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余弦函数图像与性质


余弦函数的图象与性质

广饶一中吴兴昌

X

正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R
2

π

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象 余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3π ( ,0) 2

( 2π ,1) 2π 3π 4π

余弦曲 线
5π 6π

-4π

-3π

-2π



π o ,0) (

-1

2

π

( π ,-1)

x

正弦曲线
1
-2π π -π π

y

y = sinx, x ∈ R
π 2π π 3π π 4π π

o -1

x

余弦曲线

y 1 o -1

y = cosx , x ∈ R
π 2π π 3π π

-2π π

-π π

x

函数 定义域 值域

y = sin x

y = cos x

R

R

[?1,1]

[?1,1]

观察下面图象: y=sinx (x ∈ R) π 函数值y取得最大值1 当x= + 2kπ 时,函数值y取得最大值1;
2
y 1

? 2π ? π
-1

0

π











x

函数值y取得最小值当x= ?π +2kπ 时,函数值y取得最小值-1 2

y=cosx (x∈R) 观察下面图象: 函数值y取得最大值 取得最大值1; 当x= 时,函数值 取得最大值 ;
y 1

? 2π ? π
-1

0

π











x

函数值y取得最小值当x=2kπ+π 时,函数值y取得最小值-1

性质3: 性质 :周期性
? 周期函数的定义: 周期函数的定义: ? 对定义域内的任意的x的值, 对定义域内的任意的 的值, 任意 存在一个常数T≠0,使得 存在一个常数T≠0, T≠0

f (x +T) = f (x)

?T叫作周期 T

正弦曲线

y
1-

? 6π
-

? 4π
-

? 2π
-

o-1


-


-

-


-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在……, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在 的图象在 , 与 ∈ 的图象相同 [? 4π ,?2π ] , [? 2π ,0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ], …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

余弦曲线
y
1
-

? 6π
-

? 4π
-

? 2π
-

-1 -

o


-


-


-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在……, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在 的图象在 , [?4π,?2π] ,[? 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同 与 ∈ 的图象相同

-

x

2 由此可知, 由此可知,π,4π,?,?2π,?4π,?2kπ(k ∈Z,k ≠0)

都是这两个函数的周期。 都是这两个函数的周期。 对于一个周期函数 f (x) 如果在 , 它所有的周期中存在一个最小的 正数, 正数,那么这个最小的正数就叫 的最小正周期。 做 f (x) 的最小正周期。

根据上述定义,可知: 根据上述定义,可知:
正弦函数、余弦函数都是周期函数, 正弦函数、余弦函数都是周期函数, 都是它的周期, 2kπ (k ∈ Z , k ≠ 0) 都是它的周期,

最小正周期为



正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

y=sinx (x∈R) ∈

∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1

y=cosx (x∈R) ∈
y
-4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈

y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈

一般的,对于函数 一般的,对于函数f(x)的定义域内的任 的定义域内的 一个x,都有f(-x) = -f(x),则称 ,则称f(x)为这 为 意一个 ,都有 的奇函数。 一定义域内的奇函数。
注意: 是奇函数, 在定义域内, 注意:若f(x)是奇函数,且x=0在定义域内,则f(0)=0 是奇函数 = 在定义域内 =

函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗? ∈ 是奇函数吗? 函数 是奇函数吗

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称

y
1 -3π
?
5π 2

-2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2

x

7π 2



y=sinx

正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性

一般的,对于函数 一般的,对于函数f(x)的定义域内的任 的定义域内的 一个x,都有f(-x) = f(x),则称 意一个 ,都有 ,则称f(x)为这 为 的偶函数。 一定义域内的偶函数。

关于y轴对称 关于 轴对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π

y=cosx (x∈R) 是偶函数 ∈

o
-1

π











x

奇函数: f(奇函数: f(-x) = -f(x) 图象关于原点对称
偶函数: f(偶函数: f(-x) = f(x) 图象关于y 图象关于y轴对称

若 f (?x) ≠±f (x) f(x)为非奇非偶函数 f(x)为非奇非偶函数

正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈

y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π

y=cosx (x∈R) 是偶函数 ∈

o
-1

π











x

正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性

例1:判定下列函数的奇偶性 :

( ) y = ?sin3x, 1 (2) y = sin x + cos x (3) y =1+ sin x
例2:已知函数f ( x) = 2ax + x3 ? sin x + 3, 若f(2)=3, 1)求证:函数g(x)=f ( x) ? 3是奇函数; 2)求f(-2)的值

正弦、 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3π
?

5π 2

-2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2

x

7π 2



x
sinx

?

π
2



0 0



π
2



π 0



3π 2

-1

1

-1

y=sinx (x∈R) ∈
? π ] π ∈ 其值从-1增至 增至1 增区间为 [[ 2 +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 其值从 增至 2 ,

2 3π π π 3π 减至-1 减区间为 [[ 2 +2kπ, +2kπ],k∈Z 其值从 1减至 , 减至 2 π 2 ] π ∈

π? π

π π

正弦、 正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3π
5π ? 2

-2π

3π ? 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2

x

7π 2



x
cosx

-π π -1



?

π
2



0 1



π
2



π -1

0

0

y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ ?π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z , 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至

观察下面图象:
π

y=sinx (x R) ∈
y

当x= 2 + 2kπ 时,函数值y取得最大值1;
1

? 2π ? π
-1

0

π
π
2











x

当x= ?

+ 2kπ 时,函数值y取得最小值-1

对称中心( kπ ,0)

对称轴:= kπ + x

π
2

观察下面图象:
当x= 2kπ
y 1

y=cosx (x∈R)
时,函数值y取得最大值1;

? 2π ? π
-1

0

π











x

当x= 2kπ + π 时,函数值y取得最小值-1

对称中心(kπ +

π
2

, 0)

对称轴:x = kπ

函数 性质

y= sinx

(k∈z) ∈

y= cosx

(k∈z) ∈

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性

x∈ R [-1,1]
x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- 2 x=2k - π 时 ymin=-1 周期为T=2π

x∈ R [-1,1]
2kπ时 x= 2kπ时 ymax=1 π时 x= 2kπ+ π时 ymin=-1

π

奇函数
在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ,2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数.

周期为T=2π 周期为T=2π 偶函数 π
在x∈[2kπ, 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π , 2kπ ] 上都是减函数 。

对称中心 对称轴

(kπ,0) π
x = kπ+
2

π (kπ+2
x = kπ

,0)

正弦、 正弦、余弦函数的图象
画出函数y= 的简图: 例 画出函数 - cosx,x∈[0, 2π]的简图: , ∈ π 的简图

x
cosx - cosx
y 1
π
2

0 1 -1

π
2

π -1 1

3π 2

2π 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2

?

o -1

π

3π 2



x

y= - cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π

正弦、余弦函数的图象 正弦、
小 结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
y 1
π
2

1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、

几何画法 五点法

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2 3π 2

?

o -1

π



x

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π


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