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江苏省扬州中学2012-2013学年高二下学期期末调研测试数 学 (理科)试 题Ⅰ


江苏省扬州中学 2012-2013 学年高二下学期期末调研测试数



(理科)试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2013.06 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.函数 的最小正周期是 ▲ .

f ( x) ? cos 2 x

2.复数

i 的虚部是 2?i





3.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1 B ? 4. ?ABC 中, A ? “ 5.幂函数 f ? x ? ? x
?

????

▲ .

?
6

”是“ sin A ?

1 ”的 2



条件(从“充分不必要”,“必要不充

分”,“充要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空) .

?? ? R? 过点 ? 2,

2 ,则 f ? 4? ?

?

▲ .

6.五名同学站成一排,甲不站在正中间,则不同的站法有▲ (用数字作答) . 7.如果复数 z 满足 z ? i ? 2 ,那么 z +1 的最大值是 ▲ 8.函数 f ? x ? ? .

ln x 的单调递增区间是 ▲ . x
1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. ,则这名学生在上学路上因遇到红 3
▲ .
A
2013

9.某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是

灯停留的总时间恰好是 4min 的概率 10.若 (1 ? 2x)
2013 2

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a2013 x
▲ .

( x ? R),
B E C F



a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2013 ? 2 2 22013

(第 11 题)

11.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 BC 上的四等分点,则 tan ?EAF = ▲ . 12.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上的部分图象如图所示,则 f ( x) ? ▲ . y 4
?1

O

5

11 x

(第 12 题)

13.已知函数 y=f(x)(x∈(0,2))的图象是如图所示的圆 C 的一段圆弧.现给出如下命题: y ① f ?(1) ? 0 ;② f ?( x) ? 0 ;③ f ?( x) 为减函数; ④若 f ?(a) ? f ?(b) ? 0 ,则 a+b=2. x

O

.C
(第 13 题)

2

其中所有正确命题的序号为





14.有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任 意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任 意分成两堆, 求出这两堆小球球数的乘积, 直到不能再分为止, 则所有乘积的和为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知 A 是锐角, sin A ?

3 1 , tan( A ? B) ? ? .求 cos 2 A及 tan B 的值. 5 2

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)若 m ? ?

1 ? m, m ? R . 2 ?1
x

1 ,求证:函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数; 2

(2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2) 没有零点,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分)

2 已知命题:“ ?x ??x | ?1 ? x ? 1 ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题, ?

(1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取 值范围.

18. (本小题满分 16 分)

x2 ?1 设函数 f ( x) ? 的定义域为 E ,值域为 F . x2
(1)若 E ? {1, 2} ,判断实数 ? ? lg 2 ? lg 2lg 5 ? lg 5 ? 16
2 ? 1 2

与集合 F 的关系 ;

(2)若 E ? ?1,2, a? , F ? ?0, ? ,求实数 a 的值. (3)若 E ? [

? 3? ? 4?

1 1 , ] , F ? [2 ? 3m, 2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n

19. (本小题满分 16 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②
由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ------③

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B cos 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (1) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? ?2sin

A? B A? B sin ; 2 2

(2)若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2 A ? cos 2C ? cos 2B ? 1,直接利用阅读材料 及(1)中的结论试判断 ?ABC 的形状.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a(?1) k ln x(k ? N ? , a ? R且a ? 0), (1)讨论函数 f (x ) 的单调性; (2)若 k ? 2014 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值;
2 (3)当 k ? 2013 时,证明: 对一切 x ? (0,??) ,都有 f ( x) ? x ? 2a (

1 2 ? ) 成立. x e ex

2012-2013 学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 (理科)试 题Ⅱ
(全卷满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21、已知 ( x ? 2013.06

1
3

x

) n 的展开式中第 3 项与第 2 项系数的比是 4,

(1)求 n 的值; (2)展开式里所有 x 的有理项

22、一个盒子里装有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4;另一个盒子也装 有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5.现从一个盒子中任取一张卡片,其 上面的数记为 x; 再从另一盒子里任取一张卡片, 其上面的数记为 y, 记随机变量?=x+y , (1)求事件 x ? y 发生的概率 (2)求? 的分布列和数学期望.

23、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 ⑴求 a2 , a3 , a4 的值,并猜想 ?an ? 的通项公式; ⑵用数学归纳法证明你的猜想.

( n ? N * ).

24、已知边长为 6 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 , E , F 为 AD、CD 上靠近 D 的三等分点, 1

H 为 BB1 上靠近 B 的三等分点, G 是 EF 的中点.
(1)求 A1H 与平面 EFH 所成角的正弦值; (2)设点 P 在线段 GH 上,且

E A

D

F

C
B

G

. P

GP ? ? ,试确定 GH

H

? 的值,使得二面角 P ? C1 B1 ? A1 的余弦值为

10 . 10

D1

C1 B1

A1

2013 年 6 月高二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案
数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题: 1.? 2.

2 5

3. a + b - c -

4. 充分不必要 5. 2 10. ?1 11.

6. 96

7.2 ?

2

8.? 0,e

?

(写成开区间算对)9. 14.

8 27

4 3

12. 4sin(

?
6

x?

