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河南省豫南九校联盟2016届高三数学下学期第一次联考试题 文

河南省九校 2016 届高三下学期第一次联考 数学(文科)
(考试时间:120 分钟试卷满分:150 分) 第 I 卷选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A={x|一 1≤x<1}, B={y|y=

1 x +1,x∈A},则 A I B=( ) 2
C.[1,

A.[一 1,

3 ) 2

B.[一 1,

1 ) 2

3 ] 2

D.[

1 ,1] 2

2.函数 f(x)=

1 1 ? 1sin 2x+ tan cos2x 的最小正周期为( ) 2 2 3
B.

A.

? 2

?
3

C. 2 ?

D. 4 ?

3.已知 z 为纯虚数,且(2+i)z= 1+ ai (i 为虚数单位) ,则 |a+z|=( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5

4.“a=5”是“点(2,1)到直线 x=a 的距离为 3”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.某程序框图如右图所示,若输入 p=2,则输出的结果是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.某几何体的三视图如 图所示,其中俯视 图下半部分是半径为 1 的半圆,则该几何 体的表面积是( ) A. 20+2 ? B.20+ ? C.20 - 2 ? D.20- ? 7 .如图 ,在矩形 ABCD 中,AB=2AD,E,F 分别为 BC,CD 的中点,G 为 EF 中点, 则 AG =( )

uuu r

-1-

A.

r 1 uuu r 2 uuu AB ? AD 3 3 r 3 uuu r 3 uuu AB ? AD 4 4

B.

u r 2 uuu r 1 uu AB ? AD 3 3

C.

D.

u r 2 uuu r 2 uu AB ? AD 3 3

8.函数 f(x)= Asin( ? x ? ? )(? ? 0, ? 所 示,若 PQ ? QS ?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象如图

uuu r uur

?2
8

? 8 ,则函数 f(x)的解析式为( )

A.f(x)= 2sin(3x 一

? ) 4

B.f(x)= 2sin(3x+

? ) 4

C. f(x)= 2sin(2x+

? ) 3

D.f(x)= 2sin(2x 一

? ) 3

9.已知函数 f(x)= ?

?2 x ? a?????x ? 3 ?ln | x |???????x ? 3

,若函数 f (x)在 R 上有三个不同零点,

则 a 的取值范围是( ) A . [-3,+∞) B.(-∞,9) C. [3,+∞) D.[9,+∞) 10. 如图 ABCD -A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体,S- ABCD 是 高为 l 的正四棱锥,若点 S,A1,B1,Cl,D1 在同一个球面上, 则该球的表面积为( ) A.

9 ? 16
49 ? 16

B.

25 ? 16

C.

D.

81 ? 16

11. 已知 F 为双曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的左焦点,定点 G(0,c),若双曲线上存在一点 P a 2 b2

满足|PF|=|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是 A. (

2 ,+∞)

B. (1, 2 )

C.[ 3 ,+∞)

D. (1, 3 )

12. 设 A, B 是函数 f(x)定义域集合的两个子集,如果对任意 xl∈A,都存在 x2∈B,使得 f(x1)f(x2)=l,则称函数 f(x)为定义 在集合 A,B 上的“倒函数”,若函数 f(x)=x 一
2

2 3 ax 3

(a>0),x∈R 为定义在 A=(2,+∞) ,B=(1,+∞)两个集合上的“倒函数”,则实数 a 值范围是( )

-2-

A. ( (0, ] U [ , ??) ,+∞)

3 4

3 2

B. (0,

3 ] 4

C.[

3 ,+∞) 2

D.[

3 3 , ] 4 2

第Ⅱ卷非选择题(共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若函数 f(x)=x+

(2a ? 1) x ? 1 +l 为奇函数,则 a= x



? x ? ?2 ? 14 . 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ?3 x ? y ? ?1 , 则 目 标 函 数 z=-x+2y 的 最 小 值 ? y ? ?x ?1 ?
是 . 2 2 2 15.已知直线 l:y=kx+t 与圆 x +(y+l) =1 相切且与 抛物线 C:x =4y 交于不同的 两点 M.N,则实数 t 的取值范围是 . 16.如图,在 Rt△ABC 中,∠A= 90°,D,E 分别是 AC,BC 上一点,满足∠ADB= ∠CDE= 30°,BE= 4CE.若 CD= 3 ,则△ BDE 的面积 为 。

