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椭圆经典题型练习(精选题)

椭圆经典题型练习
一.选择题(共 13 小题) 1.设椭圆 圆与直线 bx+ A. =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2 为直径的 y=b2 相切,则该椭圆的离心率为( B. C. ) D.

2.已知方程(m﹣1)x2+(3﹣m)y2=(m﹣1) (3﹣m)表示焦点在 y 轴上的椭 圆,则实数 m 的取值范围为( A. (1,2) 3.已知椭圆 B. (2,3) ) C. (﹣∞,1) D. (3,+∞)

的两个焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,且 ) C.6 D.3

∠F1PF2=60°,则△F1PF2 的面积等于( A. 4.椭圆 B.

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的内切圆

周长为 π,A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) ,则|y2﹣y1|的值是 ( A. ) B. C. D. 的左焦点为 F,过 F 作直线 l

5.已知点 M(﹣4,0) ,椭圆

(l 的斜率存在)交椭圆于 A,B 两点,若直线 MF 恰好平分∠AMB,则椭圆 的离心率为( A. 6.设椭圆 ) B. C. D.

(a>b>0)的一个焦点 F(2,0)点 A(﹣2,1)为椭

圆 E 内一点,若椭圆 E 上存在一点 P,使得|PA|+|PF|=8,则椭圆 E 的离心率 的取值范围是( )

1

A. 7.已知椭圆

B.

C.

D.

的左焦点为 F1,离心率为 ,P 是椭圆 C 上

的动点,若点 Q(1,1)在椭圆 C 内部,且|PF1|+|PQ|的最小值为 3,则椭圆 C 的标准方程为( A. ) B. C. D.

8.在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 C: 轴的垂线, 交 C 于点 P, 若 A. 9.设椭圆 =1 B. =2, cos∠OPF= =1 C.

=1(a>b>0)的右焦点 F 作 x , 则椭圆 C 的方程为 ( =1 D. =1 )

的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 A,B ) C.4 D.

两点,则|AF|+|BF|的值是( A.2 10.设椭圆 B.

的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 A, ) C. (6,8) D. (8,12)

B 两点,则△AFB 周长的取值范围是( A. (2,4) B.

11. 已知 F1, F2 是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点, 若 PF1⊥PF2, 且∠PF2F1=60°, 则 C 的离心率为( A.1﹣ 12.椭圆 ) B.2﹣ C. D. ﹣1

的左右焦点分别为 F1,F2,A 为椭圆上一动点(异 ,则椭圆的标准方

于左右顶点) ,若△AF1F2 的周长为 6 且面积的最大值为 程为( A. ) B. C.

D.

2

13.已知点 A(0,0) ,B(2,0) .若椭圆 ABC 为等边三角形,则椭圆 W 的离心率是( A. B. C. )

上存在点 C,使得△

D.

二.填空题(共 7 小题) 14.已知点 P 圆 C: (x﹣4)2+y2=4 上,点 Q 在椭圆 最大值为 15. 已知点 A 在椭圆 . +y2=1 上, 且 O、 A、 P 三点共线 (O 是坐标原点) , =24, 上移动,则|PQ|的

则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 16. 直线 y=kx+k 与焦点在 y 轴上的椭圆 取值范围是 . + =1 总有两个公共点, 则实数 m 的

17.过直线 l:y=x+9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F1(﹣3, 0) ,F2(3,0) ,则此椭圆的离心率为 18.椭圆 右焦点为 F,存在直线 y=t 与椭圆 C 交于 A,B .

两点,使得△ABF 为等腰直角三角形,则椭圆 C 的离心率 e= 19.已知 F1,F2 是长轴长为 4 的椭圆 椭圆上一点,则△PF1F2 面积的最大值为 20.已知点 P(x,y)在椭圆 .

的左右焦点,P 是

上运动,则

最小值是

3

三.解答题(共 10 小题) 1.已知 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆交于不

同的两点 A、B,连接 AF2 和 BF2. (Ⅰ)求△ABF2 的周长; (Ⅱ)若 AF2⊥BF2,求△ABF2 的面积. 2.已知 p:实数 m 使得椭圆 (1)求实数 m 的取值范围; (2)若 q:t≤m≤t+9,p 是 q 的充分不必要条件,求实数 t 的取值范围. 3.已知椭圆 C: 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A,B 为椭圆 C 上任意两点,O 为坐标原点,且 OA⊥OB.求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出该定值. 4.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F1,F2 分别是其左、右 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴端点到焦点的距离为 的离心率 .

焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,且|PF1|+|PF2|=4 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过 F1 作直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,点 Q(m,0)在 x 轴上,连结 QA、 QB 分别与直线 x=﹣2 5.已知椭圆 (1)求椭圆方程; (2)直线 y=kx+m 交椭圆于不同两点 A,B,若 的面积等于 6. 已知椭圆 C: ,求直线 AB 的方程. =1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2 且离心率为 , ,△OAB(O 是坐标原点) 交于点 M、N,若 MF1⊥NF1,求 m 的值. 且经过点 .

的离心率为

过左焦点 F1 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,△ABF2 的周长为 16.
4

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知过点 P(2,1)作弦且弦被 P 平分,则此弦所在的直线方程. 7.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 的左、右焦点,M 是 C 上一点,

且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率.

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 3,且|MN|=7|F1N|,求 a,b. 8.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,且 C 过点(1, ) .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 k(k<0)的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且直线 OP,l,OQ 的斜率成等比数列,求 k 值. 9.已知椭圆的焦点分别为 F1(﹣2 ,0) 、F2(2 ,0) ,长轴长为 6,设直线

x﹣y+2=0 交椭圆于 A,B 两点,求线段 AB 的中点坐标. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点 F(1,

0) ,过 F 且垂直于 x 轴的弦长为 3,直线 l 与圆(x﹣1)2+y2=1 相切,且与椭 圆 C 交于 A,B 两点,Q 为椭圆的右顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)用 S1,S2 分别表示△ABF 和△ABQ 的面积,求 S1?S2 的最大值.

5

椭圆练习参考答案与试题解析
一.选择题(共 13 小题) 1. 【解答】解:椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, y=b2 相切,可 .

以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=c2,以 F1F2 为直径的圆与直线 bx+ 得: 故选:C.

,即 a2﹣c2=ac,因为 e= ∈(0,1) ,所以 e=

2. 【解答】解:方程(m﹣1)x2+(3﹣m)y2=(m﹣1) (3﹣m) , 即 ,方程(m﹣1)x2+(3﹣m)y2=(m﹣1) (3﹣m)表示焦点在 y 轴上的椭圆,可得 m﹣1>3﹣m>0,解得 2<m<3.故选:B. 3. 【解答】 解:如图所示,椭圆 c= ,可得 a=5 , b=3 ,

=4.设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=10,在△F1PF2 中,由余弦定

理可得: (2c)2=m2+n2﹣2mncos60°,可得(m+n)2﹣3mn=6 即 102﹣3mn=64, 解得 mn=12.∴△F1PF2 的面积 S= mnsin60°= 4. 【解答】解:由椭圆 =1,可得 a=5,b=4,c= =3 .故选:B.

=3.

如图所示,设△ABF2 的内切圆的圆心为 G.连接 AG,BG,GF2. 设 内 切 圆 的 半 径 为 = 2c,∴|y2﹣y1|= = .故选:D. r , 则 = 2πr=π , 解 得 ?|F1F2|,∴ r= . 则

4a=|y2﹣y1|×

6

5. 【解答】解:设 F(﹣c,0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 y=k(x+2) ,代入椭圆方程 ,

可得 (b2+4k2) x2+8ck2x+4k2c2﹣4b2=0,即有 x1+x2=﹣

,x1x2=



由直线 MF 恰好平分∠AMB,可得 kAM+kBM=0,即有 可得 k(x1+c) (x2+4)+k(x2+c) (x1+4)=0, 化为 2x1x2+(c+4) (x1+x2)+8c=0, 可得 2? +(c+4)?(﹣ )+8c=0,

+

=0,

化简可得 c=1,则椭圆的离心率 e= = ,故选:C. 6. 【解答】解:椭圆 (a>b>0)的一个焦点 F(2,0) ,

另一个焦点为 F'(﹣2,0) ,由椭圆的定义可得 2a=|PF|+|PF'|, 即|PF'|=2a﹣|PF|,可得|PA|﹣|PF'|=8﹣2a,由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|=1, 可得﹣1≤8﹣2a≤1,解得 ≤a≤ ,又 c=2,可得 e= ∈[ , ],故选:A. 7. 【解答】解:如图所示,设右焦点为 F2. |PF1|+|PQ|=2a ﹣( |PF2| ﹣ |PQ| )≥ 2a ﹣ |QF2|=3 ,∴ 2a ﹣ = a2=b2+c2,联立解得 a=2,c=1,b2=3.∴椭圆 C 的标准方程为 故选:A. =3 , =1.

