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2014年高考数学真题分类汇编理科-三角函数(理科)

专注数学 成就梦想

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一、 选择题
1.(2014 大纲理 3) 设 a ? sin 33 , b ? cos 55 , c ? tan 35 ,则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a ). D. c ? a ? b
2

2 2. (2014 江西理 4) 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .若 c ? ? a ? b ? ? 6 ,

C?

? ,则 △ ABC 的面积是( 3
A. 3 B.

).

9 3 2

C.

3 3 2 ? ?

D. 3 3

3.(2014 辽宁理 9)将函数 y ? 3sin ? 2 x ? 应的函数( A.在区间 ).

? ?? ? 的图像向右平移 2 个单位长度,所得图像对 3?

? ? 7? ? 上单调递减 , ? ?12 12 ? ? ? ? ?? , 上单调递减 ? ? 6 3? ?

B.在区间

? ? 7? ? 上单调递增 , ? ?12 12 ? ? ? ? ?? , 上单调递增 ? ? 6 3? ?
).

C.在区间 ?

D.在区间 ?

4.(2014 陕西理 2)函数 f ? x ? ? cos ? ? 2x ?

?

π? ? 的最小正周期是( 6?
D. 4π

A.

π 2

B.

π

C. 2 π

5.(2014 四川理 3)为了得到函数 y ? sin ? 2x ?1? 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像 上所有的点( ).

A.向左平行移动

1 个单位长度 2

B.向右平行移动

1 个单位长度 2

C.向左平行移动 1 个单位长度

D.向右平行移动1 个单位长度
P x O M A

6.(2014 新课标 1 理 6)如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是 圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP , 过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ? x ? , 则 y ? f ? x ? 在 ? 0, ?? 上的图像大致为( ).

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y
1

y
1

y
1

y
1

O
A.

?

x O
B.

?

x O
C.

?

x O
D.

?

x

7.(2014 新课标 1 理 8)设 ? ? ? 0,

? ?

1 ? sin ? ?? ? ?? ,则( ? , ? ? ? 0, ? ,且 tan ? ? cos ? 2? ? 2?

).

? 2 ? C. 2? ? ? ? 2
A. 3? ? ? ?

? 2 ? D. 2? ? ? ? 2
B. 3? ? ? ?

8.(2014 新课标 2 理 4)钝角三角形 ABC 的面积是 ( ). A. 5 B. 5 C. 2

1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? 2

D. 1

9. (2014 浙江理 4) 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像, 可以将函数 y ? 2 sin3x 的 图像( A.向右平移 ).

π 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12

π 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12
B.向左平移

10.(2014 重庆理 10)已知 △ ABC 的内角 A, B, C 满足 sin 2 A ? sin ? A ? B ? C ? ?

sin ? C ? A ? B ? ?
式成立的是( A. bc ?b ? c ? ? 8

1 S 2 ,记 a, b, c 分别为 A, B, C 所对的边,则下列不等 ,面积 S 满足 1剟 2
). B.

ab ? a ? b ? ? 16 2
? ?

abc 12 C. 6剟

abc 24 D. 12剟

二、填空题
1.(2014 安徽理 11)若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值是 .

?? ? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像 4?

2.(2014 北京理 14)设函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? , ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 ) ,若

?π π? ?π? ? 2π ? f ? x ? 在区间 ? , ? 上具有单调性,且 f ? ? ? f ? ? ? ? f ?6 2? ?2? ? 3 ?
期为________.

?π? ? ? ,则 f ? x ? 的最小正周 ?6?

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3.(2014 大纲理 16)若函数 f ? x ? ? cos2 x ? a sin x 在区间 ? , ? 是减函数,则 a 的取值 范围是 .

? π ?? ?6 2?

4.(2014 福建理 12)在 △ ABC 中, A ? 60? , AC ? 4 , BC ? 2 3 ,则 △ABC 的面积等 于 .

5. ( 2014 广 东 理 12 ) 在 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c . 已 知

b c o sC ? c c o sB ? 2b ,则

a ? b

.

6.(2014 江苏理 5)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin ? 2 x ? ? ? ? 0? 个横坐标为

? ? ?? ,它们的图像有一

? 的交点,则 ? 的值是 3



7.(2014 江苏理 14)若 △ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值 是 .

8.(2014 山东理 12)在 △ ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 为 .

uu u r uuu r

π 时, △ ABC 的面积 6

9.(2014 陕西理 13) 设 0 ? ? ? 则 tan ? ? _______.

π ,向量 a ? ? sin 2? ,cos? ? ,b ? ? cos? ,1 ? ,若 a //b , 2

10. (2014 四川理 13) 如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 67 ,

30 ,此时气球的高是 46m ,则河流的宽度 BC 约等于

m .(用四舍五入法将结果

精确到个位.参考数据:sin 67 ? 0.92 ,cos 67 ? 0.39 ,sin 37 ? 0.60 ,cos 37 ? 0.80 ,

3 ? 1.73 )
A 67o 46m B C 30o

11. (2014 天津理 12) 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c =

1 a, 4

2 sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______.

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12.(2014 新课标 1 理 16)已知 a, b, c 分别为 △ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 , 且 ? 2 ? b??sin A ? sin B ? ? ? c ? b? sin C ,则 △ABC 面积的最大值为 13. ( 2014 新 课 标 2 理 14 ) 函 数 f 为 . .