三、解答题(第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考 生根据要求作答,本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分)已知数列{bn}是首项为 b1=1,公差 d=3 的等差数列, bn=l 一 3log2 (2an)(n∈N*) . (1)求证;{an}是等比数列; (2)若数列{cn}满足 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn。

18. (本小题满分 1 2 分)随着旅游观念的转变和旅游 业的发展,国民在旅游休闲方面的投入 不断增多,民众对旅游的需求也在不断提高.某村村委会统计了 2011 到 2015 年五年间 每年春节期间外出旅游的家庭数,具体统计数据如下表所示:

(1)从这 5 年中随机抽取两年,求外出旅游的家庭数至少有 1 年多于 20 个的概率; (2)利用 所给数据,求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程 $ y =bx+a, 并判断它们之间是正相关还是负相关; (3)利用(2)中所求出的直线方程估计该村 2018 年在春节期间外出游泳的家庭数。 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式

-3-

19.(本小题满分 12 分) , 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D1E 分别为 BB1 和 CC1 的 中点,AF⊥平面 A1DE,其垂足 F 落在直线 A1D 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)若 A1D= 13 ,AB=BC=3, G 为 AC 的中点,求三棱锥 G--A1DB1 的体积。

-4-

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 4 2 b ? 2 ? 1 (a>b>0)的四个顶点,P ( , ) 是 C 上的一点所构成的菱形面 2 a b 3 3
2

积为 6,且椭圆的焦点通过抛物线 y=x -8 与 x 轴的交点. (l)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 AD⊥BD,且 D(3,0),求△ABD 面积的最大值。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)若 a<-1,且 F(x)=f(x)一

1 3 1 2 x 一 (a+4)x +(3a+5)x 一(2a+2)lnx. 3 2

1 3 1 2 x + (a+5)x - (2a+6)x,试讨论函数 F(x)的单调性; 3 2 2a ? 2 2 14 (2)已知 g(x)=f'(x)+ ,若不等式 g(x)≥ lnx+ 3a+ 对一切 x∈(0,+∞)恒 x 3 3
成立,求实数 a 的取值范围。

【选考题】 请从下面所给的 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,已知 D 为以 AB 为斜边的 Rt△ABC 的外接圆 O 上一点,CE⊥AB,BD 交 AC, CE 的交点分别为 F,G,且 G 为 BF 中点, (1)求证:BC=CD; (2)过点 C 作圆 O 的切线交 AD 延长线于点 H, 若 AB=4,DH =1,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:极坐标与参数方程选讲】 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 D 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.己知 直线 l:ρ =一

? x ? 3 ? 5cos a 6 ,曲线 C: ? (a 为参数) . 3cos ? ? 4sin ? ? y ? 5 ? 5sin a

(l)将直线 l 化成直角方程,将曲线 C 化成极坐标方程: (2)若将直线,向上平移 m 个单位后与曲线 C 相切,求 m 的值 24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f(x)= 2|x-1|-a,g(x)= -|2x+m|,a,m∈R,若关于 x 的不等式 g(x)≥-1 的整数解有且仅有一个值为-3. (l)求整数 m 的值: (2)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y=

1 g(x)的上方,求实数 a 的取值范围. 2

-5-

数学(文科)参考答案 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. 【答案】D

? 1 ? 3? ? 1 A ? ? x ? x ? 1? B ? ?y ? y ? ? 2 ? ,所以 A I B= ? 2 ? ,故 选 D. ? 2 【解析】因为
2. 【答案】B

2? 1 3 ? T? ?? f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 3 ,所以最小正周期 【解析】因为 ,故
选 B. 3. 【答案】D

bi ? 1 ? ai ,即 ?b ? 2bi ? 1 ? ai ,所以 a ? 2, b ? ?1 , 【解析】设 z ? bi(b ? R) ,则 (2 ? i)?
3



| a ? bi |? 22 ? (?1) 2 ? 5

,故选 D.