7

8. 【解答】解:∵|OF|=c,PF⊥x 轴,cos∠OPF= ∴cos∠OPF= ,|OP|= = = c,∵ ,∴sin∠OPF= =2, ,

∴|OP|?c?cos∠OPF=|OP|?c? 解得 c2=2,即 c= ∴|OP|=

=

c?c?

=2, × =1,∴P( ,1) ,∴ + =1

,∴|PF|=

∵a2﹣b2=c2=2,∴a2=4,b2=2,∴

+

=1 故选:B.

9. 【解答】解:如图,设 F2 是椭圆的右焦点,∵O 点为 AB 的中点,丨 OF 丨= 丨 OF2 丨,则四边形 AFBF2 是平行四边形,∴AF=BF2.∴|AF|+|BF|=丨 BF 丨+ 丨 BF2 丨=2a=4,故选:C.

10. 【解答】解:∵椭圆

的左焦点为 F(﹣

,0) ,右焦点 F2(



0) , 直线 l: y=kx (k≠0) 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 连结 BF2, 则 AF=BF2, AB=2OB,
8

由一的定义可知:BF+BF2=2a=4,OB∈(1,2)则△AFB 周长的取值范围是(6, 8) .故选:C.

11. 【解答】解:F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且 ∠PF2F1=60°,可得椭圆的焦点坐标 F2(c,0) ,所以 P( c, ,可得 c) .可得:

,可得 e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1) ,

解得 e=

.故选:D.

12. 【解答】解:由椭圆的定义可得 2(a+c)=6,所以 a+c=3①, 当 A 在上(或下)顶点时,△AF1F2 的面积取得最大值,即最大值为 bc= 由①②及 a2=c2+b2 联立求得 a=2,b= ,c=1,椭圆方程为 + ②,

=1,故选:A.

13. 【解答】解:过点 C 做 x 轴垂线,垂足为 D,根据正三角形性质可知 D 为 A, B 的中点,C 坐标为(1, ) ,C 点的坐标代入椭圆方程得 = .故选:C. ,

解得 m=6,所以椭圆的离心率为: 二.填空题(共 7 小题) 14. 【解答】解:∵点 Q 在椭圆

上移动,∴可设 Q(cosθ,2sinθ) ,
9

由圆 C: (x﹣4)2+y2=4,可得圆心 C(4,0) ,半径 r=2. ∴ |CQ|= = ≤5,当且仅当 cosθ=﹣1 时取等号. ∴|PQ|的最大值=5+r=7.故答案为:7. 15. 【解答】解:∵O、A、P 三点共线(O 是坐标原点) , =24, =

∴|OA|?|OP|=24,设 OP 与 x 轴夹角为 θ,设 A(x,y)在第一象限,B 为点 A 在 x 轴的投影,则 OP 在 x 轴上的投影长度为|OP|cosθ= =24× =24× ≤24× =8 .当且仅当 x= =24× 时等号成立.

则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 8

.故答案为:8

. + =1

16. 【解答】 解: 直线 y=kx+k 恒过 (﹣1, 0) , 直线与焦点在 y 轴上的椭圆

总有两个公共点,可得:

解得 m∈(1,4) .故答案为: (1,4) .

17. 【解答】解:设直线 l 上的占 P(t,t+9) ,取 F1(﹣3,0)关于 l 的对称点 Q (﹣9,6) ,根据椭圆定义,2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|= ,当且仅当 Q,P,F2 共线,即 ,即 =﹣ 时, ,离心率为: =6

上述不等式取等号,∴ t= ﹣ 5 .∴ P (﹣ 5 , 4 ) ,据 c=3 , a=3 e= = .故答案为: .