?? ? x? ? si n? x? 2

? 2 si? n cos ? x ??? 的 最 大 值

14. (2014 浙江理 17) 如图, 某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练. 已知点 A 到墙面的距离为 AB ,某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动,此人为了准确瞄准 目 标 点 P , 需 计 算 由 点 A 观 察 点 P 的 仰 角 ? 的 大 小 . 若

AB ? 15m, AC ? 25m, ?BCM ? 30 ,则 tan ? 的最大值

.

M P B C A

三、解答题
1.(2014 安徽理 16) (本小题满分 12 分) 设 △ABC 的内角 A , B ,C 所对边的长分别是 a ,b ,c ,且 b ? 3 ,c ? 1 , A ? 2 B . (1)求 a 的值; (2)求 sin ? A ?

? ?

?? ? 的值. 4?

2.(2014 北京理 15)15.(本小题 13 分) 如图,在 △ ABC 中, ?B ?

A

π , AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 3

CD ? 2, cos ?ADC ?
(1)求 sin ?BAD ; (2)求 BD, AC 的长.

1 . 7

B

D

C

3.(2014 大纲理 17) (本小题满分 10 分)

△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已 3a cos C ? 2c cos A, tan A ?
4.(2014 福建理 16) (本小题满分 13 分)

1 .求 B . 3

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已知函数

1 f ? x ? ? cos x ? sin x ? cos x ? ? . 2 ?

(1)若 0 ? ?

2 π ,且 sin ? ? ,求 f ?? ? 的值; 2 2

(2)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间. 5.(2014 广东理 16) (12 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ? (1)求 A 的值; (2)若 f ?? ? ? f ? ?? ? ?

? ?

π? ? , x ? R ,且 4?

? 5π ? 3 f ? ?? . ? 12 ? 2

3 ? π? , ? ? ? 0, ? ,求 2 ? 2?

? 3π ? f ? ?? ? . ? 4 ?

6.(2014 湖北理 17) (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: C )随时间 t (单位: h )的变化近似满足函数关系:
f ? t ? ? 10 ? 3cos π π t ? sin t , t ??0, 24? . 12 12

(1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 C ,则在哪段时间实验室需要降温? 7.(2014 湖南理 18)如图所示,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1 ,CD ? 2 , AC ? 7 . (1)求 cos ?CAD 的值; (2)若 cos ?BAD ? ?

A

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

D

5 ?? ? 8.(2014 江苏理 15)已知 ? ? ? , ? ? , sin ? ? . 5 ?2 ?
(1)求 sin ?

B

C

?? ? ? ? ? 的值; ?4 ? ? ?? ? ? 2? ? 的值. ? 6 ?
北 B A 60 m M O 170 m C 东

(2)求 cos ?

9. (2014 江苏理 18) 如图, 为了保护河上古桥 OA , 规划建一座新桥 BC , 同时设立一个圆形保护区. 规

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划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的 圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m . 经测量, 点 A 位于点 O 正 北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处( OC 为河岸) , tan ?BCO ? (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 10.(2014 江西理 16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? a cos ? x ? 2? ? ,其中 a ? R , ? ? ? ? (1)当 a ? 2 , ? ? (2)若 f ?

4 . 3

? π π? , ?. ? 2 2?

? 时,求 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? 上的最大值与最小值; 4

??? ? ? 0 , f ? ?? ? 1,求 a, ? 的值. ?2?

11.(2014 辽宁理 17) (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,内角 A, B, C 的对边 a, b, c ,且 a ? c .已知 BA ? BC ? 2 , cos B ?

1 , 3

b ? 3 .求:
(1) a 和 c 的值; (2) cos ? B ? C ? 的值. 12.(2014 山东理 16) (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m,cos 2x ? , b ? ?sin 2x, n ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且 y ? f ?x ? 的图像过 点?

?π ? ? 2π ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?

(1)求 m, n 的值; (2)将 y ? f ? x? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? π ? 个单位后得到函数 y ? g ? x? 的图像,若

y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为1 ,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.
13.(2014 陕西理 16) (本小题满分 12 分)

△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .
(1)若 a, b, c 成等差数列,求证: sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ? ; (2)若 a, b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值.

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14.(2014 四川理 16)已知函数 f ? x ? ? sin ? 3x ? (1)求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ?

? ?

π? ?. 4?

π? ?? ? 4 ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值. 4? ?3? 5 ?

15.(2014 天津理 15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

π? 3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? π π? , 上的最大值和最小值. ? 4 4? ?

16.(2014 浙江理 18) (本题满分14分)

在 △ ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 a ? b , c ? 3 ,

cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B.
(1)求角 C 的大小;

(2)若 sin A ?

4 , 求 △ ABC 的面积. 5

17.(2014 重庆理 17) (本小题 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 且图像上相邻两个最高点的距离为 π . (1)求 ? 和 ? 的值; (2)若 f ?

? ?

π 2

π π? ? 的图像关于直线 x ? 3 对称, 2?

3? π 2π ? 3π ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ,求 cos ? ? ? ? 的值. 2 ? 3 ? ? ? 2? 4 ?6

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