4. 【答案】B 【解析】由点 (2,1) 到直线 x ? a 的距离为 3 等价于 | a ? 2 |? 3 ,解得 a ? 5 或 a ? ?1 ,所以 “ a ? 5 ”是“点 (2,1) 到直线 x ? a 的距离为 3”的充分不必要条件,故选 B. 5. 【答案】B 【解析】当 k ? 0 时, y ? 2 , y ? ?3 ;当 k ? 1 时,

y??

1 1 y? 2 ;当 k ? 2 时, 3 ,当 k ? 3

时, y ? 2 ,满足条件,所以输出的结果为 3,故选 B. 6. 【答案】B 【解析】根据几何体三视 图可知该几何题是一个正方体截去了半圆柱所得组合体,正方体的 棱长为 2,半圆柱的底面半径为 1,则几何体的表面积为 5 ? 2 ? ? ?1 ? ? ?1? 2 ? 20 ? ? ,
2 2

故选 B. 7. 【答案】C

???? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? ? ??? ? AG ? ( AE ? AF ) ? ( AD ? DF ) ? ( AB ? BE ) 2 2 2 【 解 析 】 由 G 为 EF 中 点 , 得 = ? 3 ???? ? 1 ??? ? ? ? 1 ???? 1 ???? 1 ???? 1 ??? 1 ???? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ( AD ? DC ) ( AB ? BC ) ( AD ? AB) ( AB ? AD) AB ? AD 2 2 2 2 2 4 +2 =2 +2 =4 , 故
选 C. 8. 【答案】C

-6-

【解析】由图象知 A ? 2 ,

Q(

?
12

, 2)

,根据图象设 P (a, 0) (a ? 0) ,则根据三角函数的图象

??? ? ??? ? ? ? ? ? R( ? a, 0) S ( ? 2a , ? 2) PQ ? ( ? a , 2) QS ? ( ? 2a, ?4) 6 12 6 对称性知 ,则 4 ,所以 , ,于

??? ? ??? ? ?2 ? ? ? ? ?2 a? a?? PQ? QS ? ?8 ( ? a)( ? 2a) ? 8 ? ?8 3 (舍去)或 6, 8 6 8 是由 ,得 12 ,解得
P(?


?
6

, 0)

? ? ? 2? ? ? ?? T ? 4[ ? (? )] ? ? ? ? ?2 2? ?? ? 3, 12 6 T 12 2, ,所以 , ,于是由
f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 ,故选 C.

?

故函数 f ( x ) 的解析式为 9. 【答案】D

【解析】当 x ? 3 时,令 ln | x ? 1|? 0 ,求得 x ? 0 或 x ? 2 ,即 f ( x ) 在 (??,3) 上有两个不同
x 的 零 点 , 则 由 题 意 知 f ( x) ? 2 ? a 在 [3, ??) 有 且 仅 有 一 个 零 点 , 则 由 f ( x) ? 0 , 得

a ? 2x ?[8,?? ) ,故选 D.
10. 【答案】D 【解析】按如图所示作辅助线, O 为球心,设

OG1 ? x ,则 OB1 ? SO ? 2 ? x ,同时由正方
2 2 ?x (? )

体的性质知

B1G1 ?

2 ( 2 ?)x Rt ?OB1G1 中, OB12 ? G1B12 ? OG12 , 2 , 则在 即

22 2 ,

x?
解得

7 9 81 R ? OB1 ? S ? 4? R 2 ? ? 8 ,所以球的半径 8 ,所以球的表面积为 16 ,故选 D.

11. 【答案】A 【解析】因为 F (?c, 0) , G (0, c) ,则由 | PF |?| PG | ,知点 P 在线段 FG 的垂直平分线上,

-7-

即点 P 在 y ? ? x 上,则直线 y ? ? x 与双曲线 C 有公共点,所以将 y ? ? x 代入双曲线方程得

c b b e ? ? 1 ? ( )2 ? 2 ( )2 ? 1 (b ? a ) x ? a b ,则必有 b ? a ? 0 ,所以 a a a ,所以 ,故
2 2 2 2 2
2 2

选 A. 12. 【答案】D

1 (0, ) ? ? a ,减区间为 (??, 0) 、 【解析】 f ( x) ? 2 x ? 2ax ,则由 f ( x) ? 0 ,得函数 f ( x ) 增区间为
2