18. 【解答】解:要使△ABF 为等腰直角三角形,则 B(c,2c) . ,又 a2=b2+c2,∴b2=2ac,? c2+2ac﹣a2=0,? e2+2e﹣1=0, 且 0<e<1,∴e= ﹣1.

10

故答案为:

﹣1. 的左右焦

19. 【解答】解:F1,F2 是长轴长为 4 的椭圆

点,a=2,b2+c2=4,P 是椭圆上一点,△PF1F2 面积的最大值时,P 在椭圆的短轴 的端点,此时三角形的面积最大,S=bc≤ 的面积最大.故答案为:2. 20 . 【解答】解:根据题意,点 P ( x , y)在椭圆 上运动,则有 =2,当且仅当 b=c 时,三角形



变形可得:

+

= ,变形可得 x2+2(y2+1)=5,则

= [x2+2

(y2+1) ] (

) = ×[1+4+

+

]= ×[5+

+

]

≥ (5+2×2)= ;即 三.解答题(共 10 小题)

最小值是 ,故答案为:

1. 【解答】解: (I)∵F1,F2 分别为椭圆

+y2=1 的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,连接 AF2 和 BF2. ∴△ABF2 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 (II)设直线 l 的方程为 x=my﹣1,由 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2= ∵AF2⊥BF2,∴ ? =0,∴ ? .…(3 分)

,得(m2+2)y2﹣2my﹣1=0. ,y1y2=﹣ ,…(5 分)

=(x1﹣1) (x2﹣1)=(my1﹣2) (my2

11

﹣2)+y1y2=(m2+1)y1y2﹣2m(y1+y2)+4= ∴m2=7.…(10 分)∴△ABF2 的面积 S= ×|F1F2|× 2. 【解答】解: (1)当 0<m<2 时,∵ ∴ ∴ ,∴ ,当 m>2 时,∵ ,又

﹣2m×

+4=

=0 = .

, ,又 , 或 4<m<8. ?

解得 4<m<8. 综上所述实数 m 的取值范围:

(2)∵q:t≤m≤t+9,p 是 q 的充分不必要条件,∴ [t,t+9],∴ ,解得 . ,a= +y2=1; ; =2,又 a2=b2+c2,

3. 【解答】解: (1)由题意知,e= = 所以 a=2,c=

,b=1,所以椭圆 C 的方程为

(2)证明:当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x=± 此时,原点 O 到直线 AB 的距离为

;当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB

的方程为 y=kx+m, A ( x 1, y1) , B (x2, y2) . 代入椭圆方程 x2+4y2=4, 得 (1+4k2) x2+8kmx+4m2﹣4=0,则△=(8km)2﹣4(1+4k2) (4m2﹣4)=16(1+4k2﹣m2) >0,x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

则 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k2? +km (﹣ ) +m2= ,由 OA ⊥ OB 得 kOAkOB= ﹣ 1 ,即

x1x2+y1y2=0, 所以 =0 ,即 m2= ( 1+k2 ) ,所以原点 O 到直线 AB 的距离为

d=

=

,综上,原点 O 到直线 AB 的距离为定值



4. 【解答】解: (1)由题意可得: =
12

,|PF1|+|PF2|=4=2a,a2=b2+c2.

联立解得:a=2,c=

=b.∴椭圆 C 的标准方程为:

+

=1.

(2)如图所示,设直线 l 的方程为:ty=x+ 联立 ,化为: (t2+2)y2﹣2

,A(x1,y1) ,B(x2,y2) . ,y1y2= .

ty﹣2=0,∴y1+y2=

直线 QA 的方程为:y=

(x﹣m) ,可得:M



直线 QB 的方程为:y= ∵ MF1 ⊥ NF1 , ∴ + +m2]+ ∵x1+x2=t(y1+y2)﹣2 ∴(2t2+8+4 ∴(2t2+8+4 ?