?
6

)

13.①③④

n(n ? 1) 2 7 25

二、解答题: 15. cos 2 A ? ………………………………………7 分 ………………………………………14 分

tan ? 2 B

16.解: (1 )定义域为 R 关于原点对称.因为

1 1 1 1 1 1 2x 1 f ( x) ? f ( ? x) ? x ? ? ?x ? ? x ? ? x ? ? 0, 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2
所以函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数

(2) f ?( x) ? ?

2 x ln 2 ? 0 ? f ( x) 是实数集 R 上的单调递减函数(不说明单调性 (1 ? 2 x ) 2

扣 2 分)又函数 f ( x ) 的图象不间断,在区间 (1, 2) 恰有一个零点,有 f (1) f (2) ? 0

1 1 ? m ? ? ,故函数 f ( x) 在区间 (1, 2) 没有零 3 5 1 1 点时,实数 m 的取值范围是 m ? ? 或 m ? ? ………………………………………14 分 5 3
即 (m ? )( m ? ) ? 0 解之得 ? 17. 解: (1)已知命题:“ ? x∈{x|–1< x <1},使等式 x2–x–m = 0 成立”是真命题,得 f(x)= 2 x –x–m = 0 在(-1,1)有解, 由对称轴 x=

1 3

1 5

?? ? 1 ? 4m ? 0 1 ,则 ? , 2 ? f (?1) ? 1 ? 1 ? m ? 0 ? 1 ? 得 m? ? ? , 2 ? . ? 4 ? (2)不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0
?a ? 2 9 ? 则 M ? N,a 的取值范围 ? 1 ,? a ? . 4 ?2 ? a ? ? 4 ? ?2 ? a ? 2 1 ? 范围 ? 1 ,? a ? ? . 4 ?a ? ? 4 ? 1 9 综上a ? (??, ? ) ? ( , ??) . 4 4

?????7 分

①当 a>2-a,即 a>1 时解集 N 为(2-a,a) ,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,

②当 2-a > a,即 a<1 时解集 N 为(a ,2-a) ,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,则 M ? N,a 的取值

???14 分

18.解:(1)∵ f ( x) ?

x2 ?1 ,∴当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, x2

f ( x) ?

1 ? 3 3 ? 3? 2 ? F ? ?0, ? .∵ ? ? lg 2 ? lg 2lg 5 ? lg 5 ? 16 2 ? ,∴ ? ? F .???5 分 4 4 ? 4?

(2) f (a ? , 令 ) 0 即

a2 ?1 a2 ?1 3 3 ? ,a ? ?2 , ? 0 ,a ? ?1 , a ? ?1 ; f (a) ? , 取 令 即 4 a2 4 a2

取 a ? ?2 ,故 a ? ?1或 ? 2 .????????????????????????9 分 (3)∵ f ( x) ?

x2 ?1 2 是偶函数,且 f ?( x) ? 3 ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数, 2 x x
1 1 1 1 1 1 ? ? 0 或 0 ? ? .若 ? ? 0 , m n m n m n

在 (0, ??) 上是增函数. x ? 0 , ∵ ∴由题意可知:

? 1 ? f ( m ) ? 2 ? 3n ?1 ? m 2 ? 2 ? 3n ? 则有 ? ,即 ? ,整理得 m2 ? 3m ? 10 ? 0 ,此时方程组无解; 1 1 ? n 2 ? 2 ? 3m ? ? f ( ) ? 2 ? 3m ? n ? ? 1 ? f ( m ) ? 2 ? 3m ?1 ? m 2 ? 2 m ? 3 1 1 ? 0? ? , 则 有 ? 若 , 即 ? , ∴ m, n 为 方 程 1 m n 1 ? n2 ? 2 n ? 3 ? ? f ( ) ? 2 ? 3n ? n ?
x 2 ? 3x ? 1 ? 0
, 的 两 个 根 .∵ 0?

1 1 3? 5 ? , ∴ m?n?0 , ∴ m? , m n 2

n?

3? 5 .?????16 分 2

19. 解: (1)证明:因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,------①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ②
①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? ③…

A? B A? B ,? ? , 2 2 A? B A? B sin 代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin .………………8 分 2 2 ? o Cs2 1 B ? 得:cos 2 A ? cos 2B ? 1 ? cos 2C ? 2sin 2 C . (1) c ? o (2) c s2 Ac s2 由o 由
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? 中结论得: ?2sin ? A ? B ? sin ? A-B ? =2sin C .所以 sin ? B ? A? ? sin C ? sin( A ? B) ,
2

即: 2sin A cos B ? 0 ,又 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,故 B ? 90? ,所以 ?ABC 是直角 三角形.……………………………16 分 20. 解: (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( a ,??) 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在

?

?

?

?

?

a , ?? 上是增函数.????4 分

?

(2)若 k ? 2014 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ?N* ) .
2 记 g ? x ? ? f ? x ? ? 2ax ? x ? 2ax ln x ? 2ax g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x

若方程 f(x)=2ax 有唯一解, g(x)=0 有唯一解; 即

令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 . 因

2 2 为 a ? 0, x ? 0 ,所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) x 2 ? a ? a ? 4a . 当 x ? (0, x2 ) 时, , 2 2

g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数;

当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .

2 ? g ( x ) ? 0, ? x2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, ? 则? 2 即? 2 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , ? g ?( x2 ) ? 0, ? x2 ? ax 2 ?a ? 0, ?

因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x
2

= 1,从而解得 a ? 1 ????10 分 2

另 解 : f ? x ? ? 2ax 即 x2 ? 2a ln x ? 2ax 有 唯 一 解 , 所 以 : 2a ?

x2 , 令 ln x ? x

p ? x? ?

x ? 2 ln x ? x ? 1? x2 ,则 p ? ? x ? ? ,设 h ? x ? ? 2ln x+x ? 1 ,显然 h ? x ? 是增函数 2 ln x ? x ? ln x ? x ?

且 h ?1? ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时 p? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时 p? ? x ? ? 0 ,于是 x ? 1 时 p ? x ? 有

1 . 2 x 2 (3)当 k ? 2013 时, 问题等价于证明 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) e e 1 1 由导数可求 ? ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到, e e x 2 1? x 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x , e e e 1 易得 m( x)max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.故命题成立.????16 分 e ex
唯一的最小值,所以 2a ? p ?1? ? 1 ,综上: a ?

数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
2 1 21、解: (1)由题设,得 Cn ? 4Cn ,

????????????3 分



n(n ? 1) ? 4n ,解得 n=9,n=0(舍去) .??????????4 分 2

r (2)通项 Tr ?1 ? C9 ( x ) 9?r (

1
3

x

) ?C x
r r 9

27 ?5 r 6

( r ? 0,1,?9)

根据题意:

27 ? 5r ? Z ,解得 r ? 3 或 9 6 1 x3

??????????8 分 ??????????10 分 ??3 分

? 展开式里所有 x 的有理项为 T4 ? 84 x 2 , T10 ?
22、解析: (1) p ?

8 9

(2)依题意,可分别取? ? 5 、6、7、8、9 取,则有



p(? ? 5) ?

1 1 2 3 2 1 ? , p(? ? 6) ? , p(? ? 7) ? , p(? ? 8) ? , p(? ? 9) ? 3? 3 9 9 9 9 9
??8 分 5 6 7 8 9

? ? 的分布列为

?
p

1 9

2 9

1 3

2 9

1 9
??10 分

E? ? 7

23、解: (1)由 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 得 an?1 ?

9 ? 2an 1 7 ? 2? ,求得 a 2 ? , 3 4 ? an an ? 4
??5 分

13 19 6n ? 5 , a4 ? , 猜想 a n ? 5 7 2n ? 1 n ? 1 时,猜想成立. (2) 证明:①当 a3 ?
②设当 n ? k 时 (k ? N ?) 时,猜想成立,即 a k ? 则当 n ? k ? 1 时,有 a k ?1 ? 2 ?

6k ? 5 , 2k ? 1

1 1 6k ? 1 6(k ? 1) ? 5 ? 2? ? ? , 6k ? 5 ak ? 4 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 ?4 2k ? 1
??10 分

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合①②,猜想对任何 n ? N ? 都成立. 24、解:如图建系:可得 E (2,0,6) , F (0, 2,6) , H (6,6, 4) , A (6,0,0) . 1 (1)设 n ? (1, x, y) , EF ? (?2, 2,0) , EH ? (4,6, ?2) 则?

?

??? ?

????

???? ? ? ??2 ? 2 x ? 0 ? n ? (1,1,5) ; A1H ? (0,6, 4) , ?4 ? 6 x ? 2 y ? 0

设 A1H 与平面 EFH 所成角为 ? ,

? ???? ? ? ???? ? n ? A1 H 26 39 sin ? = cos n, A1H ? ? ???? ? ? ? 9 27 52 n A1 H

则 A1H 与平面 EFH 所成角的正弦值为

39 .?????????? (5 分) 9

(2)由题知 G(1,1, 6) , C1 (0,6,0) , GH ? (5,5, ?2) ,设 GP ? ?GH ? (5?,5?, ?2? ) ?

????

??? ?

????

P(5? ? 1,5? ? 1, ?2? ? 6) ,
已知面 A1 B1C1 的法向量为 D1 D ? (0,0,6) 设面 PC1 B1 的法向量为 n ? ( p, q, r )

? PC 1 ? (5? ? 1,5? ? 5,?2? ? 6), C1 D1 ? (6,0,0)

?(5? ? 1) ? p ? (5? ? 5) ? q ? (?2? ? 6) ? r ? 0 ?? 令 r ? 5? ? 5 ,则 p ? 0, q ? 2? ? 6 ?6 p ? q ? 0 ? r ? 0 ? 0
? 面 PC1 B1 的法向量为 n ? (0,2? ? 6,5? ? 5) ? 二面角 P ? C1 B1 ? A1 的余弦值为
? cos? D1 D, n? ?
解得 ? ?

10 10
? 10 10

6(5? ? 5) 6 ? (5? ? 5) ? (2? ? 6)
2 2

9 13

??????????(10 分)


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