1 1 1 ( , ??) f ( x)极大值 ? f ( ) ? 2 f ( x ) ? f (0) ? 0 极小值 a a 3a ,由此可知 f ( x) 的图象,如 ,则 ,
图所示. 设集合 M ? { f ( x) | x ? (2, ??)} ,

N ?{

1 | x ? (1, ??)} x ? (2, ??) , f ( x) , 则对任意 1

3 ?2 x ? (1,?? ),使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 等价于 M ? N ,显然 0 ? N .当 2 a 都存在 2 ,即 0?a? 3 3 3 3 3 ?2 1? ?2 ?a? 0? M , 4 时, 2a 2 时,f ( x) ? 0 , 不满足 M ? N ; 当 2a , 即 , 即4

M ? (??, f (2)) ? (??,0) .由于

f (1) ?

3 ? 2a ?0 3 , 有 f ( x ) 在 (1, ??) 上的取值范围包含在

3 3 ?1 a? (??, 0) 内,满足 M ? N ;当 2a 2 时,有 f (1) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上递减, ,即

B?(
所以

1 , 0) f (1) , A ? (0, f (2)) ,不满足 M ? N .综上可知选 D.

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

1 13. 【答案】 2

-8-

f ( x) ? x ?
【解析】 因为 14. 【答案】8

1 (2a ? 1) x ? 1 a? 2 ( a 1 ) ?0 ? , 2. x , 所以由 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 得2 即

【解析】画出满足约束条件的平面区域,如图所示,当平移直线 z ? ? x ? 2 y 经过直线 x ? ?2 与 直 线 y ? ? x ? 1 的 交 点 (? 2 , 3) 时 , 目 标 函 数 z ? ?x ? 2 y 取 得 最 小 值 , 且 最 小 值 为

z ? ?1? (?2) ? 2 ? 3 ? 8 .

15. 【答案 】 (??, ?3) ? (0, ??)

t ?1
【解析】因为直线 与圆相切,所以

1? k

2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t
.又把直线方程代入抛物线
2 2

2 方程并整理得 x ? 4kx ? 4t ? 0 , 于是由 ? ? 16k ? 16t ? 16(t ? 2t ) ? 16t ? 0 , 得 t ? 0或

t ? ?3 .
16.

4 3 【答案】 5
? F ?A B , 【解析】 过点 E 作 EF ? AC 于 F , 如图所示. 由 ?A ? 90 , 知E 再由 BE ? 4CE ,

EF ?


1 AB 5 . 设 E F ? x , 则 A B ? 5 x. 又 ?ADB ? ?CDE ? 30? , 得 BD ? 10 x ,


AD ? 5 3x

?BDE ? 120?



















B

2

? C(

3?

5

2

x 3?

)2 x ? 2

2 5 x x0 ? 余0 弦 . ? 又1 由

定3 理 0 ,

3 得

BE ? (10x) ? (2x) ? 2 ? (2x) ?10x c 1 o 2 s?1 0 x 2 .又 4 BE ? 4CE ,所以
2 2 2 0 2

BC ?

5 BE 4 ,

-9-

2 1 0 x0 ?

3 x? 0

所 以

5 ?3 4

2

( ? ) x2 1 2 4
, 解 得

x?

2 2 x?? 5 或 25 ( 舍 去 ), 所 以

S ?BDE ?

1 4 3 BD ?DE sin120? 5 3x 2 ? 2 5 . =

三、解答题 (第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题为选考题,考 生根据要求作答,本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.

1 Sn ? 4 ? (3n ? 4)( ) n 2 . 【答案】 (1)见解析; (2)
【解析】 (1)由题意

bn ? 1 ? 3(n ?1)=3n ? 2 ,?????2 分
1 an ? ( ) n 2 ,

b =1 ? 3log2 (2an ) ,得 3n ? 2=1 ? 3log2 (2an ) ,则 则由 n
1 n ( ) an 1 ? 2 = 1 an ?1 ( ) n ?1 2 (n ? 2, n ? N *) ,?????4 分 2 所以

故数列

?an ?