(x﹣m) ,可得 N ? =0 . 又 F1 ( ﹣

. , 0 ). ∴

=0 , 化 为 : 2[x1x2 ﹣ m ( x1+x2 )

=0, ,x1x2= (ty2﹣ )=t2y1y2﹣ t(y1+y2)+2.

m+m2)y1y2﹣(2 m+m2)? ﹣(2

+2mt) (y1+y2)+4+4 +2mt) +4+4

m+2m2=0, m+2m2=0,

化为: (m2﹣4) (t2﹣1)=0.∵? t∈R 上式都成立,∴m2﹣4=0,解得 m=±2.

5. 【解答】解: (1)椭圆

的离心率为

且经过点



可得 e= =



+

=1, a2﹣b2=c2, 解得 a=
13

, b=1, 则椭圆方程为

+y2=1;

(2)直线 y=kx+m 与椭圆 x2+2y2=2 联立,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ 可 |AB|= ? = = ,x1x2= , 得 ?

=

,①由△OAB(O 是坐标原点)的面积等于



设 O 到 AB 的距离为 d,可得 |AB|d= 即 3m2=2+2k2②联立①②解得 m=1,k=± 则直线 AB 的方程为 y=± x+1 或 y=±

,即 d=

,即有 ,

=



;m=﹣1,k=± x﹣1.

6. 【解答】解: (1)如图所示,椭圆 C: ∴ = ∴c=2

=1 的离心率为



,△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16,∴a=4, ,∴b2=a2﹣c2=4,∴椭圆 C 的方程 + =1;

(2)设过点 P(2,1)作直线 l,l 与椭圆 C 的交点为 D(x1,y1) ,E(x2,y2) ,



,两式相减,得(



)+4(



)=0,

∴(x1+x2) (x1﹣x2)+4(y1+y2) (y1﹣y2)=0, ∴直线 l 的斜率为 k= =﹣ =﹣ =﹣ ,

∴此弦所在的直线方程为 y﹣1=﹣ (x﹣2) ,化为一般方程是 x+2y﹣4=0.

14

7. 【解答】解: (1)根据

及题设知 或

, (舍去) ,

5b2=24ac 将 b2=a2﹣c2 代入 5b2=24ac 解得 故 C 的离心率为 ;

………………………………………………(4 分)

(2)由题意得,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,3)是线段 MF1 的中点,故 即 b2=6a①………………………………………………(7 分) 由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|,设 N(x1,y1) 则 ,即 ,

代入 C 的方程,得

②……………………………………………(10 分)

将①及 故

代入②得

解得

8. 【解答】解: (1)由题意可得

,解得

,因此,椭圆 C 的方程



; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为

y=kx+m(m≠0) ,由

,消去 y 整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)

15

=0,∵直线 l 与椭圆交于两点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2) (m2﹣1)=4(4k2﹣ m2+1)>0,设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) , 则 , , ,

∴y1+y2=(kx1+m) (kx2+m)= ∵直线 OP、l、OQ 的斜率成等比数列, ∴ ,整理得



∴ 率为定值.

,又 m≠0,所以,

,结合图象可得

,故直线 l 的斜

9. 【解答】解:椭圆的焦点分别为 F1(﹣2 焦点在 x 轴上,设椭圆 C 的方程为:

,0) 、F2(2

,0) ,长轴长为 6,

(a>b>0) ,a=3,

b2=a2﹣c2=9﹣8=1,∴椭圆 C 的方程为:

;由

,消 y 整理得:

10x2+36x+27=0,由△=362﹣4×10×27=216>0, ∴直线与椭圆有两个不同的交点,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 E(x0,y0) , 则 x1+x2=﹣ ,由中点坐标公式可知:x0= =﹣ ,y0=x0+2= ,

故线段 AB 的中点坐标为(﹣ , ) . 10. 【解答】解: (1)由已知 c=1, ∴椭圆 C 的方程为: ,又 a2=b2+c2,解得 . ,得 S1?S2=6.

; (2)当 l 斜率不存在时,AB=

2 2 当 l 斜率存在时, 设为直线为 y=kx+m, 由 l 与圆 (x﹣1) +y =1 相切, 得 m2+2km=1…

(*)联立

,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,

16

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则



|AB|=

.Q 到直线的距离



S1?S2=

=



将(*)式代入得 S1?S2= ∴S1?S2=

,令 t=m2+1∈(1,+∞) . .综上,S1?S2 的最大值为 6.

=

17


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