, 如果曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元 方程 f(x,y)=0 的实数解满足以下关系: 如果曲线 C 上点的坐标(x, y)都是方程 f(x, y)=0 的解, 且以方程 f(x, y)=0 的解(x, y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线. 2.方程与曲线的关系 图 2?6?1 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线上,那么方程 f(x,y)=0 就是曲线的 方程.( ) ) (2)如果 f(x,y)=0 是某曲线 C 的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.( (3)若曲线 C 上的点满足方程 f(x,y)=0,则坐标不满足方程 f(x,y)=0 的点不在曲 线 C 上.( ) ) ) (4)方程 x+y-2=0 是以 A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.( (5)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1.( [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× ? ? 2 2 2.点 A? ,-m?在方程 x +(y-1) =10 表示的曲线上,则 m=________. ?2 ? m 【导学号:71392118】 1 2 18 2 [解析] 据题意,有 m +(-m-1) =10,解得 m=2 或- . 4 5 18 [答案] 2 或- 5 3.方程|y|=|2x|表示的曲线是________. [解析] ∵|y|=|2x|,∴y=±2x,表示两条直线. [答案] 两条直线 4 .已知曲线 C 的方程为 x - xy + 2y - 7 = 0 ,则下列四点中,在曲线 C 上的点有 ________(填序号). ①(-1,2);②(1,-2);③(2,-3);④(3,6). [解析] 把各点的坐标代入检验知,只有(-1,2)满足方程. [答案] ① [合 作 探 究·攻 重 难] 2 曲线与方程的概念 下列命题正确的是________(填序号). ①过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线方程为 x=3; ②到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=-2; ③到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1; ④△ABC 的顶点 A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D 为 BC 的中点,则中线 AD 的方程为 x =0. 【导学号:71392119】 [解析] ①正确, 因为过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线上任意一点的横坐标都是 3, 满 足方程 x=3,满足方程 x=3 的解为坐标的点都在过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线上. ②错误,因为到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为|y|=2,即 y=±2. ③错误,因为到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为|x|·|y|=1 即 xy= ±1. ④错误,因为三角形中线 AD 是一条线段,而不是直线,AD 方程应为 x=0(-3≤y≤0). [答案] ① [名师指津] 判断方程是否是曲线的方程, 要从两个方面着手, 一是检验点的坐标是否 都适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上. [再练一题] 1.若命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题正 确的是________(填序号). ①方程 f(x,y)=0 的曲线是 C; ②方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C; ③f(x,y)=0 是曲线 C 的方程; ④以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. [解析] 只有正确地理解曲线与方程的定义,才能准确作答.易知①③④错误. [答案] ② 由方程确定曲线 方程 2x2+y2-4x+2y+3=0 表示什么图形? [精彩点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点,类似于用函数的解析式研究函数的图象, 可由方程的特点入手分析. [自主解答] 方程的左边配方得 2(x-1) +(y+1) =0, 而 2(x-1) ≥0,(y+1) ≥0, ∴2(x-1) =0,(y+1) =0, ∴x-1=0 且 y+1=0,即 x=1,y=-1. ∴方程表示点(1,-1). [名师指津] 曲线的方程是曲线的代数体现, 判断方程表示什么曲线, 可根据方程的特 点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形,转化为我们熟知的曲线方程,在变形时,应 保证变形过程的等价性. [再练一题] 2.方程 4x -y +6x-3y=0 表示什么图形? [解] 方程 4x -y +6x-3y=0 等价于(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=0, 等价于(2x-y)(2x+y+3)=0,等价于 2x-y=0 或 2x+y+3=0. 故方程表示两条相交直线 2x-y=0 和 2x+y+3=0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 点与曲线的关系及应用 (1)判断点 A(-4,3), B(-3 2, -4), C( 5, 2 5)是否在方程 x2+y2=25(x≤0) 所表示的曲线上; (2)点 P(a+1,a+4)在曲线 y=x +5x+3 上,则 a 的值是________. 【导学号:71392120】 [精彩点拨] (1)由曲线与方程的关系知,只要点 M 的坐标适合曲线的方程,则点 M 就 在方程所表示的曲线上;而若点 M 为曲线上的点,则点 M 的坐标(x0,y0)一定适合曲线的方 程.(2)利用点在曲线上

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