1 1 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.?????5 分

1 cn ? (3n ? 2) ?( ) n * 2 (n ? N ) ,?????6 分 (2)由(1)知, 1 1 1 1 1 Sn ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 2 , ∴ 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 ∴2 ,?????8


1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 两式相减得 2 ,

- 10 -

1 1 Sn ? 2 ? (3n ? 4) ? ( ) n ?1 2 化简,得 2 ,?????11 分 1 Sn ? 4 ? (3n ? 4)( ) n * 2 (n ? N ) .?????12 分 所以
18.

7 【答案】 (1) 10 ; (2)42.
【解析】 (1)从这 5 年中任意抽取两年,所有的事件有:(2011,2012) , (2011,2013) , (2011, 2014) , (2011,2015) , (2012,2013) , (2012,2014) , (2012,2015) , (2013,2014) , (2013, 2015) , (2 014,2015)共 10 种,至少有 1 年多于 20 人的事件有:(2011,2014),(2011, 2015),(2012,2014) , (2012,2015) ,,(2013,2014) , (2013,2015) , (2014,2015)共

P?
7 种,则至少有 1 年多于 10 人的概率为

7 10 . ?????5 分

(2)由已知数据得 x ? 2013, y ? 16 ,?????7 分

? ? x ? x ?? y ? y ?= ? 2 ? (?10) ? (?1) ? (?6) ? 1? 6 ? 2 ?10=52
n i ?1 n i i

,?????8 分

? ? x ? x ? =(?1)
2 i ?1 i
n

2

? (?2)2 ? 12 ? 22 =10
,?????9 分

?? b
所以

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

?? x ? x?
n i ?1 i

2

=

52 =5.2 10
? ? 16 ? 5.2 ? 2013 ? ?10451.6 ,????10 分 ,a

所以,回归直线的方程为 y ? 5.2 x ? 10451.6 ,?????11 分 则第 2018 年的估计值为 y ? 5.2 ? 2018 ? 10451.6=42 .?????12 分 19.

3 【答案】 (1)见解析; (2) 2 .
【解析】 (1)∵在直三棱柱 又∵ BC ? 平面 ABC ,∴

ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

AA1 ? BC .????????1 分

A DE , DE ? 平面 ADE ,∴ AF ? DE .????????3 分 又∵ AF ? 平面 1

- 11 -

又∵ D, E 分别为 而

BB1 和 CC1 的中点,∴ DE ? BC ,∴ AF ? BC .????????4 分

AA1 ? 平面 AA1B1B , AF ? 平面 AA1B1B ,且 AA1 ? AF ? A ,

AA B B ∴ BC ? 平面 1 1 .
又∵

A1D ? 平面 AA1B1B ,∴ BC ? A1D . ????????6 分 R ?t 1 C , DE 知

A B ? B1C1 ? DE ? 3 , 则 由 R t? A ? 1 B 1 D ( 2 ) ∵ AB ? BC ? 3 , ∴ 1 1

C1D ? 13 ,


C1 E ? C1 D 2 ? DE 2 ? 2

,则

B1D ? 2 .????????8 分

AA B B AA B B 由(1)知 BC ? 平面 1 1 ,则由 G 为 AC 的中点,知 G 到平面 1 1 的距离为 C 到平
1 1 3 BC ? AA B B 2 ,????????10 分 面 1 1 的距离的 2 ,即为 2

1 1 3 3 VG ? A1DB1 ? ? ? 3 ? 2 ? ? 3 2 2 2 .????????12 分 ∴
20.

3 x2 ? y2 ? 1 【答案】 (1) 9 ; (2) 8 .
2 2 【解析】 (1)由 y =x ? 8 ,令 y =0 ,得 x= ? 2 2 ,则 c=2 2 , 所以 a ? b =8

2

①.

1 4 ? ? a ? b =6 2 又由题意,得 ,即 ab =3

②.

x2 ? y2 ? 1 a =3, b =1 C 9 由①②解得 ,故椭圆 的方程 为 .?????4 分
(2)不妨设直线 AB 的方程 x ? ky ? m ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x ? ky ? m, ? 2 ?x 2 2 2 2 ? ? y ? 1, 由? 9 ,消去 x 得 (k ? 9) y ? 2kmy ? m ? 9 ? 0 ,则
y1 ? y2 ? ?

m2 ? 9 2km y y ? 1 2 k2 ? 9 , k 2 ? 9 .?????6 分

??? ? ??? ? DA ? DB ? 0. AD ? BD 因为以 ,所以
- 12 -

??? ? ??? ? DA ? ( x ? 3, y ), DB ? ( x2 ? 3, y2 ) ,得 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? 0 .?????7 分 1 1 由


x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式,得 (k 2 ? 1) y1 y2 ? k (m ? 3)( y1 ? y2 ) ? (m ? 3)2 ? 0 .
m? 12 5 或 m ? 3 (舍) .

将 ① 代入上式,解得

m?
所以 所

12 12 E ( , 0) 5 5 (此时直线 AB 经过定点 ,与椭圆有两个交点) ,?????9 分


S?ABD


1 3 9 25(k 2 ? 9) ?144 2 1 ? ? ( y ? y ) ? 4 y y ? ? | DE || y1 ? y2 | 1 2 5 5 25(k 2 ? 9)2 . 2 ?????10
9 144 2 1 1 S?ABD ? ? ?t ? t ,0 ? t ? 5 25 k ?9 9 ,则 ,
2

t?


t?
所以当 21.

25 1 3 ? (0, ] 288 9 时, S?ABD 取得最大值 8 .?????12 分

【答案】 (1)当 ?3 ? a ? ?1 时,递增区间为 (0, ?a ? 1) 、 (2, ??) ,递减区间为 (?a ? 1, 2) ;

a ? ?3 时,递增区间为 (0, ??) ;当 a ? ?3 时,递增区间为 (0, 2) 、 (?a ? 1, ??) ,递减区间
为 (2, ?a ? 1) ; (2) 【解析】

(??, ?

4 ? 4 ln 2 ] 3 .

F ( x) ?
试题分析: (1)

1 2 x ? (a ? 1) x ? (2a ? 2) ln x 2 ,且 x ? 0 ,

F ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

2a ? 2 ( x ? 2)[ x ? (a ? 1)] x = x .

? 令 F ( x) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?a ? 1 ,且 2 ? (?a ? 1) ? a ? 3 ?????1 分 ? ① 当 ?3 ? a ? ?1 时 , 若 0 ? x ? ?a ? 1 或 x ? 2 , 则 F ( x ) ? 0 ; 若 ?a ? 1 ? x ? 2 , 则 F ?( x ) ? 0 ; 所 以 F ( x) 的 递 增 区 间 为 (0, ?a ? 1) 、 (2, ??) , 递 减 区 间 为
(?a ? 1, 2) .?????2 分

- 13 -

②当 a ? ?3 时,

F ?( x) ?

( x ? 2)2 ?0 x ,所以 F ( x) 的递增区间为 (0, ??) .???4 分

? ? ③当 a ? ?3 时,若 0 ? x ? 2 或 x ? ?a ? 1 ,则 F ( x) ? 0 ;若 2 ? x ? ? a ? 1 ,则 F ( x) ? 0 ;
所以 F ( x) 的递增区间为 (0, 2) 、 (?a ? 1, ??) ,递 减区间为 (2, ?a ? 1) .?????6 分

(2)由函数解析式知函数定义域为 x ? 0 ,且

f ?( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? (3a ? 5) ?

2a ? 2 x ,

g ( x) ? f ?( x) ?
所以

2a ? 2 ? x 2 ? (a ? 4) x ? (3a ? 5) x ,则

g ( x) ?
不等式

4 11 4 11 x ln x ? 3a ? x 2 ? (a ? 4) x ? (3a ? 5) ? x ln x ? 3a ? 3 3 等价于 3 3 , 4 ? 4 ln x x . 3(a ? 4) ? 3x ? 4 ? 4 ln x x 对一切 x ? (0, ??) 恒成立.?????8 分

3(a ? 4) ? 3x ?


由题意,知不等式

G ( x) ? 3x ?


4 4 4 (3 x ? 2)( x ? 2) ? 4 ln x G?( x) ? 3 ? 2 ? ? x x x x2 ,则 .

? ? 因为 x ? 0 ,则当 0 ? x ? 2 时, G ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, G ( x) ? 0 ,
所以当 x ? 2 时, G ( x ) 取得最小值

G( x)min ? 8 ? 4ln 2 ,?????11 分
4 ? 4 ln 2 3 ,

所以 3(a ? 4) ? 8 ? 4ln 2 ,解得

a??

故实数 a 的取值范围

(??, ?

4 ? 4 ln 2 ] 3 .?????12 分

请从下面所给的 22 , 23 ,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. 【答案】 (1)见解析; (2)2. 【解析】 (1)由题意知 AB 为圆的直径,则 AC ? BC . 又∵ G 为 BF 中点,∴ GF ? GC , ?GFC ? ?GCF .????2 分

由 CE ? AB ,知

?GCF ?

?
2

? ?CAE


?ABC ?

?
2

? ?CAE

- 14 -

∴ ?GCF ? ?ABC ,则 Rt ?ADF ? Rt ?ACB ,

? ? ∴ ?DAC ? ?BAC ,∴ BC ? CD ,即 BC ? CD .????????4 分
(2)∵ A, B, C , D 四点共圆,所以 ?HDC ? ?ABC , 又∵ CH 为 O 的切线,∴ ?DCH ? ?DAC ? ?BAC ,????6 分

∴ Rt ?CDH ? RtABC ,∴

?DHC ?

?

BC AB ? 2 ,且 DH CD .????7 分

由(1)知 BC ? CD ,且 AB ? 4 , DH ? 1 , ∴ CD ? 2 , CH ? CD ? DH ? 3 .????8 分
2 2

( AD ? DH ) , 由切割线定理,得 HC ? HD?AH ? HD?
2

( 3)2 ? 1? (1 ? AD) ,解得 AD ? 2 .????????10 分
23.

5 【答案】 (1) ? ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 ; (2) 2 或 15.
2

【解析】 (1)直线 l 的参数方程化为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 6=0 ,则 由 ? cos ? ? x , ? sin ? ? y ,得直线的直角坐标方程为 3x ? 4 y ? 6=0 .?????2 分

? x ? 3 ? 5cos ? , ? y ? 5 ? 5sin ? . ,消去参数 ? ,得 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 ,即 x2 ? y 2 ? 6 x ?10 y ? 9 ? 0 由?
(*) ,
2 2 2 由 ? ? x ? y , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y ,

代入(*)可得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 .?????5 分
2

(2)设直线 l ? : 3x ? 4 y ? t =0 与曲线 C 相切.

| 3? 3 ? 4 ? 5 ? t |
由(1)知曲线 C 的圆心为 (3,5) ,半径为 5,则 解得 t = ? 4 或 t = ? 54 ,??????????7 分

32 ? 42

=5


所以 l ? 的方程为 3x ? 4 y ? 4=0 或 3x ? 4 y ? 54=0 ,即

3 3 27 y ? ? x ?1 y ? ? x ? 4 4 2 . 或
- 15 -

3 3 y ?? x? 4 2, 又将直线 l 的方程化为 3 5 27 3 m =1 ? ( ? ) ? m= ? (? ) ? 15 2 2或 2 2 所以 .??????????10 分
24. 【答案】 (1)6; (2 ) (??, 4) .

) ?1 ? , 【解析】 (1) 由 g(x 即


? 2x ? m ? ?1 2x ? m ? 1


?m ? 1 ?m ? 1 ?x? 2 . , 所以 2 ??2

?m ? 1 ?m ? 1 ? ?3 ? 2 ,解得 5 ? m ? 7 . ? 不等式的整数解为-3,则 2
又不等式仅有一个整数解-3,∴ m ? 6 .????????4 分

(2)因为 y ? f ( x) 的图象恒在函数 所以

y?

1 1 g ( x) f ( x) ? g ( x) ? 0 2 2 的上方,故 ,

a ? 2 x ?1 ? x ? 3

对任意 x ? R 恒成立.????????5 分



h( x) ? 2 x ?1 ? x ? 3

,则

??3x ? 1 ? h( x) ? ?5 ? x ?3x ? 1 ?

x ? ?3 ?3 ? x ?1 x ?1
?????7 分

作出 h( x) 图象得出当 x ? 1 时, h( x) 取得最小值 4,

故 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 的图象恒在函数

y?

1 g ( x) 2 的上方,

即实数 a 的取值范围是 (??, 4) .????????10 分

- 16 -


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